Standard normalfordeling

Standard normalfordeling

Vi innfører den kontinuerlige stokastiske variabelen $Z$ som er normalfordelt med $\mu =0$ og $\sigma =1$. En slik fordeling kaller vi for standard normalfordeling. Tetthetsfunksjonen til en slik fordeling er gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{x^2}{4}}$

Vi har at den kumulative sannsynligheten, $P(Z\le z)$, er lik arealet under grafen til $f\left(z\right)$ fra minus uendelig til $z$, det vil si at vi har

$P\left(Z\le z\right)={\int }_{-\infty }^{z}f\left(x\right)dx$

For standard normalfordeling er det utarbeidet tabeller over de kumulative sannsynlighetene, noe som gjør at man kan finne sannsynligheter uten å regne ut integraler eller bruke digitale hjelpemidler. En tabell over sannsynlighetene i en standard normalfordelt variabel inneholder en skjematisk oversikt over de kumulative sannsynlighetene for $Z$-verdier med en avstand på $0,01$. Det er vanlig å oppgi de kumulative sannsynlighetene mellom $-3,09$ og $3,09$.

Vedlagt under finner du en versjon av tabellen som er hentet fra eksamenssettet i S2 våren 2023. Vi anbefaler at du laster den ned til datamaskinen din sånn at du alltid har den tilgjengelig for oppgaveløsning.

• Standard normalfordeling, tabell(PDF)

Et lite utdrag av tabellen ser slik ut:

Når vi skal bruke tabellen, må vi finne de to første sifrene i overskriftskolonnen til venstre og det tredje sifferet i overskriftsraden. Hvis vi skal finne $P\left(Z\le 0,22\right)$, finner vi $\mathrm{0,2}$ i kolonnen til venstre og $\mathrm{0,02}$ i den øverste raden. Den tilhørende cella inneholder tallet $\mathrm{0,587} 1$. Dette betyr at $P\left(Z\le 0,22\right)=0,587 1$.

🤔 Tenk over: Hvordan finner vi sannsynligheten for at $Z$ er større enn en gitt verdi, for eksempel $P\left(Z>0,44\right)$?

Omskriving til standard normalfordeling

Vi kan regne om alle normalfordelte variabler til en standard normalfordelt variabel $Z$. Dette kan være nyttig fordi vi da kan finne sannsynligheter for hånd ved hjelp av tabellen. Dersom vi har en normalfordelt variabel $X$ med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$, kan vi skrive den om til den standard normalfordelte $Z$ ved hjelp av formelen

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

🤔 Tenk over: Hvorfor blir forventningsverdien til $Z$ lik 0 og standardavviket lik 1?

I oppgave 4.2.12 på oppgavesiden "Standard normalfordeling" skal du få vise ved regning at $\mu =0$ og $\sigma =1$ for en slik variabel.

Eksempel

På teorisiden om normalfordelingen bruker vi håndballspilleres høyde som eksempel. Den stokastiske variabelen $X$ er høyden til en tilfeldig valgt håndballspiller i utvalget. Vi har at spillernes høyde er normalfordelt med $\mu =186$ og $\sigma =8$. Vi skal nå finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt av disse håndballspillerne er mer enn 194 cm, det vil si $P\left(X>194\right)$, ved hjelp av omskriving til standard normalfordeling.

Vi får at

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{194-186}{8}=\frac{8}{8}=1$

Dette betyr at $P\left(X>194\right)=P\left(Z>1\right)$. Vi går inn i tabellen og finner at $P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$.

$P\left(X>194\right)=P(Z>1)=1-P\left(Z\le 1\right)=1-0,841 3=0,158 7$