Lineære ulikskapar

Ein ulikskap består av eit ulikskapssymbol med eit tal eller uttrykk på kvar side av symbolet. Eit døme er ulikskapen

CC BY-NC-SA

Bilete: Rolf Øhman

$3<8$

Ulikskapen les vi som «$3$ er mindre enn $8$».

Vi har fire ulikskapssymbol, $<$ som tyder «mindre enn», $>$ som tyder «større enn», $\le$ som tyder «mindre enn eller lik» og $\ge$ som tyder «større enn eller lik».

Merk at «gapet» alltid peikar mot det største talet.

Ein ulikskap inneheld gjerne ein eller fleire ukjende storleikar symbolisert med bokstavar. Det er vanleg å bruke bokstaven $x$ for den ukjende når ulikskapen har éin ukjend storleik.

Eit døme er ulikskapen

$x+3\ge 8$

Å løyse ein ulikskap går ut på å finne kva for verdiar x kan ha for at ulikskapen skal vere sann. Til dømes, kva for verdiar av $x$ i ulikskapen ovanfor gjer at $x+3$ blir lik eller større enn $8$?

Langt på veg kan vi løyse ulikskapar etter dei same prinsippa vi brukte for å løyse likningar.

• Dersom vi adderer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Sidan $5<9, \mathrm{så} \mathrm{er} 5\boxed{+3}<9\boxed{+3}$.

• Dersom vi subtraherer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Sidan $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{-3}>5\boxed{-3}$.

• Dersom vi multipliserer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Sidan $9>5, \mathrm{så} \mathrm{er} 9\boxed{·3}>5\boxed{·3}$.

• Dersom vi dividerer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Sidan $9>6, \mathrm{så} \mathrm{er} \frac{9}{\boxed{3}}>\frac{6}{\boxed{3}}$.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med same positive talet på begge sider i ein ulikskap og framleis behalde den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Kva så dersom vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal på begge sider i ein ulikskap?

Vi ser på ei tallinje.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Dersom vi vel to ulike tal, veit vi at det talet som ligg lengst til høgre, er det største. Talet $4$ ligg til høgre for talet $2$ og er dermed større enn $2$.

$4>2$

Vi multipliserer så begge tala (begge sidene i ulikskapen) med det negative talet $-1$. Vi får at $4·\left(-1\right)=-4 \mathrm{og} 2·\left(-1\right)=-2$. Men $-4$ ligg til venstre for $-2$ på tallinja og er da minst. Det tyder at

$-4<-2$

Vi måtte altså snu ulikskapsteiknet for at ulikskapen framleis skal vere sann.

På same måte kan du ta utgangspunkt i to kva for nokre som helst ulike tal og multiplisere dei eller dividere dei med same negative talet. Du vil sjå at du alltid må snu ulikskapsteiknet for at ulikskapen framleis skal vere sann.

Dette tyder at dei reglane vi hadde for å løyse likningar også kan brukast for å løyse ulikskapar med den skilnad at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal.

Døme

Vi løyser ulikskapen

$\begin{array}{rcl}2x+3& < & 4x+9 \mathrm{Vi} \mathrm{substraherer} 4x \mathrm{og} 3 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider}.\\ & & \\ 2x-4x& <& 9-3 \mathrm{Vi} \mathrm{trekkjer} \mathrm{saman} \mathrm{like} \mathrm{ledd}.\\ & & \\ -2x& <& 6 \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{med} -2 \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{sider} \mathrm{og} \mathrm{snur} \mathrm{ulikskapsteiknet}.\\ & & \\ x& >& -3\end{array}$

For alle verdiar av $x$ større enn $-3$ er ulikskapen sann.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen

Ved CAS i GeoGebra skriv vi inn ulikskapen og trykker på knappen $$ $ $ $ $ \boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$$$$$$. Alternativt kan vi bruke kommandoordet "Løys":

Løys(2x+3<4x+9