Likningssett

Løsning ved regning for hånd:

Vi velger å bruke den første likningen og løse den med hensyn på x.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & -2\\ x& =& -2-y\\ & & \\ 2·(-2-y)-3y& =& 6\\ -4-2y-3y& =& 6\\ -5y& =& 10\\ y& =& \frac{10}{-5}=-2\\ & & \\ x& =& -2-(-2)=-2+2=0\end{array}$

Løsning: $x=0 \wedge y=-2$ (Tegnet $\wedge$ betyr "og".)

Løsning med CAS:

Her har vi skrevet inn likningene i linje 1 og linje 2. Så har vi trykket på verktøyknappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ ("Løs en eller flere likninger").

Merk at i stedet for å trykke på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 ha skrevet kommandoen

Løs({$1,$2})

Vi viser bare løsning ved regning for hånd i resten av deloppgavene.

Her er det enklest å løse den andre likningen med hensyn på y.

$\begin{array}{rcl}-y& = & 6-2x\\ y& =& 2x-6\\ & & \\ 6x+2\left(2x-6\right)& =& 8\\ 6x+4x-12& =& 8\\ 10x& =& 20\\ x& =& \frac{20}{10}=2\\ & & \\ y& =& 2·2-6=-2\end{array}$

Løsning: $x=2 \wedge y=-2$

$\begin{array}{rcl}2x& = & 6+3y\\ x& =& 3+\frac{3}{2}y\\ & & \\ -5\left(3+\frac{3}{2y}\right)-2y& =& 4\\ -15-\frac{15}{2}y-2y& =& 4\\ -\frac{15}{2}y-\frac{4}{2}y& =& 4+15\\ -\frac{19}{2}y& =& 19\\ -19y& =& 38\\ y& =& \frac{38}{-19}=-2\\ & & \\ x& =& 3+\frac{3}{2}·\left(-2\right)=0\end{array}$

Løsning: $x=0 \wedge y=-2$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-8\\ y& =& 2x-4\\ & & \\ -4x& =& 3\left(2x-4\right)-2\\ -4x& =& 6x-12-2\\ -10x& =& -14\\ x& =& \frac{-14}{-10}=\frac{7}{5}\\ & & \\ y& =& 2·\frac{7}{5}-4=\frac{14}{5}-4=\frac{14}{5}-\frac{20}{5}=-\frac{6}{5}\end{array}$

Løsning: $x=\frac{7}{5} \wedge y=-\frac{6}{5}$

$\begin{array}{rcl}-y& = & x-6\\ y& =& 6-x\\ & & \\ 4\left(6-x\right)+4x& =& -2\\ 24-4x+4x& =& -2\\ 0x& =& -26\end{array}$

$0x$ er 0 uansett x-verdi og kan aldri bli lik $-26$. Likningssettet har derfor ingen løsning.

Vi løser den første likningen med hensyn på x.

$\begin{array}{rcl}-x-y & =& \frac{1}{2}\\ x & =& -y- \frac{1}{2}\\ & & \\ 4\left(-y-\frac{1}{2}\right)+4y & =& -2\\ -4y-2+4y & =& -2\\ 0y & =& 0\end{array}$

$0y$ er lik 0 for alle y-verdier. Likningssettet har derfor uendelig mange løsninger for y, og dermed har likningssettet uendelig mange par av løsninger for x og y.

Prøv å gange den første likningen med $-4$.

Dersom vi har én likning med to ukjente, vil det være uendelig mange kombinasjoner av de to ukjente som passer i likningen. Det kan tyde på at de to likningene i likningssettet i f) er én og samme likning.

Koeffisienten foran x-leddet i den første likningen er $-1$. Koeffisienten foran x-leddet i den andre likningen er 4. Vi prøver derfor å gange den første likningen med $-4$, for da blir de to koeffisientene like.

$\begin{array}{rcl}-x-y & =& \frac{1}{2} |·\left(-4\right)\\ -x·\left(-4\right)-y·\left(-4\right) & =& \frac{1}{2}·\left(-4\right)\\ 4x+4y & =& -2\end{array}$

Vi ser at vi ender opp med den andre likningen i likningssettet. De to likningene er derfor samme likning, og det er uendelig mange kombinasjoner av x og y som passer.

