Rekker og matematiske bevis – blanda oppgåver

a) Vi kan sjå på dette som ledd i ei aritmetisk følge der
$$ a_1=3 000$$ og $d=300$. Vi får altså følgande eksplisitte formel for $$ a_n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ a_n & =& 3 000+300\left(n-1\right)\\ & =& 3 000+300n-300\\ & =& 300n+2 700\end{array}$$

b) Vi har at 2017 er år 1, det betyr at 2022 er år 6. Vi må først finne $$ a_6$$ for så å finne $$ S_6$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_6 & =& 300·6+2 700\\ & =& 4 500\\ S_6 & =& \frac{6·\left(a_1+a_6\right)}{2}\\ & =& \frac{6·\left(3 000+4 500\right)}{2}\\ & =& 3·7 500\\ & =& 22 500\end{array}$$

Forhandlaren sel altså 22 500 syklar i denne perioden.

c) Vi set uttrykket for $$ a_n$$ lik 3 900 og løyser likninga for $$ n$$:

$$ \begin{array}{rcl}300n+2 700 & =& 3 900\\ 300n & =& 1 200\\ n & =& 4\end{array}$$

Vi ser at forhandlaren sel 3 900 syklar årleg i år 4, altså i 2020.

d) Vi må bruke det vi veit om formelen for summen og formelen for ledd nummer $$ n$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 2 700+300n\\ S_n & =& \frac{n·\left(a_1+a_n\right)}{2}\\ 32 400 & =& \frac{n·\left(3 000+2 700+300n\right)}{2}\\ 64 800 & =& 5 700n+300n^2 \end{array}$$

Vi løyser likninga i GeoGebra og får to løysingar (sjå neste løysingsboks for detaljar), $$ n=-27$$ og $$ n=8$$.

Sidan $$ n$$ må vere positiv, kan vi berre bruke den eine løysinga, og vi finn at forhandlaren har selt 32 400 syklar etter 8 år, altså i år 2024.

Her viser vi berre CAS-vindauget, forklaringane finn du i løysingsboksen over.

a) Vi kan gjere dette på fleire måtar. Vi vel å observere at for kvart tal blir det lagt på ei rad med ein prikk meir enn den lengste rada i det førre talet. Det vil seie at

$$ T_5=T_4+5=10+5=15$$

og

$$ T_6=T_5+6=15+6=21$$

b) Vi observerer at vi i begge tilfella over legg til ei rad med like mange prikkar som nummeret på talet i følga. Vi har altså ein rekursiv formel som er slik:

$$ a_n=a_{n-1}+n$$

c) Vi viser to ulike løysingar.

Regresjon i GeoGebra:

Vi legg inn tala vi kjenner, i reknearket, og vi vel polynomregresjon, grad 2:

Dette gir oss modellen $$ f\left(x\right)=0,5x^2+0,5x$$, altså er ein eksplisitt formel for trekanttala

$$ T_n=0,5n^2+0,5n$$

Legg merke til at ved bruk av denne metoden er det viktig å vere nøye på å sjekke at modellen faktisk passar akkurat!

Ved rekning:

Vi teiknar ein figur der vi slår saman to like trekanttal og får rektangel som har høgde lik høgda på trekanttalet og lengde som er ei eining lengre enn høgda:

Vi ser at vi kan finne talet på prikkar i desse firkantane ved å multiplisere $$ n$$ med $$ n+1$$. Dersom vi så deler på 2, får vi talet på prikkar i halve figuren, som altså er trekanttala:

$$ T_n=\frac{n·\left(n+1\right)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$$

a) Vi må først legge inn variablar for trekanttala som skal leggast saman, og for summen av trekanttala. Så må vi ha ein variabel for kor mange trekanttal vi skal legge saman, denne kan vi hente inn frå brukaren. Så lagar vi ei lykkje der vi legg til så mange trekanttal vi skal ha. Til sist skriv vi ut summen.

b) Programmet:

1T = 1
2S = 1
3n = int(input("Kor mange trekanttal vil du summere?"))
4
5for i in range(1,n):
6    T = T + i+1
7    S = S + T
8    
9print(f"Summen av dei {n} første trekanttala er {S}.")

a) Vi har at rekka konvergerer dersom $$ -1<k<1$$. Vi finn $$ k$$ og konvergensområdet:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{e^x}{1}=e^x$$

