Oppgåver og aktivitetar

Praktiske geometrioppgåver

Her kan du utforske korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i praktiske situasjonar.

Løysingsforslag til oppgåvene finn du nedst på sida.

2.4.1

Cecilie har bygd ein liten sandkasse til sonen sin. Sandkassen har kvadratforma botn og sidekantar som er 120 cm lange. Høgda på sandkassen er 30 cm.

a) Kor mange kubikkmeter naturgrus må Cecilie kjøpe for å fylle sandkassen heilt?

b) Cecilie har ein liten tilhengjar som har 500 kg som største nyttelast. 1 tonn naturgrus svarer cirka til 0,7 m³. Kan Cecilie laste all grusen ho kjøper i denne tilhengjaren?

2.4.2

Figuren nedanfor viser ei traktorskuffe.

Traktorskuffe med mål: lengde 230 centimeter, breidde 86 centimeter og høgde 76 centimeter. Illustrasjon.

Skuffa er laga av jernplater med ei tjukne på 6 mm. Jernet har ei vekt på 7,87 g per cm³.

Kor mange kilo veg skuffa?

2.4.3

Eit symjebasseng har ein rektangelforma botn med lengde 9,80 m og breidde 5,20 m. Høgda er 1,90 m overalt. Alle måla er innvendige. Veggane og botnen i bassenget er av betong og er 20 cm tjukke.

a) Kor mange kubikkmeter betong har gått med til å lage veggar og botn?

b) Botnen og veggane i bassenget skal dekkjast av fliser. Kor stort er dette arealet?

2.4.4

Adrianne skal måle ei tresøyle som støttar opp ein balkong. Søyla har form som ein sylinder med diameter 30 cm og høgde 4,20 m.

Søyla skal ha to strøk måling, og Adrianne får vite at ein liter måling dekkjer 6 m². Kor mange liter måling vil Adrianne trenge for å måle søyla?

2.4.5

Leo er veldig interessert i pyramidar og har studert den mest kjende pyramiden i verda, Kheopspyramiden, som ligg like utanfor Kairo i Egypt. Denne pyramiden har kvadratisk grunnflate med sidelengde 230 m. Høgda på pyramiden var opphavleg 146 meter, men 10 meter har forsvunne. Ein ven av Leo lurer på kor stort volum Kheopspyramiden har.

a) Berekn volumet av den opphavlege Kheopspyramiden.

For å prøve å få venen til å forstå kor stor Kheopspyramiden eigentleg er, tenkjer Leo å samanlikne pyramiden med det lokale symjebassenget. Dette symjebassenget har ei innvendig lengde på 25,0 meter, ei breidde på 12,5 meter og ei gjennomsnittsdjupne på 2,4 meter.

b) Kor mange liter vatn rommar dette symjebassenget?

c) Kor mange slike basseng kan "fyllast" i den opphavlege Kheopspyramiden?

2.4.6

Biletet viser eit kart over ein eigedom med gards- og bruksnummer 138/10. Dette er ei hyttetomt med ei hytte og eit anneks. Hytta og annekset er teikna inn på eigedommen.

Kart som viser tomtegrensene til ein eigedom. Tomta er firkanta. Ei hytte og eit anneks er teikna inn på eigedommen. Gard- og bruksummeret til eigedommen er 138/10. Ein veg går forbi eigedommen, og det er ei innkøyring frå vegen og inn til hytta. Ein strek markerer målestokken. Over denne streken står det 30 meter. Skjermutklipp.

a) Kva for ein geometrisk figur synest du tomta liknar mest på?

b) Eigaren ønskjer å setje opp eit gjerde langs heile tomtegrensa. Kor langt blir gjerdet?

Tips til oppgåva

Bruk informasjonen på biletet til å finne målestokken.

Måla vil variere med skjermstorleik og skjermoppløysing dersom du måler direkte på skjermen. Ei papirutskrift av kartet kan gi heilt andre mål.

c) Etter at hytta og annekset vart bygde, ville eigaren så ny plen over heile tomta (inkludert den delen av tomta som er markert som veg). Kor mange esker med plenfrø og kor mykje gjødsel måtte eigaren kjøpe inn?