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl}x-y& = & 1\\ x& =& 1+y\\ & & \\ 2\left(1+y\right)-3y& =& -2\\ 2+2y-3y& =& -2\\ -y& =& -4\\ y& =& 4\\ & & \\ x& =& 1+4=5\end{array}$

Løsning: $x=5 \wedge y=4$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to likningene (kalt "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Skjæringspunktet har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 4, og dette er løsningen på likningssettet.

Løsning med CAS:

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl}2x-\frac{1}{2}y& = & -3\\ -\frac{1}{2}y& =& -3-2x\\ y& =& 6+4x\\ & & \\ \frac{3}{2}x+2\left(6+4x\right)& =& \frac{5}{2}\\ 3x+24+16x& =& 5\\ 19x& =& -19\\ x& =& -1\\ & & \\ y& =& 6-4=2\end{array}$

Løsning: $x=-1 \wedge y=2$

$\begin{array}{rcl}-60x+80y& = & 40 \overline{):20}\\ -3x+4y& =& 2\\ x& =& \frac{4y-2}{3}\\ & & \\ 2\left(\frac{4y-2}{3}\right)& =& -2\\ 8y-4-9y& =& -6\\ -y& =& -2\\ y& =& 2\\ & & \\ x& =& \frac{4·2-2}{3}=2\end{array}$

Løsning: $x=2 \wedge y=2$

$\begin{array}{rcl}2y& = & 4x-40 \overline{):2}\\ y& =& 2x-20\\ & & \\ -\frac{3}{5}x& =& 3(2x-20)-6\\ -\frac{3}{5}x& =& 6x-60-6 \overline{)·5}\\ -3x& =& 30x-300-30\\ -33x& =& -330\\ x& =& 10\\ & & \\ y& =& 2·10-20\\ y& =& 0\end{array}$

Løsning: $x=10 \wedge y=0$

$\begin{array}{rcl}4y-\frac{1}{5}x& = & 11 \overline{)·5}\\ 20y-x& =& 55\\ x& =& 20y-55\\ & & \\ -2y& =& 20y-55-11\\ -22y& =& -66\\ y& =& 3\\ & & \\ x& =& 20·3-55=5\end{array}$

Løsning: $x=5 \wedge y=3$

Løsning ved regning for hånd:

Vi setter prisen for torskefilet lik x kroner og prisen for ulkefilet lik y kroner, og vi får

$\begin{array}{rcl}2x+1,5y& = & 385\\ 3x+0,5y& =& 315\\ & & \\ 0,5y& =& 315-3x\\ y& =& 630-6x\\ & & \\ 2x+1,5(630-6x)& =& 385\\ 2x+945-9x& =& 385\\ -7x& =& -560\\ x& =& 80\\ & & \\ y& =& 630-6·80=150\end{array}$

Torskefileten koster 80 kroner per kg, og ulkefileten koster 150 kroner per kg.

Oppgaven kan også løses med CAS.

Hvis lærer Hansen kjøpte x epler og y pærer, får vi følgende likninger:

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 115\\ 3x+4y& =& 415\\ & & \\ x& =& 115-y\\ & & \\ 3(115-y)+4y& =& 415\\ 345-3y+4y& =& 415\\ y& =& 70\\ & & \\ x& =& 115-70=45\end{array}$

Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer.

Oppgaven kan også løses med CAS.

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra.

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra.

Her kan vi vurdere å trykke på knappen $\boxed{ \underset{ }{\overset{ }{\approx }} }$ for å få løsningen skrevet på desimalform.

Vi setter mengden oljeblanding lik x liter og mengden ren bensin lik y liter. Videre bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likningen. Til den andre likningen bruker vi at mengden olje fra oljeblandingen skal utgjøre en brøkdel $\frac{0,1}{10,1}$ av 5 L.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 5\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+0& =& \frac{5·0,1}{10,1}\end{array}$

Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

Per må blande 2,52 L av oljeblandingen og 2,48 L ren bensin.

Oppgaven kan også løses uten å sette opp likningssett. Finn ut hvordan!

Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som x liter og mengden olje som $y$ liter.

$\begin{array}{rcl}x+y& = & 8\\ & & \\ \frac{x·0,2}{10,2}+y& =& \frac{8·0,3}{10,3}\end{array}$

Med CAS i GeoGebra får vi følgende:

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

Løsningen blir $x=1 \vee y=2 \vee z=3$.

