Standard normalfordeling

Vi innfører den kontinuerlege stokastiske variabelen $$ Z$$ som er normalfordelt med $$ \mu =0$$ og $$\begin{gathered} \sigma =1 \\ \end{gathered}$$. Ei slik fordeling kallar vi for standard normalfordeling. Tettleiksfunksjonen til ei slik fordeling er gitt ved

$$ f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{x^2}{4}}$$

Vi har at det kumulative sannsynet, $$ P(Z\le z)$$, er lik arealet under grafen til $$ f\left(z\right)$$ frå minus uendeleg til $$ z$$, det vil seie at vi har

$$ P\left(Z\le z\right)={\int }_{-\infty }^{z}f\left(x\right)dx$$

For standard normalfordeling er det utarbeidd tabellar over dei kumulative sannsyna, noko som gjer at ein kan finne sannsyn utan å rekne ut integral eller bruke digitale hjelpemiddel. Ein tabell over sannsyna i ein standard normalfordelt variabel inneheld ei skjematisk oversikt over dei kumulative sannsyna for $$ Z$$-verdiar med ein avstand på $$ 0,01$$. Det er vanleg å oppgi dei kumulative sannsyna mellom $$ -3,09$$ og $$ 3,09$$.

Vedlagt under finn du ein versjon av tabellen som er henta frå eksamenssettet i S2 våren 2023. Vi tilrår at du lastar han ned til datamaskina di sånn at du alltid har han tilgjengeleg for oppgåveløysing.

Eit lite utdrag av tabellen ser slik ut:

Når vi skal bruke tabellen, må vi finne dei to første siffera i overskriftskolonnen til venstre og det tredje sifferet i overskriftsrada. Dersom vi skal finne $$ P\left(Z\le 0,22\right)$$, finn vi $$ \mathrm{0,2}$$ i kolonnen til venstre og $$ \mathrm{0,02}$$ i den øvste rada. Den tilhøyrande cella inneheld talet $$ \mathrm{0,587} 1$$. Dette betyr at $$ P\left(Z\le 0,22\right)=0,587 1$$.

🤔 Tenk over: Korleis finn vi sannsynet for at $$ Z$$ er større enn ein gitt verdi, til dømes $$ P\left(Z>0,44\right)$$?

Vi kan rekne om alle normalfordelte variablar til ein standard normalfordelt variabel $$ Z$$. Dette kan vere nyttig fordi vi då kan finne sannsyn for hand ved hjelp av tabellen. Dersom vi har ein normalfordelt variabel $$ X$$ med forventningsverdi $$ \mu $$ og standardavvik $$ \sigma $$, kan vi skrive han om til den standard normalfordelte $$ Z$$ ved hjelp av formelen

$$ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

🤔 Tenk over: Kvifor blir forventningsverdien til $$ Z$$ lik 0 og standardavviket lik 1?

I oppgåve 4.2.12 på oppgåvesida "Standard normalfordeling" skal du få vise ved rekning at $$ \mu =0$$ og $$\begin{gathered} \sigma =1 \\ \end{gathered}$$ for ein slik variabel.

Døme

På teorisida om normalfordelinga bruker vi høgda til handballspelarane som døme. Den stokastiske variabelen $$ X$$ er høgda til ein tilfeldig vald handballspelar i utvalet. Vi har at høgda til spelarane er normalfordelt med $$ \mu =186$$ og $$ \sigma =8$$. Vi skal no finne sannsynet for at ein tilfeldig vald av desse handballspelarane er meir enn 194 cm, det vil seie $$ P\left(X>194\right)$$, ved hjelp av omskriving til standard normalfordeling.

Vi får at

$$ Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{194-186}{8}=\frac{8}{8}=1$$

Dette betyr at $$ P\left(X>194\right)=P\left(Z>1\right)$$. Vi går inn i tabellen og finn at $$ P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$$.

$$ P\left(X>194\right)=P(Z>1)=1-P\left(Z\le 1\right)=1-0,841 3=0,158 7$$