Tips til oppgåva

Her må du hente inn naudsynt informasjon sjølv. Hugs å skrive opp kva føresetnader du gjer.

2.4.7

Bjarne ønskjer seg ny og større TV. TV-en må få plass i opninga mellom veggen og pipa, der avstanden er 130 cm. Kor stor TV kan Bjarne få plass til? (Hugs at TV-ar blir målte i tommar.)

Tips til oppgåva

Dette er ei utforskande oppgåve. Før du gjer utrekningar, må du undersøkje korleis storleiken på TV-skjermar blir målt, og du må setje deg inn i måleininga tommar. Du må òg undersøkje kva det vanlege forholdet mellom høgde og breidde på ein TV er.

2.4.8

a) Lag eit program som bereknar kor mange tommar ein TV-skjerm er ut frå breidda på skjermen. Programmet skal la brukaren taste inn den ønskte breidda på TV-skjermen (i cm) og ut frå dette berekne kor mange tommar ein skjerm med denne breidda vil vere. Vi går ut frå at skjermen har breidde- og høgdeforholdet 16:9.

b) Utvid programmet slik at forholdet mellom breidde og høgde òg blir gitt av brukaren.

2.4.9

Eit klinometer er eit måleapparat som mellom anna kan brukast for å måle kor mykje eit skip krengjer eller høgda på tre eller bygningar.

For å rekne ut høgda, $H$ , på til dømes ei flaggstong, siktar vi på toppen av flaggstonga med klinometeret og les av siktevinkelen, $v$ . Ut frå denne vinkelen finn vi eit forholdstal, $k$ , i ein tabell, som du finn ei forenkla utgåve av nedanfor.

Vinkel, v	$0 °$	$10 °$	$20 °$	$30 °$	$40 °$	$50 °$	$60 °$	$70 °$
Forholdstal, k	0	0,176	0,364	0,577	0,839	1,192	1,804	2,748

I tillegg måler vi avstanden frå oss til flaggstonga, $l$ , og avstanden frå auget og ned på bakken, $a$ . Vi bruker denne formelen:

$H = (l \cdot k) + a$

Andreas vil måle høgda av flaggstonga si med eit klinometer. Han stiller seg 10 meter frå flaggstonga, siktar mot toppen og les av vinkelen $v = 30 °$ . Andreas måler avstanden 165 cm frå auget sitt og ned til bakken.

a) Berekn kor høg flaggstonga til Andreas er.

b) Lag eit program som lèt brukaren skrive inn avstanden til eit objekt, $l$ , avstanden frå auget til bakken, $a$ , og konstanten, $k$ . Programmet skal så berekne kor høgt objektet er. Gi alle lengder i meter.

2.4.10

Kort forma som ein firkanta pyramide. På spissen er det tredd på eit firkanta ark med diverse pynt. Foto.

Mary har laga eit pyramidekort. Grunnflata i kortet er eit kvadrat. Sidene i pyramiden er likebeinte trekantar. På biletet ser du mønsteret ho brukte.

Figur som består av eit kvadrat i midten der sidekantane er 10 centimeter. Kvar side i kvadratet dannar grunnlinje i ein likebeint trekant der dei to andre sidene er 17 centimeter. Illustrasjon.

I tillegg til sjølve pyramiden har ho laga ei kvadratisk ramme, som ho kan tre ned over pyramiden for å halde han saman.

a) På figuren har vi bretta ut det pyramideforma kortet. Finn overflata til pyramidekortet. (Vi ser her bort frå ramma som er tredd over kortet.)

Tips til oppgåva

Finn høgda i trekanten frå det spissaste hjørnet og ned på sidekanten i grunnflata.

Mary sel korta ho lagar i ein nettbutikk, og der må ho gi høgda av pyramidekortet. Ho har målt høgda tidlegare og meiner å hugse at høgda var 15 cm.

b) Gjer ei utrekning som viser at pyramidekortet er cirka 15 cm høgt.

Hòlet i ramma som blir tredd over kortet, er eit kvadrat. Dette hòlet skal vere så stort at ramma blir liggjande 10 cm over grunnflata i pyramiden.

c) Rekn ut kor stort hòlet i ramma må vere.

