Integrasjon – blanda oppgåver

3.1

Rekn ut integrala utan å bruke digitale hjelpemiddel.

a) $$ {\int }_0^4\left(x+2\right)dx$$

b) $$ {\int }_{-2}^2{x}^{2}dx$$

c) $$ {\int }_1^e\frac{1}{x}dx$$

d) $$ {\int }_0^3{10}^{x}dx$$

e) $$ \int e^{-3x+7}dx$$

f) $$ \int \left(x^5·e^{-3x^6}+2\right)dx$$

g) $$ \int \frac{x^4-3x^2+2}{x^5-5x^3+10x-2}dx$$

3.2

Vi har den følgande samanhengen mellom fart, $$ v$$, tilbakelagd strekning, $$ s$$, og tid, $$ t$$:

$$ v=\frac{ds}{dt}$$

a) Bruk samanhengen over til å vise at $$ s=\int v dt$$.

Oppgåvene nedanfor gjeld eit objekt som beveger seg i ei rett linje med fart $$ v$$. Berekn strekninga som objektet har flytta seg i tidsrommet som er gitt i kvar oppgåve. Oppgåvene skal løysast ved hjelp av integrasjon og utan digitale hjelpemiddel.

Tida blir gitt i sekund $$ $$(s) og farten i meter per sekund (m/s).

b) $$ v=2t+5, t\in \left[0,3\right]$$

c) $$ v=6t^2+4t, t\in \left[1,3\right]$$

d) $$ v=\sqrt{t}+1, t\in \left[4,9\right]$$

3.3

Vi har den følgande samanhengen mellom akselerasjon, $$ a$$, fart, $$ v$$, og tid, $$ t$$:

$$ a=\frac{dv}{dt}$$

a) Bruk samanhengen over til å vise at $$ v=\int a dt$$.

Tida blir gitt i sekund (s), farten i m/s og akselerasjonen i m/s².

b) Bestem eit uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida når akselerasjonen til objektet er $$ a=9,8$$ m/s² .

c) Vi får vite at startfarten til objektet er 2 m/s. Korleis kan vi bruke denne informasjonen til å bestemme eit meir presist uttrykk for farten til objektet som funksjon av tida, $$ v\left(t\right)$$?

d) Bruk det du kom fram til i b) for å berekne kor langt objektet flyttar seg frå $$ t=0$$ til $$ t=10$$.

3.4

Ei stor bedrift i Harstad hadde i 2021 ei inntekt på 100 millionar kroner per år. Det er gjort ein analyse som viser at inntektene kjem til å auke dei kommande åra ut frå funksjonen

$$ f\left(t\right)=100·e^{\frac{t}{9}}$$

der $$ f\left(t\right)$$ er inntekta i millionar kroner $$ t$$ år etter 2021.

Berekn den samla inntekta til bedrifta dei neste 10 åra ved hjelp av CAS.

3.5

Middelverdisetninga seier at dersom ein funksjon $$ f$$ er integrerbar frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$, er gjennomsnittsverdien $$ \overline{f}$$ for $$ f$$ gitt ved

$$ \overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$$$ $$

a) Bestem gjennomsnittsverdien, $$ \overline{f}$$ , til $$ f\left(x\right)=3x+4, x\in \left[0,2\right]$$ ved hjelp av integrasjon og utan bruk av digitale hjelpemiddel.

b) Korleis kan du kontrollere at berekninga i a) er rett utan å bruke digitale hjelpemiddel?

c) Bestem gjennomsnittsverdien, $$ \overline{f}$$ , til $$ f\left(x\right)=x^2-2x, x\in \left[-1,2\right]$$ ved hjelp av integrasjon og utan bruk av digitale hjelpemiddel.

3.6

Funksjonen $$ f$$ angir temperaturen gjennom eit døgn i Stavanger. Funksjonen har komme fram ved regresjon ut frå målingar av temperatur kvar time, og $$ x$$ er talet på timar etter midnatt.

$$ f\left(x\right)=3,9\sin \left(0,27x+2,91\right)+4,1 x\in \left[0,24\right]$$

a) Lag ein algoritme for eit program som bereknar gjennomsnittstemperaturen numerisk med rektangelmetoden i eit gitt intervall. Start- og sluttid skal givast når programmet blir køyrt, og i heile timar etter midnatt. Talet på rektangel skal òg givast når programmet blir køyrt.

b) Lag programmet som beskrive i a).

c) Kan du ved å gjere ein føresetnad anslå gjennomsnittstemperaturen gjennom heile døgnet utan å bruke programmet? Kva føresetnad må du i så fall gjere?

