Regresjon og modellering

Vi skriver tallene fra tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra, men lar året 1973 tilsvare $x=0$, året 1980 tilsvare $x=7$ og så videre. Vi velger regresjonsanalyseverktøyet og modellen "Lineær", og vi får at funksjonen S kan beskrives med uttrykket $S\left(x\right)=-5,39x+158$. Vi kopierer funksjonen og punktene over i grafikkfeltet.

Vi skriver inn linja $y=100$ og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til funksjonen S med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Vi finner at utslippet av svoveldioksid er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, det vil si i 1984.

Utslipp i år 2010, som er 37 år etter 1973:

Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til 1996. En lineær modell passer dårlig etter 1996.

Vi skriver tallene fra tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra, men lar året 1998 tilsvare $x=0$, året 2000 tilsvare $x=2$ og så videre. Vi velger regresjonsanalyseverktøyet og modellen "Lineær" for hver av indeksene.

Frukt: Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $F\left(x\right)=0,8x+101$.

Tobakk: Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $T\left(x\right)=7,7x+100$.

Sko og annet fottøy: Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $S\left(x\right)=-2,2x+104$.

Året 2006 tilsvarer at $x=8$.

Prisindeks i 2006 for frukt er$F\left(8\right)=0,8·8+101=107,4$.

Prisindeks i 2006 for tobakk er $T\left(8\right)=7,7·8+100=161,6$.

Prisindeks i 2006 for sko og annet er $S\left(8\right)-2,2·8+104=86,4$.

Vi kan også regne ut dette direkte i GeoGebra ved å skrive F(8) og så videre.

Modellene stemmer ganske bra med de observerte verdiene.

Vi velger å bruke Python:

1from scipy.optimize import curve_fit
2
3X = [7,8,9,10,11,13,15,18]
4Y = [102.5,100,99,93.5,93.2,77.1,68.1,58.5]
5
6
7def modell(x,a,b):
8    return a*x + b
9
10konstanter, kovarians = curve_fit(modell, X,Y)
11
12a,b = konstanter
13
14print(f'P(x)= {a:.1f}x+{b:.0f}')

Dette gir $P\left(x\right)=-4,3x+136$.

Prisindeks i 2007 er $P\left(17\right)=-4,3·17+135,9=62,8$.

Prisindeks i 1990 er $P\left(0\right)=-4,3·0+135,9=135,9$.

Modellen bygger på de observerte verdiene i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen en prisindeks på 62,8, mens den i virkeligheten var 61,6. Vi kan dermed si at modellen treffer meget bra når det gjelder 2007.

I perioden fra 1997 til 2008 falt prisen på klær. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klær falt fra 1990 og framover. Prisindeksen på 135,9 for 1990 vil være den høyeste i hele perioden 1990–2008.

Når den virkelige prisindeksen i 1990 var på 99,5, betyr det at vår modell treffer dårlig. Prisutviklingen på klær følger ikke modellen vår i perioden 1990 til 1997. Fra 1990 fram til 1997 har det faktisk vært en økning i prisindeksen.

I begge tilfellene utgjør konstantleddet de faste utgiftene og timeprisen stigningstallet.

Hos firma A er totalkostnadene i kroner ved leie av lokalet i x timer gitt med funksjonsuttrykket

$A\left(x\right)=500x+3 000$

Konstantleddet er 3 000 og viser her at den faste leieprisen er 3 000 kroner. Den må betales uansett hvor mange timer lokalet leies. Legg merke til at grafen skjærer y-aksen i punktet (0, 3 000).

Stigningstallet er 500. Det betyr at det koster 500 kroner for hver ekstra time lokalet leies.

Kostnadene øker jevnt med økningen i antall leide timer. Vi har lineær vekst i kostnadene.

Tilsvarende gjelder for $B\left(x\right)$ og firma B.

Vi tegner grafene til de to funksjonene og finner skjæringspunktet mellom grafene med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafene skjærer hverandre når $x=2$. Det betyr at hvis du skal leie lokalene i to timer, er det prismessig det samme hvilket firma du velger. Prisen er 4 000 kroner hos begge firmaene.

Hvis du skal leie lokalet i mindre enn to timer, lønner det seg å velge firma B. Det ser vi ved at grafen til $B\left(x\right)$ ligger under grafen til $A\left(x\right)$ i dette området.

Hvis du skal leie lokalet i mer enn to timer, lønner det seg å velge firma A. Det ser vi ved at grafen til $B\left(x\right)$ ligger under grafen til $A\left(x\right)$ i dette området.