Denne oppgåva er ein omarbeidd versjon av ei oppgåve frå eksamen i 1P, våren 2012.

2.4.11

På biletet ser du ein boks "Stabbur-Makrell". Botnen av boksen er tilnærma lik eit rektangel og to halvsirklar og har form som vist på figuren til høgre. Rektangelet har lengde 8,2 cm og breidde 6,6 cm.

Biletet viser ein boks makrell i tomat og ei skisse av omkrinsen av boksen. Boksen har form som eit rektangel med ein halvsirkel i kvar ende. Mål er påført rektangelet: sidekantane er på 6,6 centimeter og 8,2 centimeter. Halvsirklane ligg inntil sidekanten som er 8,2 centimeter, og dette er dermed diameteren i halvsirklane. Illustrasjon.

Gå ut frå at sideflata står vinkelrett på topp og botn, og at boksen er 2,1 cm høg.

a) Bestem volumet av boksen.

b) Bestem overflata av boksen.

Denne oppgåva er henta frå eksamen i 1P, våren 2015.

2.4.12

Biletet viser ein lampeskjerm som har fire sideflater med same storleik og form. Sideflatene skrår oppover, samstundes som dei blir smalare, og har form som eit trapes. Foto.

På biletet ser du ein lampeskjerm av stoff med fire like sider. Skissa nedanfor viser éi side av lampeskjermen.

Biletet viser ei skisse av eit trapes. Grunnlinja i trapeset er 20 centimeter, og topplinja er 10 centimeter. Høgda er ikkje gitt, men markert. I tillegg er ein av dei skrå sidekantane i trapeset gitt til å vere 13 centimeter, og denne sidekanten er hypotenus i ein rettvinkla trekant der høgda er den eine kateten. Den andre kateten er gitt til å vere 5 centimeter. Illustrasjon.

a) Bestem arealet av éi side av lampeskjermen.

b) Kor mykje stoff går det med til ein lampeskjerm når det må bereknast 10 prosent ekstra stoff til overlapp og kantar?

Denne oppgåva er henta frå eksamen i 1P, våren 2018.

2.4.13

Ei kake har form som ein sylinder med diameter 26,0 cm og høgde 8,0 cm.

a) Bestem volumet av kaka. Gi svaret i liter.

Ingrid skal dekkje kaka med marsipan på toppen og på sidene. Ho vil starte med å kjevle ut ein sirkel av marsipan. Denne sirkelen blir marsipanlokket.

I oppskrifta står det at ho må gjere følgjande for å avgjere kor stort marsipanlokket bør vere:

Mål kor stor diameter kaka har, og kor høg ho er. Legg saman diameteren og to gonger høgda. Legg deretter til 7 cm ekstra. Då har du den totale diameteren til lokket.

b) Bestem arealet av marsipanlokket.

c) Vis at forholdet mellom arealet av marsipanlokket og overflatearealet av kaka er tilnærma lik 1,6.

Denne oppgåva er henta frå eksamen i 1P, våren 2019.

Løysingar

2.4.1

$120 cm \cdot 120 cm \cdot 30 cm = 432 000 {cm}^{3} = 0, 432 m^{3}$

Cecilie må kjøpe 0,432 kubikkmeter naturgrus for å fylle sandkassen heilt.

Oppgåva kan løysast på fleire måtar. Vi vel å finne ut kor stort volum 500 kg naturgrus har, sidan tilhengjaren maksimalt kan frakte 500 kg. Når eitt tonn naturgrus svarer til 0,7 m³, må 500 kg naturgrus svare til halvparten av dette volumet.

$\frac{0, 7 m^{3}}{2} = 0, 35 m^{3}$

Tilhengjaren kan maksimalt frakte 0,35 m³ naturgrus, så Cecilie kan ikkje laste all grusen i tilhengjaren.

2.4.2

Traktorskuffa er sett saman av fire plater: botnplate, to sideplater og ei bakplate.