Sidan $$ e^x\ge 0$$ for alle $$ x$$, kan vi sjå på ulikskapen $$ e^x<1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{e}^x & <& 1\\ \ln e^x & <& \ln 1\\ x & <& 0\end{array}$$

Konvergensområdet er $$ x<0$$.

b) Vi finn først eit uttrykk for summen ved hjelp av formelen for summen av konvergente geometriske rekker:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{1}{1-e^x}\end{array}$$

For å finne den største verdien må vi sjå på grenseverdien til uttrykket når $$ x\to 0^{-}$$:

$$ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{1-e^x}=\frac{1}{1-1}=\infty $$

Vi ser at uttrykket ikkje har nokon grenseverdi, altså kan summen av rekka bli uendeleg stor.

Hugs at innanfor konvergensområdet vil kvar $$ x$$ likevel gi ein bestemd sum.

a)

1. Vi legg merke til at talet under brøkstreken aukar med 2 for kvart ledd, og vi får
   
   $$ $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}$$

2. Vi legg merke til at nemnarane er det dobbelte av nummeret til talet i rekka, det vil seie at vi har ein eksplisitt formel slik: $$ a_n=\frac{1}{2n}$$

3. $$ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \frac{1}{2n}-\frac{1}{2\left(n-1\right)}\\ a_n & =& a_{n-1}+\frac{1·\left(n-1\right)}{2n\left(n-1\right)}-\frac{1·n}{2n\left(n-1\right)}\\ & =& a_{n-1}+\frac{n-1-n}{2n\left(n-1\right)}\\ & =& a_{n-1}-\frac{1}{2n^2-2n}\end{array}$$

b)

1. Vi legg merke til at nemnarane er kvadrattal. Vi får dermed
   
   $$ $ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{25}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{36}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{49}}$$$

2. Sidan nemnarane er kvadrattal, får vi følgande eksplisitte formel: $$ a_n=\frac{1}{n^2}$$

3. $$ $ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \frac{1}{n^2}-\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}\\ a_n & =& a_{n-1}+\frac{1·{\left(n-1\right)}^2}{n^2{\left(n-1\right)}^2}-\frac{1·n^2}{n^2{\left(n-1\right)}^2}\\ & =& a_{n-1}+\frac{n^2-2n+1-n^2}{n^2\left(n^2-2n+1\right)}\\ & =& a_{n-1}-\frac{2n-1}{n^4-2n^3+n^2}\\ & & \end{array}$$$

c)

1. Vi legg merke til at både teljar og nemnar aukar med 1 for kvart ledd:
   
   $$ $ \frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{7}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{8}}$$$

2. Vi legg merke til at teljaren i kvart ledd er lik $$ n+1$$, mens teljaren er lik $$ n+2$$. Vi får at
   $$ a_n=\frac{n+1}{n+2}$$.

3. $$ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \frac{n+1}{n+2}-\frac{\left(n-1\right)+1}{\left(n-1\right)+2}\\ a_n & =& a_{n-1}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\ & =& a_{n-1}+\frac{{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{n·\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ & =& a_{n-1}+\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{n^2+3n+2}\\ & =& a_{n-1}+\frac{1}{n^2+3n+2}\end{array}$$

d)

1. Vi legg merke til at kvart ledd er lik kvadratrota av det neste talet i rekka:
   
   $$ $ 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\mathbf{4}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{6}}$$$

2. Vi ser at kvart ledd er kvadratrota til nummeret til leddet i rekka:
   
   $$ a_n=\sqrt{n}$$

3. $$ \begin{array}{rcl}{a}_n-a_{n-1} & =& \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\\ a_n & =& a_{n-1}+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\end{array}$$

Tabellen viser utsleppa i dei seks aktuelle åra.

Summen av utsleppa dannar ei geometrisk rekke der

$$ a_1=1 000, k=1-\frac{p}{100} $$ og $n=6$.

