Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Korleis finne den deriverte funksjonen ved rekning

Vi skal nå se hvordan vi kan finne en nøyaktig verdi for den momentane vekstfarten til en funksjon i et punkt.

Graf med detaljer

Vi skal no sjå korleis vi kan finne ein nøyaktig verdi for den momentane vekstfarten til ein funksjon i eit punkt.

Vi nyttar oss av same prinsipp som vi brukte for å finne ein tilnærma verdi for den momentane vekstfarten.

Vi tar utgangspunkt i ein tilfeldig funksjon f.
Vi teiknar grafen av funksjonen, vel ein tilfeldig x-verdi og får et punkt på grafen Ax, fx.

Vi ønskjer å finne vekstfarten til funksjonen for akkurat denne x -verdien.

Vi gir x eit tillegg Δx, og får eit nytt punkt på grafen, Bx+Δx, fx+Δx.

Vi trekkjer ein sekant (grøn linje) gjennom punkta A og B.

Vi reknar ut stigingstalet til denne linja:

a=ΔyΔx=fx+Δx-fxx+Δx-x=fx+Δx-fxΔx


Vi har då funne eit uttrykk for gjennomsnittleg vekstfart frå A til B.

Vi lar no punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså Δx gå mot null.

Då vil sekanten (grøn) gradvis nærme seg til å bli ein tangent (raud linje) til kurva i A.

Stigingstalet (brattleiken) til denne tangenten fortel kor fort kurva veks akkurat her. Vi kallar dette stigingstalet for den momentane veksten i punktet x, fx eller den deriverte av f i punktet. Vi skriv f'x og les « f derivert av x».

Legg merke til teiknet for den deriverte, ein liten apostrof.

Den deriverte

Vi ser på grafen ovanfor.


f'x er den verdien ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmar seg mot når Δx går mot null. Matematisk skriv vi dette med hjelp av ordet "lim".

Definisjon

f'x=limΔx0ΔyΔx=limx0fx+Δx-fxΔx

Den deriverte i eit punkt er stigingstalet til tangenten til grafen i dette punktet.

Den deriverte i eit punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det same.

Definisjonen ovanfor er ein lokal definisjon. Han seier noko om verdien av den deriverte i eit punkt, nemleg punktet med førstekoordinaten x. Dersom vi no ser på alle verdiar av x i definisjonsområdet til f, får vi ein ny funksjon, den deriverte funksjonen f' som til kvar verdi av x har y-verdien f'x. Det er denne funksjonen vi kallar den deriverte funksjonen.
Derivere tyder å utleie eller avleie og f' er ein ny funksjon som vi har utleia frå f .

Korleis finne verdiar for momentan vekstfart (den deriverte) grafisk

Graf

Den momentane vekstfarten eller den deriverte av fx=x2+2 når til dømes
x=0,5, er altså det same som stigingstalet for tangenten til kurva når x=0,5.

Vi kan finne ein verdi for denne vekstfarten grafisk ved å teikne grafen av f og tangenten til f når x=0,5.

Vi ser at tangenten har stigingstalet 1. Den momentane vekstfarten er altså lik 1 når
x=0,5.
Den deriverte av f(x) når x=0,5 er 1. Vi skriv

f'0,5=1.

Korleis rekne ut verdiar for den deriverte ved å bruke definisjonen

Vi vil no rekne oss fram til den deriverte av fx=x2+2 når x=0,5.

Vi hugsar definisjonen på den deriverte

f'x er den verdien som ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmar seg mot når Δx går mot null.

f'x=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx

Korleis finn vi så fx+Δx?
fx+Δx er det uttrykket du får når du bytter ut x med x+Δx i funksjonsuttrykket.

Graf

Det gir

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0x+Δx2+2-x2+2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2+2-x2-2Δx=limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0(2x+Δx)=2x

I den siste overgangen skjøner vi at når Δx blir meir og meir lik null, så må jo 2x+Δx bli meir og meir lik 2x . Difor er grenseverdien for 2x+Δx når Δx går mot null, lik 2x.

Vi har no funne at når fx=x2+2, så er f'x=2x

Då kan vi rekne ut f'0,5=2·0,5=1.

Den deriverte funksjonen av f , f'x=2x, er ein ny funksjon og er definert for alle verdiar av x i definisjonsområdet til f.

Vi kan bruke denne funksjonen til å finne den momentane vekstfarten for alle verdier av x i definisjonsområdet til f .

Til dømes er f'4=2·4=8. Den momentane vekstfarten når x=4 er lik 8.

Læringsressursar

Vekstfart og derivasjon