Botn: $230 cm \cdot 86 cm \cdot 0, 6 cm = 11 868 {cm}^{3}$

To sideplater: $2 \cdot \frac{86 cm \cdot 76 cm}{2} \cdot 0, 6 cm = 3 921 {cm}^{3}$

Bakplate: $230 cm \cdot 76 cm \cdot 0, 6 cm = 10 488 {cm}^{3}$

Totalt volum:

$11 868 {cm}^{3} + 3 921, 6 {cm}^{3} + 10 488 {cm}^{3} = 26 277, 6 {cm}^{3}$

$26 277, 6 {cm}^{3} \cdot 7, 87 g / {cm}^{3} = 206 806 g$

Skuffa veg 0,21 tonn.

2.4.3

Her er det kanskje enklast å rekne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekkje dei frå kvarandre. For å spare litt inntasting, startar vi med å skrive inn dei tre måla i variablane $l, b$ og $h$ . Vi tek med eininga m her for å få eining på svaret.

Utklipp frå CAS i GeoGebra. Lengde er lik 9,8, breidde er lik 5,2 og høgde er lik 1,9. Skjermutklipp.

Så reknar vi ut det utvendige volumet inkludert veggar og golv og det innvendige volumet og trekkjer desse frå kvarandre.

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 4 står det Innvendigvolum kolon er lik l b h. Under står det tilnærma lik Innvendigvolum kolon er lik 96,824 kubikkmeter. På linje 4 står det Utvendigvolum kolon er lik parentes l pluss 2 multiplisert med 0,2 meter parentes slutt parentes b pluss 2 multiplisert med 0,2 meter parentes slutt parentes h pluss 0,2 meter parentes slutt. Under står det tilnærma lik Utvendigvolum kolon er lik 119,952 kubikkmeter. På linje 6 står det Utvendigvolum minus Innvendigvolum. Under står det tilnærma lik 23,128 kubikkmeter. Skjermutklipp.

Det gjekk med 23,13 m³ betong.

Alternativt kan vi rekne ut volumet av botnen og dei fire veggane direkte.

Vi må rekne ut (det innvendige) arealet av dei fire veggane pluss botnen.

CAS-utrekning i GeoGebra. Det står A er lik parentes 9,8 m multiplisert med 5,2 m parentes slutt pluss parentes 9,8 m multiplisert med 1,9 m parentes slutt multiplisert med 2 pluss parentes 5,2 m multiplisert med 1,9 m parentes slutt multiplisert med 2. Under står det tilnærma lik A er lik 107,96 kvadratmeter. Skjermutklipp.

Arealet er 108 m².

2.4.4

Vi går ut frå at topp og botn av søyla ikkje skal målast, noko som betyr at vi ikkje treng å ta med overflata av desse.

CAS-utrekning i GeoGebra. Det står parentes 2 multiplisert med 2 multiplisert med pi multiplisert med 0,15 m multiplisert med 4,2 m parentes slutt dividert på 6 kvadratmeter over liter. Under står det tilnærma lik 1,32 liter. Skjermutklipp.

Adrianne treng $1, 32 liter$ måling for å måle søyla.

2.4.5

Volumet av ein pyramide er gitt ved formelen $V = \frac{G \cdot h}{3}$ .

CAS-utrekning i GeoGebra. Det står V er lik parentes 230 m multiplisert med 230 m og 146 m parentes slutt dividert på 3. Under står det tilnærma lik V er lik 2574467 kubikkmeter. Skjermutklipp.

Volumet $V$ av den opphavlege Kheopspyramiden var $2 570 000 m^{3}$ .

CAS-utrekning i GeoGebra. Det står V er lik 250 d m multiplisert med 125 d m multiplisert med 24 d m. Under står det tilnærma lik V er lik 750000 kubikkdesimeter. Skjermutklipp.

Symjebassenget rommar $750 000 liter$ .

CAS-utrekning i GeoGebra. Det står 2570000 kubikkmeter dividert på 750 kubikkmeter. Under står det tilnærma lik 3427. Skjermutklipp.

3 430 symjebasseng av denne typen kan "fyllast" i Kheopspyramiden.

2.4.6

Eigedommen har tilnærma form som eit trapes.