Vi løyser i CAS:

Vi ser at bedrifta må redusere utsleppa sine med 7,35 prosent i året for å nå målet om 5 000 tonn på dei neste seks åra.

a) Vi ser først på rentebeløpa. Her ser vi at $$ a_1=10 000$$. Vi ser at renta søkk med 500 kroner per år, altså har vi ei aritmetisk rekke der $$ d=-500$$. Vi får då at renta i år $$ n$$ er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 10 000 -500(n-1)\\ & =& 10 000-500n+500\\ & =& 10 500-500n \end{array}$$

Når det gjeld terminbeløpa, er forskjellen den same: Beløpet søkk med 500 kroner per år. Vi får ei aritmetisk rekke med $$ a_1=20 000$$ og $$ d=-500$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 20 000-500\left(n-1\right)\\ & =& 20 000-500n+500\\ & =& 20 500-500n\end{array}$$

b) Vi bruker rekka som beskriv terminbeløpa, og finn summen av dei 20 første ledda:

Vi ser at vi må betale tilbake til saman 305 000 kroner dersom vi tek opp dette lånet.

c) Forslag til program:

1lånebeløp = int(input("Kor stort beløp skal du låne?"))
2    #hentar inn lånebeløpet
3rente = float(input("Kor mange prosent er den årlege renta på?"))
4    #hentar inn renta
5terminar = int(input("Kor mange terminar skal du ha?"))
6    #hentar inn talet på terminar
7
8
9avdrag = int(lånebeløp/terminar)          #reknar ut avdraget
10År = ["År"]                               #lagar ei liste for år nummer
11Terminbeløp=["Terminbeløp"]               #lagar liste for terminbeløpa
12Rente = ["Rente per termin"]              #lagar liste for rentebeløpa
13Totalbeløp = ["Totalt betalt inn til no"] #lagar ei liste for samla innbetaling til no
14Totalrente = ["Total rente til no"]       #lagar ei liste for total rente til no
15
16for i in range(terminar+1):             #lagar ei lykkje med lengda til talet på terminar
17    År.append(i+1)                      #legg til eit år for kvar gong lykkja blir køyrd
18    Terminbeløp.append(int(avdrag +lånebeløp*(rente/100)))
19                                        #finn terminbeløpa og legg dei i lista
20    Rente.append(int(lånebeløp*(rente/100)))
21    if i == 0:
22        Totalbeløp.append(Terminbeløp[1])
23        Totalrente.append(int(lånebeløp*(rente/100)))
24    else:
25        Totalbeløp.append(Totalbeløp[i]+Terminbeløp[i+1])
26        Totalrente.append(Totalbeløp[i+1]-avdrag*(i+1))
27    lånebeløp = lånebeløp-avdrag
28                                #legg saman nytt terminbeløp og tidlegare totalbeløp
29                                #finn total rente til no ved å trekke avdraga frå
30                                #totalbeløpa
31    
32for i in range(terminar+1):
33print(f"{År[i]:<4}{Terminbeløp[i]:<12}{Rente[i]:<20}{Totalrente[i]:<20}{Totalbeløp[i]:<15}")
34                                # skriv ut alle utrekningane

a) Vi finn $$ k$$ og undersøker når $$ -1<k<1$$:

$$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4\lg x}{2}=2\lg x$$

Konvergensområdet:

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccccc}-1& <& 2\lg x& <& 1\\ -\frac{1}{2}& <& \lg x& <& \frac{1}{2}\\ {10}^{-\frac{1}{2}}& <& {10}^{\lg x}& <& {10}^{\frac{1}{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{10}}& <& x& <& \sqrt{10}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi finn eit uttrykk for summen:

$$ S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{2}{1-2\lg x}$$

b) $$ k=\frac{a_2}{a_1}$ =\frac{2x^2}{4x}=\frac{x}{2}$$$

$$ \begin{array}{ccccc}-1& <& \frac{x}{2}& <& 1\\ -2& <& x& <& 2\end{array}$$

Konvergensområdet er $$ -2<x<2$$.

Summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{4x}{1-{\displaystyle \frac{x}{2}}}\\ & =& \frac{4x·2}{1·2-{\displaystyle \frac{x·2}{2}}}\\ & =& \frac{8x}{2-x}\end{array}$$

c) $$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2^x}{1}=2^x$$

Vi skal ha at $$ -1<2^x<1$$. Sidan $$ 2^x>0$$ for alle $$ x$$, kan vi berre sjå på $$ 2^x<1$$:

$$ \begin{array}{rcl}{2}^x & <& 1\\ \lg 2^x & <& \lg 1\\ x·\lg 2 & <& 0\\ x & <& 0\end{array}$$

Konvergensområdet blir $$ x<0$$.

