Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. Prosent og prosentvis vekstChevronRight
  5. VekstfaktorChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vekstfaktor

Vekstfaktoren kan spare oss for mykje arbeid når vi reknar med prosentvis endring.

Prisauke

Kvinne i klesbutikk. Foto.

Ei vare kostar 1 500 kroner.

Kva vil vara koste dersom prisen aukar med 25 %?

Løysing

Til no har vi funne ny pris på følgjande måte:
Vi reknar ut prisauken ved først å dele prisen på 100 for å finne kva 1 % utgjer, og så multipliserer vi med 25 for å finne kva 25 % utgjer. Så legg vi prisauken til gammal pris og finn ny pris.
Reknestykket blir

Ny pris=1 500 kroner+1 500100·25 kroner=1 875 kroner.

I staden for å rekne som skildra ovanfor, kan vi rekne slik:

Ny pris=1 500+1 500100·25=1 500+1500·25100=1 5001+25100=1 5001+0,25=1 500·1,25=1 875

Dette blir mykje enklare. Vi multipliserer gammal pris med 1,25 og finn ny pris.

Talet 1,25 blir kalla vekstfaktoren.

Du finn ny pris ved å multiplisere gammal pris med vekstfaktoren.

Ny pris=Gammal pris·Vekstfaktor

Avslag i pris

Utval av ski i sportsbutikk. Foto.

Ei vare kostar 1 500 kroner.

Kva må du betale for vara når du får eit avslag på 25 %?

Løysing

Vi følgjer same framgangsmåte som ved prisauken i eksempelet over.

Ny pris = 1 500-1 500·25100=1 5001-25100=1 5001-0,25=1 500·0,75=1 125

Ny pris blir 1 125 kroner.

Talet 0,75 blir òg i dette tilfellet kalla vekstfaktoren sjølv om prisen ikkje veks, men minkar. Vi seier at vi har negativ vekst.

Du ser igjen at du finn ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren.

Du finn ny pris ved å multiplisere gammal pris med vekstfaktoren.

Ny pris=Gammal pris·Vekstfaktor

Dette fører til at prosentrekninga blir mykje enklare.

Konklusjon

Når du skal auke eit tal med p %, blir vekstfaktoren 1+p100.

Når du skal redusere eit tal med p %, blir vekstfaktoren 1-p100.

I begge tilfella må du multiplisere gammal verdi med vekstfaktoren for å finne ny verdi.


Ved bruk av vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer fleire prosentvise endringar etter kvarandre.

Eksempel 1

Salsplakatar i butikk. Foto.
Kva er vekstfaktoren her?

Ei vare som kostar 500 kroner blir først sett opp med 12 % og deretter ned med 20 %. Finn ny pris.

Løysing

Etter prisauken blir prisen

500 kroner·1,12=560 kroner

Etter at prisen så blir sett ned igjen, vil vara koste

(500 kroner·1,12)·0,80=500 kroner·1,12·0,80=448 kroner

Eksempel 2

Eit beløp på 10 000 kroner står i banken til ei fast rente på 3 % per år. Kor mykje har beløpet vakse til dersom det står 8 år i banken?

Løysing

Beløpet etter 8 år:

10 000 kroner·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03=10 000 kroner·1,038=12668 kroner

Ved CAS i GeoGebra får vi

10000·1.038112667.7

Eksponentiell vekst

Når ein storleik har same prosentvise endring over fleire periodar av same lengde, til dømes over fleire år, har vi eksponentiell vekst.

I eksempel 2 vil 10 000 kroner etter x år i banken vekse til kroner  10000·1,03x. Nedanfor har vi skrive inn denne formelen på skrivelinja i GeoGebra, og vi fekk då teikna ein graf som viser utviklinga på pengebeløpet i banken dei neste 180 åra.

Grafen til funksjonen f av x er lik 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 180. På x-aksen har vi talet på år pengane står i banken, og på y-aksen har vi talet på kroner i banken. Grafen stig brattare og brattare. Skjermutklipp.
Eksponentiell vekst ved banksparing

Vi ser av grafen at auken på bankinnskotet er nokså moderat dei første åra, for så å omtrent eksplodere. Det er dette som er karakteristisk ved eksponentiell vekst.

