Oppgave

Interaktivt innhold

Lineære funksjoner

Her kan du bli bedre kjent med lineære funksjoner. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Skriv inn $f (x) = a \cdot x + b$ i algebrafeltet i GeoGebra. Da skal du få to glidere og ei rett linje i grafikkfeltet.

Endre på gliderne til a og b. Hva observerer du?

Løsning

Her har vi bygd inn ei interaktiv GeoGebra-fil som du kan bruke om du ikke klarte å lage figuren:

Vi kan observere at dersom $a < 0$ , får vi ei linje som synker når x vokser. Hvis $a > 0$ , får vi det motsatte, ei linje som stiger når x vokser. Hvis $a = 0$ , får vi ei vannrett linje.

Vi legger merke til at hvis vi endrer på b, vil grafen flytte seg opp og ned i algebrafeltet. Vi ser at linja skjærer y-aksen i punktet $(0, b)$ .

Last ned figuren her hvis den ikke vises(GGB)

Oppgave 2

a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene f, g og h:

$f (x) = 2 x + 2$

Løsning

Stigningstall: 2

Konstantledd: 2

$g (x) = - 3 x - 2$

Løsning

Stigningstall: $- 3$

Konstantledd: $- 2$

$h (x) = x$

Løsning

Stigningstall: 1

Konstantledd: 0

b) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon?

Løsning

Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen.

Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0.

Verditabell
x	f(x)
-2	1
0	2
2	3

Verditabell
x	g(x)
-2	6
0	2
2	-2

Verditabell
x	h(x)
-2	-4
0	0
2	4

Oppgave 4

De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x - 1 \\ g (x) & = & x + 2 \\ h (x) & = & x - 3 \end{array}$

a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem.

Løsning

I et koordinatsystem der x- og y-aksen går fra minus 6 til 6, er grafene til de lineære funksjonene f av x er lik x minus 1, g av x er lik x pluss 2 og h av x er lik x minus 3 tegnet. Grafene er parallelle linjer. Grafen til f av x skjærer y-aksen for y er lik minus 1, grafen til g av x skjærer y-aksen for y er lik 2, og grafen til h av x skjærer y-aksen for y er lik minus 3. Illustrasjon.

b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen?

Løsning

Konstantleddet til $f (x)$ er $- 1$ . Grafen til $f (x)$ skjærer dermed andreaksen i punktet $(0, - 1)$ .

Konstantleddet til $g (x)$ er 2. Grafen til $g (x)$ skjærer dermed andreaksen i punktet $(0, 2)$ .

Konstantleddet til $h (x)$ er $- 3$ . Grafen til $h (x)$ skjærer dermed andreaksen i punktet $(0, - 3)$ .

c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre, og hvorfor det er slik?

Løsning

Funksjonene har samme stigningstall. Linjene er derfor parallelle.

Oppgave 5

Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved

a) $f (x) = x - 2$

Løsning

Grafen til f har stigningstall 1 og konstantledd $- 2$ , det vil si at grafen skjærer andreaksen i $- 2$ . Vi kan ta utgangspunkt i $- 2$ på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne ei rett linje gjennom punktene.

I et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 1 til 6 og y-aksen går fra minus 3 til 4, er grafen til funksjonen f av x er lik x minus 2 tegnet. Grafen er ei rett linje som går gjennom punktet med koordinatene 0 og minus 2, punktet med koordinatene 1 og minus 1 og punktet med koordinatene 2 og 0. Illustrasjon.

b) $g (x) = - x + 2$

Løsning

Grafen til g har stigningstall $- 1$ og konstantledd 2, det vil si at grafen skjærer andreaksen i 2. Vi kan ta utgangspunkt i 2 på andreaksen. Stigningstallet på $- 1$ forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, synker grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne ei rett linje gjennom punktene.

I et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 1 til 6 og y-aksen går fra minus 2,5 til 4, er grafen til funksjonen g av x er lik minus x pluss 2 tegnet. Grafen er ei rett linje som går gjennom punktet med koordinatene 0 og 2, punktet med koordinatene 1 og 1 og punktet med koordinatene 2 og 0. Illustrasjon.

c) $h (x) = 2 x + 0, 5$

Løsning

Grafen til h har stigningstall 2 og konstantledd 0,5, det vil si at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på 2 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med 2 enheter. Vi kan sette av to punkter til og tegne ei rett linje gjennom punktene.

I et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 1 til 5 og y-aksen går fra minus 1,5 til 5, er grafen til funksjonen h av x er lik 2 x pluss 0,5 tegnet. Grafen er ei rett linje som går gjennom punktet med koordinatene 0 og 0,5, punktet med koordinatene 1 og 2,5 og punktet med koordinatene 2 og 4,5. Illustrasjon.

Oppgave 6

a) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene $(3, 4)$ og $(6, 10)$ .

Løsning

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{10 - 4}{6 - 3} = \frac{6}{3} = 2$

b) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(3, 4)$ .

Løsning

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

c) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene $(- 3, 4)$ og $(2, 10)$ .

Løsning

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{10 - 4}{2 - (- 3)} = \frac{6}{5}$

d) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(- 1, - 5)$ .

Løsning

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 5 - 2}{- 1 - 1} = \frac{- 7}{- 2} = \frac{7}{2}$

Oppgave 7

a) Finn stigningstallet til ei linje som har konstantledd lik 5 og går gjennom punktet $(3, 7)$ .

Løsning

Siden konstantleddet er 5, vet vi at linja går gjennom punktet $(0, 5)$ .

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{7 - 5}{3 - 0} = \frac{2}{3}$

b) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktet $(3, - 9)$ og har konstantledd lik $-3$ .

Løsning

Vi bruker formelen:

$a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- 9 - (- 3)}{3 - 0} = \frac{- 6}{3} = - 2$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Lineære funksjoner(DOCX)
Lineære funksjoner(PDF)