Summen:

$$\begin{gathered} S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-2^x} \\ \end{gathered}$$

d) $$ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{$ \frac{1}{\left(\ln x^2\right)}$}{\frac{1}{\ln x}}=\frac{1}{{\left(\ln x\right)}^2}·\frac{\ln x}{1}=\frac{1}{\ln x}$$

Vi må løyse den følgande ulikskapen:

$$ -1<\frac{1}{\ln x}<1$$

Vi deler ulikskapen i to og løyser ulikskapen til venstre først:

$$ \begin{array}{rcl}-1 & <& \frac{1}{\ln x}\\ 0 & <& 1+\frac{1}{\ln x}\\ 0 & <& \frac{\ln x+1}{\ln x}\end{array}$$

Vi observerer at vi ikkje kan løyse ulikskapen ved å multiplisere med $$ \ln x$$, sidan vi ikkje kan vite om uttrykket er positivt eller negativt. Vi løyser den korresponderande likninga:

$$ \begin{array}{rcl}0 & =& \frac{\ln x+1}{\ln x}\\ \ln x+1 & =& 0\\ e^{\ln x} & =& e^{-1}\\ x & =& \frac{1}{e}\end{array}$$

Vi har at uttrykket $$ \frac{\ln x+1}{\ln x}$$ kan skifte forteikn i nullpunktet og i punktet der uttrykket ikkje er definert, det vil seie nullpunktet til nemnaren:

$$ \begin{array}{rcl}\ln x & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$$

Vi sjekkar forteikna for $$ x=\frac{1}{e^2}=e^{-2},x=\frac{2}{e} \mathrm{og} x=e$$:

$$ \frac{\ln {\displaystyle e^{-2}}+1}{\ln {\displaystyle e^{-2}}}=\frac{-2+1}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}>0$$

$$ \frac{\ln {\displaystyle \frac{2}{e}}+1}{\ln {\displaystyle \frac{2}{e}}}=\frac{\ln 2-\ln e+1}{\ln 2-\ln e}=\frac{\ln 2}{\ln 2-1}<0$$

$$ \frac{\ln e+1}{\ln e}=\frac{1+1}{1}=2>0$$

Den venstre ulikskapen er oppfylt for $$ 0<x<\frac{1}{e}$$ og $$ x>1$$.

Vi løyser ulikskapen til høgre:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{\ln x} & <& 1\\ \frac{1}{\ln x}-1 & <& 0\\ \frac{1-\ln x}{\ln x} & <& 0\end{array}$$

Vi gjer som i den venstre ulikskapen og finn nullpunktet til teljaren:

$$ \begin{array}{rcl}1-\ln x & =& 0\\ \ln x & =& 1\\ x & =& e\end{array}$$

Vi undersøker for $$ x=\frac{1}{e}=e^{-1}, x = 2$$ og $$ x=e^2$$.

$$ \frac{1-\ln e^{-1}}{\ln e^{-1}}=\frac{1-\left(-1\right)}{-1}=\frac{2}{-1}-2<0$$

$$ \frac{1-\ln 2}{\ln 2}>0$$

$$ \frac{1-\ln e^2}{\ln e^2}=\frac{1-2}{2}=\frac{-1}{2}<0$$

Den høgre ulikskapen er dermed oppfylt for $$ 0<x<1$$ og $$ x>e$$. Vi ser at heile ulikskapen dermed er oppfylt for $$ 0<x<\frac{1}{e}$$ og $$ x>e$$ som òg er konvergensområdet til rekka.

Summen:

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{ {\displaystyle \frac{1}{\ln x}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}}\\ & =& \frac{1}{\ln x-1}\end{array}$$

Vi bruker formelen for summen av ei konvergerande geometrisk rekke:

a)

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ 4 & =& \frac{2}{1-k}\\ 4\left(1-k\right) & =& 2\\ 4-4k & =& 2\\ 2 & =& 4k\\ k & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ 16 & =& \frac{a_1}{1-{\displaystyle \frac{1}{8}}}\\ 16 & =& \frac{8}{7}{a}_1\\ a_1 & =& 16·\frac{7}{8}=14\end{array}$$

a) Sidan vi startar med eit gitt tal på smitta og kvar av dei smittar i snitt 2,4 personar, kan vi bruke ei rekke med $$ a_1=$$ talet på smitta ved oppstart og $$ k=2,4$$.

b)

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 10·2,4^{n-1}\end{array}$$

c) Vi har at $$ n$$ står for talet på periodar på 5 dagar. Vi har òg at $$ n=1$$ betyr at det har gått 0 dagar, altså er $$ n$$ 1 større enn talet på periodar. Dette gir at $$ n=\frac{25}{5}+1=6$$.

