Standard normalfordeling

Standard normalfordeling

Vi innfører den kontinuerlege stokastiske variabelen $Z$ som er normalfordelt med $\mu =0$ og $\sigma =1$. Ei slik fordeling kallar vi for standard normalfordeling. Tettleiksfunksjonen til ei slik fordeling er gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}·e^{-\frac{x^2}{4}}$

Vi har at det kumulative sannsynet, $P(Z\le z)$, er lik arealet under grafen til $f\left(z\right)$ frå minus uendeleg til $z$, det vil seie at vi har

$P\left(Z\le z\right)={\int }_{-\infty }^{z}f\left(x\right)dx$

For standard normalfordeling er det utarbeidd tabellar over dei kumulative sannsyna, noko som gjer at ein kan finne sannsyn utan å rekne ut integral eller bruke digitale hjelpemiddel. Ein tabell over sannsyna i ein standard normalfordelt variabel inneheld ei skjematisk oversikt over dei kumulative sannsyna for $Z$-verdiar med ein avstand på $0,01$. Det er vanleg å oppgi dei kumulative sannsyna mellom $-3,09$ og $3,09$.

Vedlagt under finn du ein versjon av tabellen som er henta frå eksamenssettet i S2 våren 2023. Vi tilrår at du lastar han ned til datamaskina di sånn at du alltid har han tilgjengeleg for oppgåveløysing.

• Standard normalfordeling, tabell(PDF)

Eit lite utdrag av tabellen ser slik ut:

Når vi skal bruke tabellen, må vi finne dei to første siffera i overskriftskolonnen til venstre og det tredje sifferet i overskriftsrada. Dersom vi skal finne $P\left(Z\le 0,22\right)$, finn vi $\mathrm{0,2}$ i kolonnen til venstre og $\mathrm{0,02}$ i den øvste rada. Den tilhøyrande cella inneheld talet $\mathrm{0,587} 1$. Dette betyr at $P\left(Z\le 0,22\right)=0,587 1$.

🤔 Tenk over: Korleis finn vi sannsynet for at $Z$ er større enn ein gitt verdi, til dømes $P\left(Z>0,44\right)$?

Omskriving til standard normalfordeling

Vi kan rekne om alle normalfordelte variablar til ein standard normalfordelt variabel $Z$. Dette kan vere nyttig fordi vi då kan finne sannsyn for hand ved hjelp av tabellen. Dersom vi har ein normalfordelt variabel $X$ med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$, kan vi skrive han om til den standard normalfordelte $Z$ ved hjelp av formelen

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

🤔 Tenk over: Kvifor blir forventningsverdien til $Z$ lik 0 og standardavviket lik 1?

I oppgåve 4.2.12 på oppgåvesida "Standard normalfordeling" skal du få vise ved rekning at $\mu =0$ og $\sigma =1$ for ein slik variabel.

Døme

På teorisida om normalfordelinga bruker vi høgda til handballspelarane som døme. Den stokastiske variabelen $X$ er høgda til ein tilfeldig vald handballspelar i utvalet. Vi har at høgda til spelarane er normalfordelt med $\mu =186$ og $\sigma =8$. Vi skal no finne sannsynet for at ein tilfeldig vald av desse handballspelarane er meir enn 194 cm, det vil seie $P\left(X>194\right)$, ved hjelp av omskriving til standard normalfordeling.

Vi får at

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{194-186}{8}=\frac{8}{8}=1$

Dette betyr at $P\left(X>194\right)=P\left(Z>1\right)$. Vi går inn i tabellen og finn at $P\left(Z\le 1\right)=0,841 3$.

$P\left(X>194\right)=P(Z>1)=1-P\left(Z\le 1\right)=1-0,841 3=0,158 7$