Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Vi ser på funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$

Nedanfor har vi teikna grafen til $f$ i eit koordinatsystem. Vi skal sjå korleis vi kan finne arealet, $$ A$$, av det området som er farga blått.

Det blå området er avgrensa av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=3$  og $x=7$. Vi kan finne ein tilnærma verdi for arealet, $$ A$$, dersom vi deler området under grafen inn i rektangel som vist på figuren nedanfor.

I GeoGebra kan du legge inn funksjonen og få fram rektangla med kommandoen Sumunder(f, 3, 7, 4). Tala 3 og 7 er nedre og øvre grense langs $x$-aksen, og det siste talet, 4, er talet på rektangel vi deler intervallet mellom 3 og 7 opp i.

Vi ser at breidda av alle rektangla i tilfellet vårt er 1, mens høgda varierer. Høgda er gitt ved funksjonsverdien for kvar av $$ x$$-verdiane.

Vi kallar summen av dei fire rektangla for $A_4$. Vi får då

$\begin{array}{rcl}{A}_4& = & f\left(3\right)·1+f\left(4\right)·1+f\left(5\right)·1+f\left(6\right)·1\\ & & \\ & =& 3,25+4+5,25+7\\ & & \\ & =& 19,5\end{array}$

Vi ser tydeleg av figuren ovanfor at det samla arealet av dei fire rektangla er mindre enn arealet av heile det blå området. Vi manglar dei fire "nestentrekantane" mellom grafen og dei fire rektangla.

Men vi kan likevel seie at$$ A_4 $$er ei tilnærming for$$ A $$.

For å få ei betre tilnærming kan vi dele området i stadig fleire rektangel. I GeoGebra kan du auke talet på rektangel, det vil seie at du aukar det siste talet i kommandoen Sumunder(). I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor kan du endre talet på rektangel ved å dra i glidaren. Kva skjer med arealet av alle rektangla når talet på rektangel aukar?

Vi ser at rektangla dekker meir og meir av det blå området jo fleire rektangel vi lagar.

Vi tenker oss at vi held fram med å auke talet på rektangel "i det uendelege". Breidda til rektangla, som vi kallar $∆x$, vil gå mot null, og summen av areala til rektangla vil nærme seg arealet under kurva som grenseverdi.

Denne summen kallar vi for ein Riemann-sum, kalla opp etter den tyske matematikaren Bernhard Riemann, som presenterte denne definisjonen i 1854.

Vi bruker den greske bokstaven $\mathrm{\Sigma }$ (stor sigma, som er grekarane sin S) som nemning for sum av fleire ledd. Det vil seie at  $\sum _3^{7}f\left(x\right)·∆x$  karakteriserer summen av areala til rektangla med breidde $$ ∆x$$ etter det same mønsteret som er vist ovanfor.

For å markere grenseverdien for denne summen når $$ ∆x$$ går mot null bruker vi symbolet $$ \int $$, og vi angir nedre og øvre grense ved å setje tala på symbolet, altså slik: $$ {\int }_3^7$$.

Vi får då at arealet under grafen kan skrivast som

$$ A=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _3^{7}f\left(x\right)·∆x={\int }_3^{7}f\left(x\right)dx$$

Det er dette uttrykket som blir definert som det bestemte integralet av $f\left(x\right)$ frå  $x=3$  til $x=7$.

Det bestemte integralet frå $$ a$$ til $$ b$$ blir definert som

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x$$

Geometrisk vil det bestemte integralet  $$ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\int }_a^b\end{array}f\left(x\right)dx& \end{array}$$ representere arealet som er avgrensa av $x$-aksen, linjene  $x=a$ og  $x=b$ og grafen til funksjonen $f\left(x\right)$.

Ein annan måte å finne ein tilnærma verdi for arealet $$ A$$ på, er å dele området under grafen inn i trapes. Dette er vist på figuren nedanfor, og vi har brukt kommandoen Trapessum(f, 3, 7, n), der verdien av $$ n$$ blir bestemd av ein glidar.

Dersom vi deler det området i fire trapes, vil arealet av det første trapeset vere gitt ved

$$ A=\frac{f\left(3\right)+f\left(4\right)}{2}·∆x$$

Summen av areala til dei fire trapesa blir ut frå dette

$$\begin{gathered} \\ \begin{array}{ccl}{A}_4& =& \frac{f\left(3\right)+f\left(4\right)}{2}·∆x+\frac{f\left(4\right)+f\left(5\right)}{2}·∆x\\ & & +\frac{f\left(5\right)+f\left(6\right)}{2}·∆x+\frac{f\left(6\right)+f\left(7\right)}{2}·∆x\end{array} \end{gathered}$$

Dette uttrykket kan forenklast slik:

$$ A_4=(f\left(3\right)+2·f\left(4\right)+2·f\left(5\right)+2·f\left(6\right)+f\left(7\right))·\frac{∆x}{2}$$

Generelt kan vi seie at trapesmetoden går ut på å gjere ei tilnærming av integralet  $$ \begin{array}{cc}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx& \end{array}$$med $$ n$$ trapes, der $$ x_0$$ er nedre grense, mens $$ x_n$$ er øvre grense:

$$ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx & \approx & A_n=(f\left(x_0\right)+2·f\left(x_1\right)+\cdots \\ & & +2·f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right))·\frac{∆x}{2}\end{array}\end{array}$$