Vi har at $$ S_6\approx 1358$$, altså vil det vere cirka 1 358 menneske totalt som har vore eller er smitta etter 30 dagar.

d) 60 dagar etter dag nummer 1 har vi at $$ n=\frac{60}{5}+1=13$$. Talet på smitteberande personar vil vere omtrent lik $$ a_{13}$$:

$$ a_{13}=10·2,4^{12}\approx 365 200$$

Ifølge modellen har vi cirka 365 200 smitteberande personar etter 60 dagar.

e) Her må vi først fastsetje nokre vilkår. Dei som vart smitta 50 dagar etter dag 1 (det vil seie ved $$ n=\frac{50}{5}+1=11$$), er nesten friske, men tel med i det talet som kjenner seg sjuke no. Dei som vart smitta 70 dagar etter dag 1 (det vil seie ved $$ n=\frac{70}{5}+1=15$$), har enno ikkje rokke å bli sjuke, så dei tel ikkje med. Vi må altså summere $$ a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}$$. Vi bruker GeoGebra:

Vi ser at det ifølge denne modellen er cirka 1 457 260 personar som framleis er prega av koronaen etter 70 dagar.

f) Det vil avhenge veldig av kva slags område vi er i, om desse tala er realistisk. I Noreg finst til dømes berre éin by som i det heile har så mange innbyggarar. Sjansane for at kvar person vil halde fram med å smitte gjennomsnittleg 2,4 personar, er ikkje så stor.

Dersom området er stort, som til dømes ein millionby i India, og kontakten mellom folk er som normalt, kan det kanskje vere realistisk. Men på eit tidspunkt vil nok uansett R-talet, som vi kallar talet på menneske kvar smitta smittar vidare i snitt, gå ned.

Skal R-talet haldast oppe, må kvar smitta person treffe tilstrekkeleg mange menneske som er mottakelege for smitte, og etter kvart som ei befolkning har gått gjennom ein sjukdom, vil fleire ha opparbeidd seg ein viss immunitet.

a) Vi har ei aritmetisk rekke med $$ a_1=30$$ og $$ k=-3$$. Då får vi følgande formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 30-3\left(n-1\right)\\ & =& 30-3n+3\\ & =& 33-3n\end{array}$$

b) Vi finn $$ S_4$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_4}{2}\\ S_4 & =& 4·\frac{30+33-3·4}{2}\\ & =& 2·51=102 \end{array}$$

Han får 102 hummar dei første fire vekene dersom hypotesen stemmer.

a) $$ 4+5+6$$

b) Dette er ei aritmetisk rekke. Det kan vi sjå fordi forskjellen mellom etterfølgande ledd er 1. Vi har $$ a_1=4$$ og $$ k=1$$, noko som gir følgande formel:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 4+1\left(n-1\right)\\ & =& 4+n-1\\ & =& n+3\end{array}$$

c) $$ a_{10} = 10+3= 13$$

Det er 13 røyr i den 10. rekka ovanfrå.

d)

$$ \begin{array}{rcl}{S}_{10} & =& 10·\frac{a_1+a_{10}}{2}\\ & =& 5·(4+13)\\ & =& 85\end{array}$$

Det er 85 røyr til saman i dei 10 øvste radene.

e)

$$ \begin{array}{rcl}{S}_n & =& n·\frac{a_1+a_n}{2}\\ 270 & =& n·\frac{4+n+3}{2}\end{array}$$

Vi løyser likninga i CAS:

Vi kan berre bruke den positive løysinga, og vi ser at det er 20 rader til saman i stabelen.

a) Rekka er endeleg, for ho sluttar med eit tal. Ho er aritmetisk fordi vi kan sjå at ho har ein fast differanse, nemleg $$ d=2$$.

b) Vi finn ut kva nummer det siste talet i rekka har:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1 + 2(n-1)\\ & =& 1+2n-2\\ & =& 2n-1\\ & & \\ 199 & =& 2n-1\\ 200 & =& \hspace{0.17em}2n\\ n & =& 100\end{array}$$