Løsningen blir $x=2 \wedge y=3 \wedge z=5$.

Vi setter opp tre likninger der x er kilopris for eplene, y er kilopris for druene og z er kilopris for bananene.

$\begin{array}{rcl}1,5x+y+2z & =& 92\\ x+0,5y+1,5z & =& 59\\ 2x+1,5y+z & =& 101\end{array}$

Vi løser likningssettet med CAS.

Eplene koster 20 kr per kg, druene koster 30 kr per kg, og bananene koster 16 kr per kg.

Vi setter opp tre likninger, en for antall hoder, en for antall bein og en for forskjellen mellom antall griser og antall kyr:

$\begin{array}{rcl}k+g+h & =& 150\\ 4k+4g+2h & =& 460\\ g-k & =& 40\end{array}$

Løsning med CAS:

På gården var det 20 kyr, 60 griser og 70 høns.

Vi setter opp tre likninger:

$\begin{array}{rcl}y+m+e & =& 36\\ e-y & =& 12\\ y & =& \frac{e}{3}\end{array}$

Løsning med CAS:

De tre søsknene er 6, 12 og 18 år gamle.

Vi sjekker først at løsningen passer i den første likningen.

$3·12+4·15=36+60=96$

Så setter vi løsningen inn i den andre likningen. Det gir oss en likning med a som ukjent.

$\begin{array}{rcl}a·12+3·15 & =& 21\\ 12a & =& 21-45\\ 12a & =& -24\\ a & =& -2\end{array}$

Vi velger å løse den første likningen med hensyn på x:

$\begin{array}{rcl}x+y & =& -2\\ x & =& -y-2\end{array}$

Så setter vi resultatet inn i den andre:

$\begin{array}{rcl}bx-3y & =& 6\\ b\left(-y-2\right)-3y & =& 6\\ -by-2b-3y & =& 6\\ -\left(b+3\right)y & =& 2b+6\\ y & =& \frac{2\left(b+3\right)}{-\left(b+3\right)}=-2\end{array}$

Løsningen av likningen er uavhengig av b. Men i overgangen mellom de to nederste linjene har vi delt på $-\left(b+3\right)$. Da forutsetter vi egentlig at $b\ne -3$, for ellers deler vi på null. Vi sjekker den opprinnelige likningen ved denne b-verdien.

$\begin{array}{rcl}bx-3y & =& 6\\ -3x-3y & =& 6 |:\left(-3\right)\\ x+y & =& -2\end{array}$

De to likningene i settet er nå én og samme likning. Da er det uendelig mange sett av løsninger. Vi kan oppsummere slik:

• Likningssettet har uendelig mange løsninger for $b=-3$.

• Likningssettet har én løsning for $b\ne -3$.

• Likningssettet har alltid minst én løsning uansett verdien på b.

Vi velger å løse den første likningen med hensyn på x:

$\begin{array}{rcl}3x+4y & =& 96\\ 3x & =& 96-4y\\ x & =& 32-\frac{4}{3}y\end{array}$

Så setter vi dette inn i den andre likningen:

$\begin{array}{rcl}a·x+3y & =& 21\\ a\left(32-\frac{4}{3}y\right)+3y & =& 21\\ 32a-\frac{4a}{3}y+3y & =& 21\\ \left(3-\frac{4a}{3}\right)y & =& 21-32a\\ y & =& \frac{21-32a}{3-{\displaystyle \frac{4a}{3}}}\\ & & \end{array}$

Akkurat som i oppgave b) gjelder ikke den siste overgangen dersom nevneren er null. Det skjer når

$\begin{array}{rcl}3-\frac{4a}{3} & =& 0 |·3\\ 9-4a & =& 0\\ a & =& \frac{9}{4}\end{array}$

Vi setter denne verdien for a inn i den andre likningen i det opprinnelige likningssettet og omformer likningen slik at den starter med det samme som den første, "3x".

$\begin{array}{rcl}\frac{9}{4}x+3y & =& 21 |·4\\ 9x+12y & =& 84 |:3\\ 3x+4y & =& 28\end{array}$

Likningssettet ser nå slik ut:

$\begin{array}{rcl}3x+4y & =& 96\\ 3x+4y & =& 28\end{array}$

$3x+4y$ kan ikke være lik både 96 og 28 samtidig. Likningssettet har derfor ingen løsning når $a=\frac{9}{4}$.