Lengda på gjerdet vil vere lik omkrinsen av trapeset. For å finne kor langt gjerdet blir, må vi derfor måle dei fire sidekantane på kartet. Vi finn målestokken ved å måle den gitte 30-meterstreken på kartet og bruke forholdsrekning. NB: Måla vil variere ut frå om du tek utskrift eller om du måler på skjermen.

Vi måler sidekantane til 5,3 cm, 4,5 cm, 4,8 cm og 4,4 cm.

30 meter i røynda måler vi til 4,4 cm på kartet.

$\begin{array}{rcl} \frac{30 m}{4, 4 cm} & = & \frac{x}{1 cm} \\ x & = & 6, 8 m \end{array}$

Målestokk: 1 cm på kartet er 6,8 m i røynda.

Omkrins: $(5, 3 + 4, 5 + 4, 8 + 4, 4) \cdot 6, 8 m = 129, 2 m$

Gjerdet blir cirka 130 meter langt.

Det er fleire måtar å løyse denne oppgåva på.

Døme på løysing:

Vi vel å berekne arealet av bygningane og trekkje dette frå det totale arealet for å finne kor stort areal som skal ha plen. Vi må òg finne informasjon om kor mykje hagegjødsel og frø som er tilrådd per m².

Hytte og anneks, veggar målt på kart:

lengde veggar "hovuddel": 2,6 cm, 1,0 cm
lengde veggar "inngang": 0,9 cm, 0,3cm
lengde veggar "anneks": 1,0 cm, 0,6 cm

Areal hytte og anneks:

$\begin{array}{rcl} (2, 6 \cdot 6, 8 \cdot 1, 0 \cdot 6, 8) m^{2} & = & 120, 2 m^{2} \\ (0, 3 \cdot 6, 8 \cdot 0, 9 \cdot 6, 8) m^{2} & = & 12, 5 m^{2} \\ (0, 6 \cdot 6, 8 \cdot 1, 0 \cdot 6, 8) m^{2} & = & 27, 7 m^{2} \\ T o t a l t a r e a l & = & 160, 4 m^{2} \end{array}$

Anslag for tomtearealet, ut frå at det har tilnærma form som eit trapes:

$\frac{(5, 3 \cdot 6, 8 m + 4, 8 \cdot 6, 8 m) \cdot 4, 4 \cdot 6, 8 m}{2} = 1027 m^{2}$

Areal som skal ha plen: $1027 m^{2} - 160 m^{2} = 867 m^{2}$

På nettsidene til Felleskjøpet finn vi dei følgjande tilrådingane:

5–10 kg hagegjødsel per 100 m²
1,2–1,5 kg frø per 100 m²

Vi bestemmer oss for å bruke den største tilrådde mengda av både hagegjødsel og frø.

Eigaren treng $8, 67 \cdot 10 kg = 86, 70 kg$ hagegjødsel og $1, 5 kg \cdot 8, 67 = 13 kg$ frø.

Plenfrø blir selt i pakkar med 5 kg eller 25 kg. Eigaren kan gå litt ned i mengde, sidan utrekningane er gjorde ut frå den største tilrådde mengda, og kjøpe 2 pakkar frø à 5 kg, det vil seie 10 kg frø. Alternativt kan eigaren kjøpe 3 pakkar frø à 5 kg, det vil seie 15 kg frø, og dermed få meir frø enn tilrådd.

2.4.7

Storleiken på TV-skjermar blir gitt ut frå kor lang diagonalen til skjermen er. Dette målet blir ofte gitt i tommar. 1 tomme er 2,54 cm.

Forholdet mellom breidde og høgde på ein TV-skjerm varierer, i 2021 er 16:9 det mest vanlege. I tillegg til sjølve skjermen er det ei ramme på 1–4 cm.

Bjarne har eigentleg plass til ein TV som er opp til 130 cm i breidda. Dersom vi set av 4 cm til ramme på kvar side, vil sjølve skjermen maksimalt kunne vere 122 cm.

Vi finn først kor stor høgde ein skjerm med breidde lik 122 cm vil ha. Deretter bruker vi pytagorassetninga for å berekne diagonalen, og til slutt bereknar vi kor mange tommar diagonalen er.