Det er 100 oddetal i rekka.

c)

$$ S_{100}=100·\frac{1+199}{2}=100·100=10 000$$

d)

Vi finn først summen av alle partala som er mindre enn eller lik 200:

$$ S_{100}=100·\frac{2+200}{2}=100·101$$

Vi har at

$$ \frac{1+3+5+ ... +199}{2+4+6+ ... +200}=\frac{100·100}{100·101}=\frac{100}{101}$$

Vi får ei geometrisk rekke med $$ a_1= 5 000·1,06$$, $$ k=1,06$$ og $$ n=4$$:

$$ S_4= 23 815$$

Det står 23 815 kroner på kontoen 31. desember 2024.

a) Mengda medisin per dag kan sjåast på som eit ledd i ei geometrisk rekke der $$ a_1=50$$ og $$ k=0,95$$. Vi finn $$ a_8$$:

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 50·0,{95}^{n-1}\\ a_8 & =& 50·0,{95}^7=34,92\approx 34,9\end{array}$$

Dosen den 8. dagen er cirka 34,9 mg.

b) Vi finn $$ S_8$$:

$$ \begin{array}{rcl}{S}_8 & =& a_1·\frac{k^8-1}{k-1}\\ & =& 50·\frac{0,{95}^8-1}{0,95-1}\\ & =& 336,5 \approx 337\end{array}$$

Kuren er på til saman cirka 337 mg.

a) Beløpet forrentar seg 10 gonger, og vi får

$$ 875 000·1,{025}^{10}=1 120 073,9 \approx 1 120 074$$

Ho har cirka 1 120 074 kroner på konto 1. januar 2016 med dette tilbodet.

b) Det andre tilbodet må vi rekne ut ved hjelp av ei geometrisk rekke der $$ a_1=100 000·1,025$$, $$ k=1,025$$ og $$ n=10$$:

Vi ser at via dette tilbodet sit ho med cirka 1 148 347 kroner på konto 1. januar 2016. Det er altså tilbod 2 som er best.

c) Vi set vekstfaktoren lik $$ x$$ og set dei to uttrykka lik kvarandre:

Vi ser at vekstfaktoren må vere 1,031, altså ei rente på 3,1 prosent, dersom dei to tilboda skal vere like gode.

d) Eva har altså 1 120 074 kroner på konto 1. januar 2016. Ho skal ta ut eit fast beløp kvar månad. Vi kjenner ikkje beløpet, så vi kallar det $$ x$$. Vi ser for oss at vi reknar ut noverdiane til beløpa ho skal ta ut. Det første beløpet rekk ikkje å forrente seg i det heile, såg $$ a_1 = x$$. Ho skal ha ti beløp, så $$ n=10$$. Sidan vi reknar om verdiane til noverdiar, er $$ k=\frac{1}{1,025}$$. Summen av dei ti beløpa må svare til 1 120 074 kroner. Det gir følgande likning og løysing i GeoGebra:

Vi ser at Eva kan ta ut cirka 124 857 kroner kvart år.

a) Denne kan vere vanskeleg å finne fram til for hand. Vi set inn dei første verdiane i følgande tabell i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet:

Vi prøver oss fram i GeoGebra, og ein funksjon som verkar å treffe bra, er $$ f\left(x\right)=0,3333x^3+0,5x^2+0,1667x$$. Vi kjenner igjen desimaltala som avrundingar, og vi foreslår formelen $$ S_n=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$.

b) Vi skal vise at
$$ 1+4+9+ ... +n^2 = \frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$.

Trinn 1

Vi viser først at formelen gjeld for $$ n=1$$:

VS = 1

HS:
$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{3}·1^3+\frac{1}{2}·1^2+\frac{1}{6}·1 & =& \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\\ & =& \frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}\\ & =& 1\end{array}$$

Trinn 1 held.

Trinn 2

Vi går ut frå at $$ $ 1+4+9+... + k^2 = \frac{1}{3}{k}^3+\frac{1}{2}{k}^2+\frac{1}{6}k$$$.