3.7

Grensekostnad er eit omgrep innan økonomi som beskriv korleis dei totale kostnadene blir endra når produksjonen blir auka med éi eining. Dei totale kostnadene blir ofte beskrivne ved hjelp av ein kostnadsfunksjon, og grensekostnaden blir dermed den deriverte av kostnadsfunksjonen.

a) Korleis kan vi ut frå det som står ovanfor, finne ein kostnadsfunksjon ut frå ein gitt funksjon for grensekostnadene?

b) Eit firma i Tromsø, Friskluft AS, har gjort berekningar og funne ut at grensekostnaden ved å produsere $$ x$$ einingar av ei vifte er gitt ved $$ G\left(x\right)=0.05x^2-7x+980$$. Bestem kostnadsfunksjonen, $$ K\left(x\right)$$, når vi veit at $$ G\left(x\right) = K^{\text{'}}\left(x\right)$$.

c) Bestem eit eksakt funksjonsuttrykk for $$ K\left(x\right)$$ når du får vite at kostnadene ved produksjon av 0 einingar (oppstartskostnadene) er 5 500 kroner.

3.8

Ein tank på 500 L skal fyllast med vatn ved hjelp av ei elektrisk pumpe. Pumpa går litt sakte før ho blir varm, og funksjonen $$ f$$ uttrykker kor mange liter per sekund pumpa klarer å pumpe $$ t$$ sekund etter at ho er slått på.

$$ f\left(t\right)=0,5\left(1-e^{-0,05t}\right)$$

a) Kor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe 30 sekund etter at ho har vorte slått på?

b) Kor mange liter per sekund klarer pumpa å pumpe etter at ho har vorte varm?

c) Kor mange liter klarer pumpa å pumpe det første minuttet?

d) Kor lang tid tek det å fylle tanken?

3.9

Utløpstida for å senke vasstanden i ein vasstank frå ei høgde $$ a$$ til ei høgde $$ b$$ er gitt ved

$$ T=-{\int }_a^b\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy$$

$$ \mu $$ er ein konstant som ofte blir kalla utstrøymingskoeffisienten. $$ r$$ er radiusen til den sirkelforma opninga i botnen som vatnet skal ut av. $$ g$$ er 9,8 m/s² (akselerasjonen til tyngda), og $$ y$$ er høgda vatna står i tanken ved eit tidspunkt, $$ t$$.

Vidare er $$ a$$ høgda til vatnet i tanken før tømminga startar, mens $$ b$$ er høgda til vatnet etter at den ønskte vassmengda er tappa ut.

For å forklare kva $$ A\left(y\right)$$ og $$ dy$$ er, må vi tenke oss at vi plasserer eit koordinatsystem med origo i sentrum av botnen av tanken, og at vi "deler" vatnet i tanken i tynne skiver med høgde lik $$ dy$$. Då vil volumet av kvar "vasskive" vere gitt ved arealet av kvar skive, $$ A\left(y\right)$$, multiplisert med høgda, $$ dy$$. Arealet av ei skive vil då avhenge av radius for skiva, som vil vere gitt ved aktuell $$ x$$-verdi.

For at denne formelen skal kunne brukast, må $$ A\left(y\right)$$ anten vere konstant gjennom heile figuren eller kunne beskrivast ved hjelp av eit funksjonsuttrykk.

Vi nyttar oss av ein fast verdi for utstrøymingskoeffisienten, $$ \mu =0,6$$.

a) Ein vasstank har form som ein sylinder med radius lik 1 meter og høgde lik 2 meter. Kor mykje vatn inneheld tanken når han er heilt full?

b) Tanken er heilt full, og han skal tømmast gjennom ei opning i botnen av karet. Opninga er sirkelforma og har radius 0,01 m. Bruk CAS til å berekne kor lang tid tek det å tømme tanken.

c) Ein annan vasstank som òg er sylinderforma og har har radius 1 meter, er 3 meter høg og er òg full av vatn. Tømminga skjer her òg gjennom ei sirkelforma opning i botnen som har radius 0,01 meter. Bruk CAS til å finne tida det tek å senke vasstanden 2 meter i denne tanken.

d) Samanlikn resultata i a) og b). Vi tømmer ut like mykje vatn i begge tilfella, så kvifor blir tidene for tømmingane ulike?

