Logaritmar og logaritmefunksjonen

På byrjinga av 1600-talet vart teleskopet funne opp. Det skjedde store framsteg innanfor astronomien. Arbeid med astronomi, navigasjon og trigonometriske berekningar førte til at matematikarar, fysikarar og astronomar etter kvart fekk behov for å rekne med tal med mange siffer.

For å lette arbeidet fann nokon ut at ved å bruke reknereglane for potensrekning, kunne multiplikasjon reduserast til addisjon og divisjon kunne reduserast til subtraksjon ved hjelp av det som har vorte kalla logaritmar.

Det var skotten John Napier (1550–1617) som byrja å rekne med logaritmar. Han fann ut at alle tal kan skrivast som potensar, og han byrja arbeidet med såkalla logaritmetabellar. Engelskmannen Henry Briggs (1561–1630) heldt fram dette arbeidet. Briggs brukte 10 som grunntal, og i 1624 gav han ut boka Arithmetica Logarithmica, som mellom anna inneheld ein tabell med logaritmane til tal frå 1 til 20 000.

Briggs var først og fremst interessert i arbeidet med logaritmar fordi han skjønte at logaritmerekning kunne vere til stor nytte når ein skulle utføre til dels lange og kompliserte berekningar innanfor navigasjon. Navigasjon var spesielt viktig for engelskmennene med tanke på tryggleiken til og forsvaret av landet.

For å forklare kva logaritmar er, skal vi ta utgangspunkt i potensrekning.

Vi skal multiplisere to store tal:

$10 000·100 000$

Frå potensrekninga veit vi at $10 000={10}^4$ og $100 000={10}^5$.

Vi veit at potensar med same grunntal blir multiplisert ved å addere eksponentane og behalde grunntalet. Multiplikasjonen blir slik:

$$ 10 000·100 000={10}^4·{10}^5={10}^{4+5}={10}^9=1 000 000 000$$

Multiplikasjonen blir redusert til addisjon av eksponentane i tiarpotensar. Det er desse eksponentane som er logaritmane – det vil seie at logaritmen (med 10 som grunntal) til 10 000 er 4 og logaritmen til 100 000 er 5.

Vi kunne i prinsippet ha brukt kva tal som helst som grunntal i potensen, men slik talsystemet vårt er oppbygd, er talet 10 eit naturleg val. Logaritmen med 10 som grunntal har fått namnet den briggske logaritmen. Den briggske logaritmen blir symbolisert med $$ \lg $$ (på norsk). Det betyr at vi til dømes har at

$$ \begin{array}{ccc}\lg 1 000=3 & \mathrm{fordi}& {10}^3=1 000\\ \lg 10=1 & \mathrm{fordi}& {10}^1=10\\ \lg 1=0 & \mathrm{fordi}& {10}^0=1\\ \lg 0,01=-2& \mathrm{fordi}& {10}^{-2}=0,01 \end{array}$$

Eksponentane/logaritmane treng heller ikkje vere heile tal – og det var her dei vart veldig nyttige. Under ser du dei 10 første tala i Briggs logaritmetabell (Briggs opererte med ei nøyaktigheit på 14 desimalar i tabellane sine)

For å multiplisere tala 2 og 3 kan vi då rekne slik:

$$ 2·3\approx {10}^{0,301 0}·{10}^{0,477 1}={10}^{0,301 0+0,477 1}={10}^{0,778 1}\approx 6$$

Multiplikasjon blir erstatta av addisjon. Den siste overgangen finn vi ved å bruke tabellen baklengs.

No tenker du sikkert at det heilt klart hadde vore enklare å multiplisere direkte. Det er sjølvsagt rett akkurat for dette dømet, men tenk deg at du skulle multiplisere to tal med mange siffer utan kalkulator. Då hadde det vore lurt å kunne erstatte multiplikasjon med addisjon.

Multipliser tala 2 og 4 ved å bruke logaritmetabellen over og legge saman logaritmane til 2 og 4.