Det er de seks tallene – koeffisientene – i likningssettet som gir løsningen: 3, 2, 380, 4, 3 og 540. Når vi løser likningssettet med innsettingsmetoden, er det bare disse seks tallene vi bruker for å regne oss fram til løsningen.

$\begin{array}{lcl}ax+by& = & c\\ & & \\ dx+ey& =& f\end{array}$

$\begin{array}{rcl}ax+by& = & c\\ & & \\ ax& =& c-by\\ & & \\ \frac{ax}{a}& =& \frac{c-by}{a}\\ & & \\ x& =& \frac{c}{a}-\frac{b}{a}y\end{array}$

$\begin{array}{rcl}dx+ey& = & f\\ & & \\ d\left(\frac{c}{a}-\frac{b}{a}y\right)+ey& =& f\\ & & \\ \frac{dc}{a}-\frac{bd}{a}y+ey& =& f\\ & & \\ \left(e-\frac{bd}{a}\right)y& =& f-\frac{cd}{a} |·a\\ & & \\ \left(ae-bd\right)y& =& af-cd\\ & & \\ y& =& \frac{af-cd}{ae-bd}\end{array}$

Da har vi kommet fram til formelen for løsningen for y.

Vi trenger ikke det, for vi kan la programmet regne ut løsningen for y først og deretter bruke svaret til å regne ut løsningen for x.

• Gi variablene a, b, c, d, e og f verdiene til koeffisientene i likningssettet.

• Regn ut (af - cd)/(ae - bd) og sett resultatet lik variabelen y.

• Regn ut c/a - by/a og sett resultatet lik variabelen x.
• Skriv til skjermen "Løsningen er x = <x>, y = <y>.".

Med "<x>" og "<y>" mener vi verdien av variablene x og y.

Husk å ordne likningssettet på formen

$\begin{array}{lcl}ax+by& = & c\\ dx+ey& =& f\end{array}$

før du setter inn tallene i programmet.

Ordnet ser likningssettet slik ut:

$\begin{array}{rcl}-x-y & =& -6\\ 4x+4y & =& -2\end{array}$

Programmet ser da slik ut:

1a = -1
2b = -1
3c = -6
4d = 4
5e = 4
6f = -2
7
8y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d)
9x = c/a - b/a*y
10
11print(f"Løsningen er x = {x:.2f}, y = {y:.2f}.")

Programmet gir feilmelding fordi det prøver å dele på 0. Dette henger sammen med at likningssettet ikke har noen løsning. Da er det ikke mulig å regne ut noe svar.

Vi må teste om nevneren i uttrykket for y er lik null.

• Gi variablene a, b, c, d, e og f verdiene til koeffisientene i likningssettet.

• Regn ut ae - bd og sett resultatet lik variabelen nevner.

• Dersom nevner er lik 0:

  • Skriv til skjermen "Likningssettet har ingen løsning".

• Dersom nevner er forskjellig fra 0:

  • Regn ut (af - cd)/nevner og sett resultatet lik variabelen y.

  • Regn ut c/a - by/a og sett resultatet lik variabelen x.

  • Skriv til skjermen "Løsningen er x = <x>, y = <y>.".

Med "<x>" og "<y>" mener vi verdien av variablene x og y.

Koden kan se slik ut:

1a = -1
2b = -1
3c = -6
4d = 4
5e = 4
6f = -2
7
8nevner = a*e - b*d
9
10if nevner == 0:
11  print(f"Likningssettet har ingen løsning.")
12
13else:
14  y = (a*f - c*d)/nevner
15  x = c/a - b/a*y
16  print(f"Løsningen er x = {x:.2f}, y = {y:.2f}.")

Test programmet i oppgave i) på likningssettet i oppgave 1 f). Gir det riktig svar?

Likningssettet har uendelig mange løsninger for y, og dermed uendelig mange løsninger for x. Dette tar ikke programmet i oppgave i) hensyn til, det sier bare at likningssettet ikke har noen løsning.

Finn ut hvordan du kan teste i programmet for å finne ut om likningssettet har uendelig mange løsninger.