Eksempel 3

I byrjinga av mars 2020 oppdaga styresmaktene i Noreg dei første tilfella av personar smitta med koronaviruset. Styresmaktene visste at dersom ikkje tiltak vart sett inn for å hindre spreiing av viruset, så ville kvar koronapasient i gjennomsnitt smitte cirka 2,4 andre personar. Det ville bety ein eksponentiell vekst av tal på nye smitta personar med ein vekstfaktor på 2,4. Dei gjekk ut frå at eitt smitteledd svarte til fem dagar.
Det vil seie at for kvar femdagarsperiode vart det smitta eit tal nye personar som var 2,4 gonger så mange som dei som vart smitta i den førre femdagarsperioden.
I reknearket og grafen nedanfor ser vi smittekjeda frå berre éin person. Reknearket viser at etter seks smitteledd, altså berre etter ein månad, vil smittekjeda frå berre denne eine pasienten gi 191 nye smitta, og til saman vil det ha ført til 327 pasientar.

Det er etter seks smitteledd, eller ein månad, at talet på nye smitta personar verkeleg aukar under desse føresetnadene.
I oppgåva Koronaviruset og eksponentiell vekst kan du utforske kva utvikling vi kan forvente ved endra føresetnader.

Grafen til funksjonen f av x er lik 2,4 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 11. På x-aksen har vi tal på smitteledd, og på y-aksen har vi tal på nye smitta personar. Grafen stig brattare og brattare. Skjermutklipp.
Mogleg utvikling av koronasmitte

Eksempel 4

Adam set 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 % per år. Kor lenge må pengane stå i banken før det står 5 500 kr på kontoen?

Løysing

Vi kan setje opp følgjande likning der x er tida pengane må stå i banken:

5 000·1,02x=5500

Ei slik likning kallar vi ei eksponentiallikning fordi den ukjende opptrer som eksponent i ein potens.

Vi kan løyse likninga med CAS i GeoGebra.

5000·1.02x=55001NLøys: {x=4.81}

Pengane må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

Eksempel 5

Vi går ut frå at innbyggjartalet i Småby veks med 1,5 % kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby. Kor mange år går det før innbyggjartalet er 15 000?

Løysing

Vi finn vekstfaktoren:

1+1,5100=1,015

Vi kan setje opp og løyse følgjande eksponentiallikning ved CAS i GeoGebra:

13000·1.015x=150001NLøys: {x=9.611}

Innbyggjartalet vil vere 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 6

Bruktbilar. Foto.
Kor mange år vil det gå før verdien på bilen er halvert?

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 % kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.
Kor lang tid går det før verdien på bilen er halvert i forhold til kva Kari betalte?

Løysing

Vekstfaktoren blir 1-10100=0,90.

Verdien på bilen x år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved 200000·0,90x .

For å finne ut kor mange år det går før verdien på bilen er halvert, kan vi setje opp og løyse eksponentiallikninga nedanfor ved CAS i GeoGebra.

200000·0.90x=1000001NLøys: {x=6.58}

Verdien til bilen er halvert etter 6,6 år.

Eksempel 7

Prisen på ei vare er sett ned med 15 %. Vara kostar no 1 700 kroner.

Kva kosta vara før prisen vart sett ned?

Løysing

Den nye prisen på kroner 1 700 vart rekna ut ved at den opphavlege prisen vart multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren blir då

1-15100=0,85

Vi kallar den opphavlege prisen for x og set opp ei likning:

 x·0,85 = 1 700x·0,850,85=1 7000,85        x= 1 7000,85        x=2 000

Vara kosta 2 000 kroner før prisen vart sett ned.

Ved å løyse likninga ser du at den opphavlege prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjeld alltid. Det er altså ikkje naudsynt å rekne med likning for å finne opphavleg verdi.

Du finn opphavleg verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren.

Læringsressursar

Prosent og prosentvis vekst

Kva er kjernestoff og tilleggsstoff?