Oppgave

Areal og omkrets av plane figurer

Oppgavene nedenfor kan løses med alle hjelpemidler hvis ikke annet er angitt. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Hvordan regner vi ut arealet av et rektangel?

Løsning

Vi ganger sammen lengden av arealet og bredden.

I et rektangel er lengden 3 centimeter og bredden 2 centimeter. Illustrasjon.

b) Regn ut arealet av rektangelet i kvadratcentimeter ( ${cm}^{2}$ ).

Løsning

Arealet blir

$3 cm · 2 {cm = 6 cm}^{2}$

c) Hva blir lengden og bredden på rektangelet målt i mm?

Løsning

Lengden i mm blir $3 cm = 30 mm$ .

Bredden i mm blir $2 cm = 20 mm$ .

d) Bruk svarene i oppgave c) og regn ut arealet av rektangelet målt i kvadratmillimeter ( ${mm}^{2}$ ).

Løsning

Arealet i ${mm}^{2}$ blir

$30 mm \cdot 20 mm = 600 {mm}^{2}$ .

e) Ut ifra svarene i oppgave a) og d): Hvor mange ${mm}^{2}$ er det i $1 {cm}^{2}$ ?

Løsning

Vi får at $6 {cm}^{2}$ er det samme som $600 {mm}^{2}$ siden det er det samme arealet vi regner på. Det betyr at i 1 ${cm}^{2}$ er det $100 {mm}^{2}$ .

Oppgave 2

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Fyll ut tabellen.

Arealenheter
$m^{2}$	${dm}^{2}$	${cm}^{2}$	${mm}^{2}$
1,2	120	12 000	1 200 000
	15
		250
			760 000

Løsning

Arealenheter
$m^{2}$	${dm}^{2}$	${cm}^{2}$	${mm}^{2}$
1,2	120	12 000	1 200 000
0,15	15	1 500	150 000
0,025	2,5	250	25 000
0,76	76	7 600	760 000

Oppgave 3

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Gjør om til kvadratdesimeter, ${dm}^{2}$ .

a) 670 ${cm}^{2}$

b) 120 $m^{2}$

c) 900 ${cm}^{2}$

Løsning

a) 6,70 ${dm}^{2}$

b) 12 000 ${dm}^{2}$

c) 9,00 ${dm}^{2}$

Oppgave 4

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Legg sammen og skriv svaret i kvadratmeter, $m^{2}$ .

a) $34 {dm}^{2} + 800 {cm}^{2} + 8, 9 {dm}^{2}$

b) $430 000 {mm}^{2} + 7 800 {cm}^{2} + 45 {dm}^{2}$

Løsning

a) $0, 34 m^{2} + 0, 08 m^{2} + 0, 089 m^{2} = 0, 509 m^{2}$

b) $0, 43 m^{2} + 0, 78 m^{2} + 0, 45 m^{2} = 1, 66 m^{2}$

Oppgave 5

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Legg sammen og skriv svaret i kvadratcentimeter, ${cm}^{2}$ .

a) $3, 1 m^{2} + 80 {dm}^{2} + 79 000 {mm}^{2}$

b) $8 300 {mm}^{2} + 7 {dm}^{2} + 0, 05 m^{2}$

Løsning

a) $31 000 {cm}^{2} + 8 000 {cm}^{2} + 790 {cm}^{2} = 39790 {cm}^{2}$

b) $83, 0 {cm}^{2} + 700 {cm}^{2} + 500 {cm}^{2} = 1283 {cm}^{2}$

Oppgave 6

Gitt rektangelet ABCD nedenfor.

Rektangel A B C D der A B er 6,0 meter og B C er 2,0 meter. Illustrasjon.

a) Regn ut arealet av rektangelet.

Løsning

Arealet er $6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$ .

b) Regn ut lengden av diagonalen AC.

Løsning

Bruker pytagorassetningen og finner diagonalen.

$\begin{array}{rcl} A C^{2} & = & 6, 0^{2} + 2, 0^{2} \\ A C & = & 6, 32 \end{array}$

Diagonalen AC er ca. 6,3 meter.

c) Regn ut arealet av trekanten ABC.

Løsning

Arealet av trekanten ABC er

$\frac{6, 0 m \cdot 2, 0 m}{2} = 6, 0 m^{2}$

d) Hva er arealet av trekanten ACD?

Løsning

Trekantene ABC og ACD er formlike og like store.

Arealet av ABC er derfor det samme som arealet av ACD, altså $6, 0 m^{2}$ .

Oppgave 7

Et kvadrat har sidelengde på 10,0 cm. Regn ut arealet av kvadratet.