På biletet har vi teikna grafen til funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={10}^x$.

Langs x-aksen kan vi lese av logaritmeverdiane til tala langs y-aksen.

Grafen viser til dømes at $$ {10}^1=10 \mathrm{og} {10}^{1,3}\approx 20$$. Det viser at $$ \lg 10=1 \mathrm{og} \lg 20\approx 1,3.$$

$$ $$Legg merke til at det berre er positive tal vi kan finne logaritmar til. Grunnen er at funksjonen f aldri er negativ.

Vi har at $V_f=\langle 0, \to \rangle$, altså at verdimengda til f er alle positive tal, mens definisjonsmengda er alle reelle tal, $D_f=R$.

Vi kan òg teikne grafen til logaritmefunksjonen $g\left(x\right)=\lg x$. Då kan vi lese av logaritmeverdiane direkte.

Ved å finne koordinatane til punkta $$ \left(20, g\left(20\right)\right)$$ og $\left(10, g\left(10\right)\right)$ finn du logaritmeverdiane til 10 og 20. Du ser at vi får dei same verdiane som ovanfor.

Legg òg merke til at logaritmefunksjonen berre eksisterer for positive tal. Dermed har vi at $D_g=\langle 0, \to \rangle$ og $$ V_g=R$$.

Av grafane ser vi òg at begge funksjonane veks i heile definisjonsområdet.

På 1700-talet oppstod problemet med å derivere eksponentialfunksjonen$$ a^x$$. Det viste seg at dette lét seg gjere ved hjelp av logaritmar dersom ein i staden for 10 brukte talet $$ e\approx 2,718 281 828 459$$ som grunntal i potensen. Dette talet er eit irrasjonalt tal slik som til dømes pi, og det har dermed eit uendeleg tal siffer.

Logaritmen med$$ e $$som grunntal har fått namnet den naturlege logaritmen. Den naturlege logaritmen blir symbolisert med $$ \ln $$. Sjølve rekninga med logaritmar følger dei same reglane for naturlege logaritmar som for briggske logaritmar.

Med e som grunntal får vi då til dømes

$$ \begin{array}{ccc}\ln 100\approx 4,605& \mathrm{fordi}& e^{4,605}\approx 100\\ \ln 2\approx 0,693 & \mathrm{fordi}& e^{0,693}\approx 2 \\ \ln e=1 & \mathrm{fordi}& e^1=e \\ \ln 1=0 & \mathrm{fordi}& e^0=1 \end{array}$$

Kva blir den naturlege logaritmen til $$ e^2$$ ?

Som nemnt over, kan vi lage logaritmar med kva tal som helst. Vi har rekna med grunntala 10 og e, som er dei vanlegaste grunntala å bruke. Vi tek med eit døme på andre logaritmar òg.

Døme

Finn logaritmen til 25 med 5 som grunntal ($$ {\log }_{5}25$$). Grunngi svaret.

Den naturlege logaritmen og logaritmefunksjonen

Vi har nøyaktig same forhold mellom funksjonane $$ f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$$ og $$ \mathrm{g}\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$. Dette skal du få utforske i oppgåve 1.2.10.

Logaritmetabellar vart brukte i norsk skule fram til 1970-talet. Då overtok kalkulatoren. Spør nokon vaksne du kjenner om dei hugsar logaritmetabellane. Kanskje nokon har ein gammal tabell liggande?

Logaritmar er framleis aktuelle. I dag kan du finne alle logaritmeverdiar ved hjelp av kalkulator eller andre digitale verktøy. På kalkulatorar blir det gjerne brukt log, som er den internasjonale nemninga for logaritmar med 10 som grunntal.

I CAS i GeoGebra kan vi skrive lg(2) når vi skal rekne ut den briggske logaritmen til 2.

På same måte finn vi den naturlege logaritmen ved å skrive ln(2). Dersom vi skal finne logaritmen til 25 med 5 som grunntal, skriv vi log(5,25).