Skjæringspunkt og nullpunkt

Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner at punktet $A\left(2, 2\right)$ er skjæringspunktet mellom grafene, se figuren i a).

Uten bruk av digitale hjelpemidler:

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & g\left(x\right)\\ -\frac{3}{2}x+5& =& 2x-2\\ -3x+10& =& 4x-4 \\ -3x-4x& =& -4-10\\ -7x& =& -14\\ x& =& 2\\ g\left(2\right)& =& 2·2-2=4-2=2\end{array}$

Vi får både med og uten digitale hjelpemidler at skjæringspunktet er (2, 2).

Grafisk bruker vi verktøyet "Nullpunkt". (Vi kunne også ha brukt verktøyet "Skjæring mellom to objekt" på grafene og x-aksen, som gir det samme resultatet.)

Funksjonen f har nullpunkt for $x=3,3$ (se punktet C i oppgave a)), og funksjonen g har nullpunkt $x=1,0$ (se punktet B).

Ved regning uten digitale hjelpemidler:

$\begin{array}{l}\begin{array}{rclccrcl}f\left(x\right)& =& 0& & & g\left(x\right)& =& 0\\ -\frac{3}{2}x+5& =& 0& & & 2x-2& =& 0\\ -3x& =& -10& & & 2x& =& 2\\ x& =& \frac{10}{3}& & & x& =& 1\end{array}\end{array}$

Ved regning med CAS i GeoGebra:

Vi får samme nullpunkter ved regning som grafisk.

For å finne ut hvor mye lønn Per får per time for selve salget, må vi multiplisere lønna per salg (10) med antall salg s. Den totale lønna per time for Per er summen av grunnlønna på 105 kroner og lønna for salget, 10s.

$L\left(s\right)=10s+105$

Vi skriver L(s)=Funksjon(10s+105,0,15) i algebrafeltet i GeoGebra og får tegnet grafen.

Vi tegner linja $y=175$. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til L med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktet A på figuren i oppgave b).

Med ei timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 salg.

Dette kan vi også finne ved regning i CAS.

Siden definisjonsmengden går til og med 15, er den største verdien funksjonen kan ha, $15·10 \mathrm{kroner}+105 \mathrm{kroner}=255 \mathrm{kroner}$. Den laveste er 105 kroner. Verdimengden blir $V_L=\left[105, 255\right]$.

Vi må regne ut temperaturstigningen per minutt, som blir $\frac{5,4 °\mathrm{C}}{60 \min }=0,09 °\mathrm{C}/\min$. Den totale temperaturstigningen etter x minutter får vi ved å multiplisere x med 0,09, og temperaturen i vannet får vi ved å legge til starttemperaturen på 5 °C. Temperaturfunksjonen blir derfor

$T\left(x\right)=0,09x+5$

1,5 timer tilsvarer $1,5·60 \min =90 \min$.

$T\left(90\right)=0,09·90+5=13,1$

Temperaturen i vannet etter 2,5 timer er 13,1 °C.

Vi tegner linja $y=14$. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til T med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktet A på figuren i oppgave c).

Temperaturen var 14 °C etter 100 minutter, altså etter 1 time og 40 minutter.

Når prøven starter, er $x=0$. Temperaturen i vannflaska til Anette var dermed 6,5 °C ved prøvestart.

Siden funksjonen for temperaturen i vannet til Anette (f) har mindre stigningstall enn funksjonen for temperaturen i vannet til Trine, stiger temperaturen saktere i vannet til Anette. Flasken til Anette er derfor best til å holde vannet kaldt.

Vi kan ta utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet $\left(1, 1\right)$. Når vi beveger oss 1 enhet i positiv retning langs førsteaksen, stiger grafen med 2 enheter.

Stigningstallet er $\frac{2}{1}=2$.

Vi kaller funksjonen for f. Grafen til funksjonen f skjærer andreaksen i punktet $\left(0, -1\right)$. Konstantleddet er dermed $-1$.

Funksjonsuttrykket kan da skrives som

$f\left(x\right)=2x-1$

Nullpunktet er der grafen skjærer førsteaksen.

Grafisk ser vi at nullpunktet er $x=\frac{1}{2}$.

Ved regning setter vi

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$

Ordne hver likning slik at $y$ skrives som en funksjon av $x$ i hver av likningene.

Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}x+y& = & -2& \Rightarrow & y& = & -x-2\\ & & & & & & \\ 2x-3y& =& 6& \Rightarrow & y& =& \frac{2}{3}x-2\end{array}$

Så tegner vi grafene og leser av skjæringspunktet:

x-koordinaten er løsningen for x, og y-koordinaten er løsningen for y. Løsningen på likningssettet er

$x=0 \wedge y=-2$

Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}6x+2y& = & 8& \Rightarrow & y& = & -3x+4\\ & & & & & & \\ 2x-y& =& 6& \Rightarrow & y& =& 2x-6\end{array}$

Så tegner vi grafene og leser av skjæringspunktet:

Løsningen på likningssettet er $x=2 \wedge y=-2$.

Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}-5x-2y& = & 4& \Rightarrow & y& = & -\frac{5}{2}x-2\\ & & & & & & \\ 2x-3y& =& 6& \Rightarrow & y& =& \frac{2}{3}x-2\end{array}$

Så tegner vi grafene og leser av skjæringspunktet:

Løsningen på likningssettet er $x=0 \wedge y=-2$.

Siden vi kommer fram til to uttrykk der konstantleddene er like, trenger vi ikke egentlig å tegne grafene for å se at løsningen for x er 0, for da får vi samme y-verdi fra de to likningene: $-2$.

Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}-4x& = & 3y-2& \Rightarrow & y& = & -\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\\ & & & & & & \\ -6y& =& 8x-4& \Rightarrow & y& =& -\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\end{array}$

Grafene får samme funksjonsuttrykk. Det vil si at de er sammenfallende. Alle punkter som ligger på linja $y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$, er løsninger av likningssettet.

Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x:

$\begin{array}{rclcccl}-y& = & x-6& \Rightarrow & y& = & -x+6\\ & & & & & & \\ 4y+4x& =& -2& \Rightarrow & y& =& -x-\frac{1}{2}\end{array}$

Så tegner vi grafene og leser av skjæringspunktet:

Siden linjene har samme stigningstall og ulikt konstantledd, er de parallelle og vil ikke skjære hverandre. Likningssettet har derfor ingen løsning. Siden vi kommer fram til to uttrykk der stigningstallene er like, men konstantleddene ulike, trenger vi ikke egentlig å tegne grafene for å se at de ikke har løsning.