Løsning

Sidene i et kvadrat har lik lengde.

Arealet av kvadratet er

$10, 0 cm \cdot 10, 0 cm = 100, 0 {cm}^{2}$

Oppgave 8

a) Mål opp pulten din og regn ut arealet.
b) Sjekk om du får samme areal som eleven nærmest deg.
c) Hva er årsaken dersom dere ikke fikk samme svar? Målefeil? Ulik størrelse? Avrunding?

Oppgave 9

Gitt firkanten ABCD.

Trapes A B C D der hjørnet A er 90 grader og sidene A B og C D er parallelle. Siden A D er 2 meter og siden C D er 6 meter. Normalen fra C ned på A B treffer A B i punktet F. Siden B F er 3 meter lang. Illustrasjon.

a) Hva slags type firkant er dette? Forklar hvorfor.

Løsning

Firkanten ABCD er et trapes fordi sidene AB og CD er parallelle.

b) Finn arealet av firkanten ABCD.

Løsning

Sidelengden AB er

$6 m + 3 m = 9 m$

Arealet av trapeset ABCD er

$(\frac{9 m + 6 m}{2}) \cdot 2 m = \frac{15 m}{2} \cdot 2 m = 15 m^{2}$

c) Finn arealet av trekanten FBC og rektangelet AFCD.

Løsning

Arealet av trekanten FBC er

$\frac{3 m \cdot 2 m}{2} = 3 m^{2}$

Arealet av rektangelet AFCD er

$6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$

d) Legg sammen arealene du fant i c). Hva observerer du?

Løsning

Summen blir $3 m^{2} + 12 m^{2} = 15 m^{2}$ .

Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det samme som arealet av trapeset. (Heldigvis :))

Oppgave 10

Finn arealet av parallellogrammet EFGH.

Parallellogram E F G H der siden G H er 4 desimeter og normalen fra H ned på siden E F har lengden 2 desimeter. Illustrasjon.

Løsning

Arealet av parallellogrammet EFGH er grunnlinjen multiplisert med høyden.

$4 dm \cdot 2 dm = 8 {dm}^{2}$

Oppgave 11

Finn arealet av trekanten ABC.

I trekanten A B C er A B 2 centimeter og B C 5 centimeter. Høyden h går ned fra C og treffer forlengelseslinja gjennom A B 3 centimeter utenfor B. Illustrasjon.

Løsning

Finner først høyden h fra C ned på linja gjennom AB.

Pytagorassetningen gir:

$\begin{array}{rcl} h^{2} & = & 5^{2} - 3^{2} \\ h^{2} & = & 25 - 9 \\ h & = & \sqrt{16} \\ h & = & 4 \end{array}$

Arealet av trekanten ABC er

$\frac{grunnlinje \cdot høyde}{2} = \frac{2 cm \cdot 4 cm}{2} = 4 {cm}^{2}$

Oppgave 12

Regn ut arealet av sirkelen.

Sirkel med sentrum S og radius 3,0 centimeter. Illustrasjon.

Løsning

$3, 14 \cdot 3, 0^{2} = 28, 27$

Arealet av sirkelen er $28 {cm}^{2}$ .

Oppgave 13

Halvsirkel med sentrum i S og radius 5,0 meter. Illustrasjon.

Gitt en halvsirkel med radius 5 m. Regn ut arealet av halvsirkelen.

Løsning

$\frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 39, 27$

Arealet av halvsirkelen er $39 m^{2}$ .

Oppgave 14

Ei DVD-plate har en diameter på 12,0 cm. Innerst er det et hull med en diameter på 1,5 cm. Finn arealet av DVD-plata.

Løsning

Radien til DVD-plata er 6,0 cm, og radien til hullet er 0,75 cm.

$3, 14 \cdot 6, 0^{2} - 3, 14 \cdot 0, 75^{2} = 111, 33$

Arealet av DVD-plata er 111 cm².

Oppgave 15

Mangekant som består av to delvis overlappende rektangler der sidene er parvis parallelle. Det ene rektangelet har målene 8000 millimeter og 7000 millimeter, mens det andre har målene 8000 millimeter og 6000 millimeter. Overlappet mellom rektanglene er også rektangelformet og har målene 2500 millimeter og 3000 millimeter. Fra motsatt ende av siden som overlapper med 2500 millimeter går en av sidene i mangekanten direkte til nærmeste hjørne på det andre rektangelet. Illustrasjon.

Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i millimeter (mm).

Vis at grunnflaten til bygget har et areal på $107, 5 m^{2}$ .

Løsning

Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ.