e) Den same formelen kan òg brukast for å berekne utløpstida til eit lite basseng som har form som eit firkanta prisme og er fylt heilt opp med vatn. Botnen har sidekantar som er 3 meter og 2 meter, mens høgda i bassenget er 1,05 meter. Kor mykje vatn rommar bassenget når det er heilt fullt?

f) Avgjer kor lang tid det tek å tømme bassenget. Opninga er her òg ein sirkel med radius 0,01 meter.

g) Samanlikn tida det tek å tømme bassenget med tida det tok å tømme den sylinderforma tanken i b). Både bassenget og tanken er fylt med cirka 6 300 liter vatn og skal tømmast heilt. Kvifor er utløpstidene ulike?

3.10

Ein liten lampeskjerm er beskriven som den totale omdreiingslekamen som kjem fram ved omdreiing av to funksjonsuttrykk:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{-{\left(x-6\right)}^2+16}, x\in \left[6,10\right]$$

$$ g\left(x\right)=-x+10, x\in \left[0,6\right]$$

a) Teikn lampeskjermen ved hjelp av GeoGebra 3D.

b) Lampeskjermen skal dekorerast av ein kunstnar, og kunstnaren treng å vite kor stor overflata til kvar av dei to delane av lampeskjermen er.

Berekn overflata til kvar del når alle mål er gitt i cm. Bestem den samla overflata òg.

3.11

Eit litt spesielt drikkeglas kjem fram ved omdreiing av grafane til to funksjonar. Drikkeglaset har ein indre del der ein kan fylle drikke, men i tillegg er det vere eit "rom" mellom den indre og den ytre delen som kan fyllast med ei væske med fin farge og/eller anna dekorativt innhald.

a) Bruk GeoGebra 3D for å teikne drikkeglaset når utgangspunktet er omdreiing av grafane til funksjonane $$ f$$ og $$ g$$:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{2x-4}+1, x\in \left[2,12\right]$$

$$ g\left(x\right)=\sqrt{x}+2, x\in \left[0,12\right]$$

b) Berekn ved hjelp av CAS kor mange liter drikke det er plass til i drikkedelen av glaset dersom det er fylt heilt opp. Alle mål er i centimeter. NB: Vi ser bort frå at når glaset skal produserast i verkelegheita, må veggene ha ei tjukne, så i oppgåvene reknar vi veggene som "uendeleg tynne".

c) Rekn ut kor mange desiliter "dekorativ væske" det er plass til mellom dei to delane.

3.1 a)

3.1 b)

3.1 c)

3.1 d)

3.1 e)

3.1 f)

3.1 g)

3.2 a)

3.2 b)

3.2 c)

3.2 d)

3.3 a)

3.3 b)

3.3 c)

3.3 d)

3.4

Løysing

Den samla inntekta dei neste 10 åra vil vere cirka 1 834 millionar kroner.

3.5 a)

3.5 b)

3.5 c)

3.6 a)

3.6 b)

1import math
2
3# Definerer funksjon
4def f(x):
5    return 3.9*math.sin(0.27*x+2.91)+4.1
6    
7# Informasjon blir gitt
8print("Funksjonen f(x)=3,9*sin(0,27x+2,9)+4,1 gir temperaturen gjennom eit døgn i Stavanger.")
9print("Dette programmet gjer ei numerisk berekning av gjennomsnittsverdien")
10print("til temperaturen frå eit tidspunkt til eit anna.")
11
12x1 = int(input("Skriv inn starttid, heil time: "))
13x2 = int(input("Skriv inn sluttid, heil time: "))
14
15taletPaaRektangel = int(input("Skriv inn talet på rektangel:"))
16
17dx=(x2-x1)/taletPaaRektangel
18
19# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x
20xVerdi=x1
21
22#Startverdi for totaltAreal
23totaltAreal=0
24
25# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
26while xVerdi<x2:
27    # bereknar høgda av rektangel
28    fx=f(xVerdi)
29    
30    # bereknar areal av rektangel
31    areal=fx*dx
32    
33    # legg til berekna areal totalt areal
34    totaltAreal=totaltAreal+areal
35    
36    # bereknar neste x-verdi
37    xVerdi=xVerdi+dx
38    
39snitt=totaltAreal/(x2-x1)
40print(f"Gjennomsnittstemperaturen frå kl. {x1} til kl. {x2} er {snitt:.1f}.")

