Prisauke
Ei vare kostar 1 500 kroner.
Kva vil vara koste dersom prisen aukar med 25 prosent?
Løysing
Med vanleg prosentrekning og metoden "vegen om 1" kan vi finne ny pris ved å rekne ut prisauken og legge han til den opphavlege prisen.
Vi bereknar prisauken ved først å dele den opphavlege prisen på 100 for å finne kva 1 prosent utgjer, og så multipliserer vi med 25 for å finne kva 25 prosent utgjer. Så legg vi prisauken til den gamle prisen og finn den nye prisen.
Reknestykket blir slik:
Den nye prisen blir 1 875 kroner. Vi kan til dømes bruke CAS til å rekne ut svaret.
Vi ser no litt på dette reknestykket for å sjå om vi kan gjere nokre forenklingar.
I overgangen frå andre til tredje linje har vi faktorisert uttrykket ved å setje 1 500 utanfor parentesen. Vi ser at dersom vi multipliserer den gamle prisen med 1,25, får vi den nye prisen. Dette blir mykje enklare dersom vi kan finne ein enkel måte å finne talet 1,25 på. Det kjem vi til lenger ned på sida.
Talet 1,25 blir kalla vekstfaktoren. Vi finn den nye prisen ved å multiplisere den gamle prisen med vekstfaktoren. Vi kan skrive slik:
Avslag i pris
Vi kan finne ein tilsvarande vekstfaktor når noko skal reduserast med ein viss prosent. Sjå her:
Ei vare kostar 1 500 kroner.
Kva må vi betale for vara når vi får eit avslag på 25 prosent?
Løysing
Først reknar vi ut den nye prisen ved å bruke metoden "vegen om 1". Det blir nesten dei same utrekninga som i det førre dømet.
Den nye prisen blir 1 125 kroner.
Så følgjer vi den same framgangsmåten som ved prisauken i dømet over og ser om vi kan forenkle reknestykket.
Talet 0,75 blir også kalla i dette tilfellet for vekstfaktoren sjølv om prisen ikkje veks, men minkar. Vi seier at vi har negativ vekst.
Vi ser igjen at vi finn den nye prisen ved å multiplisere den gamle prisen med vekstfaktoren.
Vekstfaktor
Resultata over betyr at ved prosentvis vekst, negativ eller positiv, blir prosentrekninga mykje enklare når vi bruker vekstfaktoren.
Først finn vi vekstfaktoren.
Så multipliserer vi talet som skal endrast med vekstfaktoren.
Korleis finn vi vekstfaktoren? På linje tre i omforminga i det første dømet over har vi:
Vekstfaktoren er uttrykt i parentesen. Vi finn derfor vekstfaktoren ved ein auke på prosent ved å rekne ut . Vi får tilsvarande uttrykk med minus ved ein reduksjon på prosent, sjå tilsvarande omforming i det andre dømet.
Når vi skal auke eit tal med , blir vekstfaktoren .
Når vi skal redusere eit tal med , blir vekstfaktoren .
I begge tilfella multipliserer vi den gamle/opphavlege verdien med vekstfaktoren for å finne ny verdi.
Døme: prisoppgang
Ei vare som kostar 500 kroner, blir sett opp med 12 prosent. Finn den nye prisen.
Løysing
Vekstfaktoren ved 12 prosent auke er
Vi multipliserer den opphavlege prisen med vekstfaktoren for å finne den nye prisen.
Den nye prisen blir 560 kroner.
Døme: prisoppgang og -nedgang
Ved bruk av vekstfaktor kan vi raskt finne den nye prisen når det skjer fleire prosentvise endringar etter kvarandre.
Ei vare som kostar 500 kroner, blir først sett opp med 12 prosent, for så å bli sett ned med 20 prosent. Finn den nye prisen.
Løysing
Vekstfaktoren ved 12 prosent auke er
Etter prisauken blir prisen
Dette veit vi eigentleg frå døme 1 over. Etterpå skal prisen gå ned med 20 prosent. Vekstfaktoren ved 20 prosent nedgang er
Etter at prisen så blir sett ned, vil vara koste
Vi ser no litt på utrekningane. Først multipliserte vi den opphavlege prisen med den første vekstfaktoren, 1,12. Deretter multipliserte vi resultatet med den andre, 0,8. Konklusjonen er at for kvar prosentvise endring multipliserer vi med ein ny vekstfaktor.
Vi treng derfor ikkje rekne ut kva prisen blir etter prisoppgangen, men kan finne svaret etter dei to prosentvise endringane direkte.
Døme: finne opphavleg pris
Prisen på ei vare er sett ned med 15 prosent. Vara kostar no 1 700 kroner. Vi ønsker å finne kva vara kosta før prisen vart sett ned.
Kva er hovudskilnaden på dette dømet og dei to døma over?
Hovudskilnaden mellom det tredje dømet og dei to første døma
Hovudskilnaden er at i dømet her veit vi ikkje den opphavlege verdien, berre den nye, det vil seie verdien etter den prosentvise endringa.
Løysing
Den nye prisen på 1 700 kroner vart rekna ut ved at den opphavlege prisen vart multiplisert med vekstfaktoren. Sidan prisen vart sett ned med 15 prosent, blir vekstfaktoren
Vi kan finne den opphavlege prisen ved å kalle han for og setje opp ei likning:
Vara kosta 2 000 kroner før prisen vart sett ned.
Vi kan løyse likninga med CAS i GeoGebra ved å skrive inn likninga og trykke på knappen , sjå biletet.
På den tredje linja i den manuelle løysinga over av likninga ser vi at den opphavlege prisen, , er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjeld alltid. Det er altså ikkje nødvendig å rekne med likning for å finne den opphavlege verdien.
Vi finn den opphavlege (gamle) verdien ved å dividere den nye verdien med vekstfaktoren.
Finne prosenten ut frå vekstfaktoren
Kva er den prosentvise endringa når vekstfaktoren er 1,03?
Løysing
Oppgåva er å finne den prosenten som gir ein vekstfaktor på 1,03. Vi veit frå dømet over at ein vekstfaktor på 1,03 svarer til ei rente på 3 prosent. Vi kan òg sjå det direkte av vekstfaktoren. Men det er ikkje alltid lett å sjå kva prosenten er dersom vi har ein vekstfaktor som er mindre enn 1, så korleis kan vi rekne ut prosenten?
Set den ukjende prosenten lik , og bruk formelen for vekstfaktoren til å setje opp ei likning for .
Likning for å finne prosenten
Uttrykket for vekstfaktoren ved ein auke på prosent er
Sidan vekstfaktoren skal vere 1,03, får vi likninga
Prøv å løyse likninga ved manuell rekning. Løys òg likninga med CAS i GeoGebra.
Løysing av likninga
Når vekstfaktoren er 1,03, er renta på 3 prosent.
Med CAS i GeoGebra får vi det same svaret.