Metode:

Finner arealet av de to store firkantene.

Legger til arealet av trekanten.

Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre.

Areal av den øverste store firkanten:

$7, 0 m \cdot 8, 0 m = 56, 0 m^{2}$

Areal av den nederste store firkanten:

$8, 0 m \cdot 6, 0 m = 48, 0 m^{2}$

Areal av trekanten:

$\frac{(8, 0 m - 2, 5 m) \cdot (7, 0 m - 3, 0 m)}{2} = \frac{5, 5 m \cdot 4, 0 m}{2} = 11, 0 m^{2}$

Areal av det området som blir med i begge de store firkantene:

$2, 5 m \cdot 3, 0 m = 7, 5 m^{2}$

Samlet areal blir:

$56, 0 m^{2} + 48, 0 m^{2} + 11, 0 m^{2} - 7, 5 m^{2} = 107, 5 m^{2}$

Oppgave 16

Figur med utgangspunkt i en likesidet trekant med sider lik 30,0 centimeter. Midt på en av sidene er det skåret ut en halvsirkel med diameter 10,0 centimeter. Illustrasjon.

Figuren viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med diameter 10,0 cm.

a) Regn ut høyden i trekanten.

Løsning

Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen. Bruker pytagorassetningen og finner høyden h i trekanten.

$\begin{array}{rcl} h^{2} + 15^{2} & = & 30^{2} \\ h^{2} & = & 900 - 225 \\ h^{2} & = & 675 \\ h & = & \sqrt{675} = 25, 98 \end{array}$

Høyden i trekanten er ca. 26,0 cm.

b) Regn ut arealet av den utskårne trekanten.

Løsning

Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen.

$\frac{30, 0 \cdot 26, 0}{2} - \frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 350, 73$

Arealet er $351 {cm}^{2}$ .

c) Regn ut omkretsen av den utskårne trekanten.

Løsning

Omkretsen av halvsirkelen er $\frac{π \cdot d}{2}$ .

$\frac{3, 14 \cdot 10}{2} + 30 \cdot 2 + 30 - 10 = 95, 71$

Omkretsen av trekanten blir dermed 95,7 cm.

Oppgave 17

Figuren nedenfor viser en arbeidstegning. Målene er satt på figuren.

Figur satt sammen av to rektangler og en likebent trekant. Inntil den korteste siden av det første rektangelet er langsiden til det andre rektangelet plassert slik at det stikker ut like mye på hver side. Den andre langsiden danner grunnlinjen i trekanten, der høyden er 8 centimeter. Grunnlinjen i trekanten er største bredde på figuren, som er 12 centimeter. Kortsiden i det første rektangelet er 6 centimeter. Hele lengden av figuren er 23 centimeter. Hele lengden på figuren unntatt trekantdelen er 13 centimeter. Illustrasjon.

Regn ut overflaten (arealet) av gjenstanden.

Løsning

Overflaten av det store rektangelet:

$6 cm \cdot 13 cm = 78 {cm}^{2}$

Overflaten av det lille rektangelet:

$2 cm \cdot 12 cm = 24 {cm}^{2}$

Overflaten av trekanten:

$\frac{12 cm \cdot 8 cm}{2} = 48 {cm}^{2}$

Samlet overflate av gjenstanden:

$78 {cm}^{2} + 24 {cm}^{2} + 48 {cm}^{2} = 150 {cm}^{2}$

Oppgave 18

Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et kvadrat med sidelengde 7,00 cm?

Løsning

Arealet av sirkelen: $π \cdot r^{2} = 3, 14 \cdot 4, 0^{2} = 50, 27 {cm}^{2}$

Arealet av kvadratet: $7, 00^{2} {cm}^{2} = 49 {cm}^{2}$

Arealet av sirkelen er størst.

Oppgave 19

Regn ut arealet av det skraverte området på figuren.

Rektangel med lengde 6,0 meter og bredde 3,0 meter dekket av to kvarte sirkler med radius 3,0 meter og som er plassert med sentrum i to hjørner diagonalt overfor hverandre. Illustrasjon.

Løsning

Arealet av hele rektangelet: $6, 0 m \cdot 3, 0 m = 18 m^{2}$

Areal av de to kvartsirklene: $2 \cdot \frac{π \cdot (3, 0 m)^{2}}{4} = 14, 13 m^{2}$

Arealet av det skraverte området blir:

$18 m^{2} - 14, 13 m^{2} = 3, 87 m^{2} \approx 3, 9 m^{2}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Areal og omkrets av plane figurer(DOCX)
Areal og omkrets av plane figurer(PDF)

Geometri i praksis