3.6 c)

3.7 a)

3.7 b)

3.7 c)

3.8

Løysing

a) Oppgåva spør etter $$ f\left(30\right)=0,388$$, sjå linje 2 i CAS-utklippet nedanfor. 30 sekund etter at pumpa er slått på, pumpar ho 0,39 L/s.

b) Vi må finne ut kva verdi funksjonen går mot når $$ t$$ blir stor. Oppgåva spør etter $$ \underset{t\to \infty }{\lim }f\left(t\right)=0,5$$, sjå linje 3 i CAS-utklippet nedanfor. Etter at pumpa har vorte varm, klarer ho å pumpe 0,5 L/s.

c) Oppgåva spør etter samla mengde når $$ t\in \left[0,60\right]$$, som betyr integralet av funksjonen frå 0 til 60. Sjå linje 4 i CAS-utklippet. I løpet av det første minuttet klarer pumpa å pumpe 20,5 L.

d) Oppgåva spør etter kva den øvre integrasjonsgrensa skal vere for at integralet av funksjonen frå 0 og oppover skal bli 500. Sjå linje 5 og 6 i CAS-utklippet. Pumpa må stå på i 17 minutt for å fylle tanken på 500 L.

3.9 a)

3.9 b)

Løysing

Vi set inn verdiane i uttrykket for utløpstida:

$$ \begin{array}{rcl}T & =& -{\int }_a^0\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy\\ & =& -{\int }_2^0\frac{\mathrm{\pi }·1^2}{0,6\pi {\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\\ & =& -{\int }_2^0\frac{1}{0,6·{\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\end{array}$$

Det bestemde integralet blir berekna i CAS:

Det tek 10 642 sekund å tømme vasstanken, det vil seie cirka 3 timar.

3.9 c)

Løysing

$$ \mu =0,6$$. $$ r=0,01$$.

Radius for tanken lik 1 meter gir $$ A\left(y\right)=\mathrm{\pi }·1^2=\mathrm{\pi }$$.

Vasstanden skal senkast frå $$ a=3 \mathrm{m}$$ til $$ b=1 \mathrm{m}$$.

Vi set inn verdiane i uttrykket for utløpstida:

$$ \begin{array}{rcl}T & =& -{\int }_a^b\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy\\ & =& -{\int }_3^1\frac{\mathrm{\pi }}{0,6\pi {\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\\ & =& -{\int }_3^1\frac{1}{0,6·{\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\end{array}$$

Det bestemde integralet blir berekna i CAS:

Det tek 5 509 sekund å tømme tanken, det vil seie cirka 1,5 time.

3.9 d)

3.9 e)

3.9 f)

Løysing

$$ \mu =0,6$$. $$ r=0,01$$.

Arealet av botnflata, $$ A\left(y\right)=2·3 =6$$.

Vasstanden skal senkast frå $$ a=1,05 \mathrm{m}$$ til $$ b=0 \mathrm{m}$$.

Vi set inn verdiane i uttrykket for utløpstida:

$$ \begin{array}{rcl}T & =& -{\int }_{1,5}^0\frac{A\left(y\right)}{\mu \pi r^2\sqrt{2gy}}dy\\ & =& -{\int }_{1,5}^0\frac{6}{0,6\pi {\left(0,01\right)}^2\sqrt{2·9,81}·\sqrt{y}}dy\end{array}$$

Det bestemde integralet blir berekna i CAS:

Det tek 14 727 sekund å tømme det prismeforma bassenget, det vil seie cirka 4 timar.

3.9 g)

3.10 a)

Løysing

Vi teiknar kvar omdreiingslekam for seg:

Overflate(u,f(u)sin(t),f(u)cos(t),u,6,10,t,0,2pi)

Overflate(u,g(u)sin(t),g(u)cos(t),u,0,6,t,0,2pi)

3.10 b)

Løysing

Toppen som har form som ei halvkule, har ei overflate som er tilnærma lik 101 cm².

Den nedste delen som har form som ei avkorta kjegle, har ei overflate som er tilnærma lik 373 cm².

Den totale overflata er summen av dei to overflatene, som er 474 cm².

3.11 a)

Løysing

3.11 b)

Løysing

Det er plass til 533 cm³ drikke i drikkedelen av glaset dersom det er fylt heilt opp. Dette svarer til 0,533 liter drikke.

3.11 c)

Løysing

Det er plass til 192 cm³ væske i mellomrommet til "drikkebegeret". Dette svarer til 1,92 desiliter.