Vi sjekkar om dette inneber at

$$ $ 1+4+9+... + k^2+{\left(k+1\right)}^2 = \frac{1}{3}{\left(k+1\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(k+1\right)}^2+\frac{1}{6}\left(k+1\right)$$$

VS:

$$ 1+4+9+... + k^2+{\left(k+1\right)}^2$$

$$ $ $ \begin{array}{rcl}& =& \frac{1}{3}{k}^3+\frac{1}{2}{k}^2+\frac{1}{6}k+{\left(k+1\right)}^2\\ & =& \frac{2k^3}{6}+\frac{3k^2}{6}+\frac{k}{6}+\frac{6k^2}{6}+\frac{12k}{6}+\frac{6}{6}\\ & =& \frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}\end{array}$$$$

HS:

$$ \frac{1}{3}{\left(k+1\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(k+1\right)}^2+\frac{1}{6}\left(k+1\right)$$

$$ \begin{array}{rcl}& =& \frac{2}{6}\left(k^3+3k^2+3k+1\right)+\frac{3}{6}\left(k^2+2k+1\right)+\frac{1}{6}\left(k+1\right)\\ & =& \frac{2k^3+6k^2+6k+2+3k^2+6k+3+k+1}{6}\\ & =& \frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}\\ & & \end{array}$$

HS = VS

Konklusjon

Q.e.d.

a) Vi ser at kvart tal kan finnast ved å summere dei to tidlegare:

$$ a_3 = a_1 + a_2= 1+1 = 2$$

$$ a_4 = a_2 + a_3 = 1+2=3$$

b) Programmet definerer ein funksjon for å rekne ut fibonaccital. Dersom $$ n$$ er 0 eller 1, får vi $$ n$$ tilbake. 0 er ikkje med i fibonaccitala, men vi må ha det med av omsyn til utrekninga.

Denne typen funksjon i programmering kallar vi ein rekursiv funksjon, altså ein funksjon som kallar på seg sjølv. Når $$ n$$ er større enn eller lik 2, til dømes $$ n=10$$ slik som i dette programmet, ser vi at funksjonen får Python til å rekne seg tilbake for å finne alle dei tidlegare tala i følga for å kunne finne det siste.

c) Vi observerer (med mindre du har ei svært kraftig datamaskin) at dette tek veldig lang tid. Dette er fordi at dei rekursive funksjonane må rekne ut alle dei tidlegare tala i følga på same måte for å kunne finne det neste talet. Så for kvart tal må funksjonen gå gjennom mange utrekningar.

d) Vi kan lage ei liste for fibonaccitala og legge dei inn der. Då går utrekninga av neste tal mykje raskare enn dersom kvart tal må reknast ut via funksjonen:

1Fib=[0,1] 
2  #lagar ei liste for fibonaccitala, legg inn 0 og 1
3for i in range (2,100): 
4  #Vi lagar ei lykkje for å legge fibonaccital inn i lista
5    Fib.append(Fib[i-2]+Fib[i-1]) 
6  #legg til summen av dei to førre tala 
7
8print(Fib[40]) 
9  #printar fibonaccital nummer 40

a) Dersom kroppen bryt ned 60 prosent av virkestoffet per døgn, har vi at vekstfaktoren er $$ 1-\frac{60}{100}=0,4$$. Vi kan sjå på mengda virkestoff i kroppen kvar dag rett etter inntak av ein tablett som summen av ei uendeleg geometrisk rekke der $$ a_1=20$$ og $$ k=0,4$$.

Vi får då at mengda virkestoff i kroppen over tid blir

$$ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{20}{1-0,4}\\ & =& \frac{20}{0,6}\approx 33,3\end{array}$$

Dermed vil konsentrasjonen av virkestoffet i kroppen bli for høg, og medisineringa er ikkje trygg.

b) Vi reknar på same måte, her får vi at $$ a_1=10$$:

$$ $ \begin{array}{rcl}S & =& \frac{a_1}{1-k}\\ & =& \frac{10}{1-0,4}\\ & =& \frac{10}{0,6}\approx 16,67\\ & & \end{array}$$$

Sidan det aldri vil vere meir enn 16,67 mg av virkestoffet i kroppen, er denne medisineringa trygg for pasienten.

c) Vi set $$ a_1=x$$ og løyser i GeoGebra:

Vi ser at dersom vi gir 18 mg virkestoff kvar dag, vil summen av rekka konvergere mot 30. Det betyr at det antakeleg vil gå greitt å bruke denne mengda virkestoff dagleg, sidan det aldri vil bli meir enn 30 mg i kroppen.