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 står det 122 over 16 er lik x over 9. Under står det N Løys kolon sløyfeparentes x er lik 68,63 sløyfeparentes slutt. På linje 2 står det Diagonal kolon er lik rota av parentes 122 opphøgd i andre pluss 68,63 opphøgd i andre parentes slutt. Under står det tilnærma lik Diagonal kolon er lik 139,98. På linje 3 står det TaletPåTommar kolon er lik Diagonal over 2,54. Under står det TaletPåTommar kolon er lik 55,11. Skjermutklipp.

Bjarne kan velje ein TV som har ein skjerm som er maksimalt 55 tommar, men dersom ramma er breiare enn 4 cm på kvar side, må han velje ein skjerm som er mindre enn 55 tommar.

2.4.8

a) Programmet bereknar talet på tommar til ein TV-skjerm ut frå breidda. Det er programmert i Python.

Berekne talet på tommar for TV-skjerm

1import math
2
3b=float(input("Gi den ønskte breidda på skjermen: "))
4h=(9/16)*b
5diagonal=math.sqrt(b*b+h*h)
6tommar=diagonal/2.54
7
8print(f"Denne skjermen er {tommar:.2f} tommar.")

b) Vi utvidar programmet frå oppgåve a).

Bereknar talet tommar for TV-skjerm, utviding

1import math
2
3b=float(input("Gi den ønskte breidda på skjermen: "))
4print("Gi forholdet mellom breidde og høgde på skjermen: ")
5breidde=int(input("breidde:"))
6hogde=int(input("hogde:"))
7
8h=(hogde/breidde)*b
9    
10diagonal=math.sqrt(b*b+h*h)
11tommar=diagonal/2.54
12
13print(f"Denne skjermen er {tommar:.2f} tommar.")

2.4.9

Tabellen viser at ein vinkel på $30 °$ gir $k = 0, 577 .$

$H = (10 m \cdot 0, 577) + 1, 65 = 7, 42 m$

Flaggstonga til Andreas er 7,42 meter.

Vi lagar programmet i Python.

Berekne høgde av objekt med klinometer

1l=float(input("Gi avstand til objektet: "))
2a=float(input("Gi avstand frå auget til bakken: "))
3k=float(input("Gi k-verdi henta frå tabell: "))
4
5h=l*k+a
6print(f"Høgda til objektet er {h:.2f} meter.")

2.4.10

Vi ser på éin av trekantane og bruker pytagorassetninga.

Likebeint trekant der dei to likebeinte sidene er 17 centimeter og halvparten av den tredje sida er 5 centimeter. Høgda ned på den tredje sida er markert. Illustrasjon.

$5^{2} + h^{2} = 17^{2}$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 5 i andre pluss h i andre er lik 17 i andre. Svaret med "Løys" er h er lik minus 2 rot 66 eller h er lik 2 rot 66. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er h er lik minus 16,248 eller h er lik 16,248. Skjermutklipp.

Høgda i trekantane er cirka 16,2 cm. Overflata blir arealet av dei fire trekantane pluss kvadratet i midten.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 3 er det skrive Overflata kolon er lik 4 multiplisert med 10 c m multiplisert med 16,248 c m delt på 2 pluss parentes 10 c m parentes slutt i andre. Svaret med tilnærming er Overflata kolon er lik 424,96 cm i andre. Skjermutklipp.

Overflata av pyramidekortet er cirka 425 cm².

Når kortet blir bretta til ein pyramide, vil høgda i trekantane bli hypotenus i ein rettvinkla trekant som har ein katet lik 5 cm og ein katet lik indre høgde i pyramiden.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive IndreHøgde kolon er lik kvadratrota av parentes 16,25 i andre minus 5 i andre parentes slutt. Svaret med tilnærming er Indre Høgde kolon er lik 15,46. Skjermutklipp.

Pyramidekortet er cirka 15 cm høgt.

Den delen av pyramiden som er over hòlet, er ein liten pyramide som er formlik med heile pyramiden. Det betyr at den vesle pyramiden har ein tilsvarande rettvinkla trekant som beskriven i oppgåve b), der indre høgde er den eine kateten, mens breidda til halve hòlet er den andre kateten. Mellom desse to trekantane vil det òg vere formlikskap.

Indre høgde i den store pyramiden er berekna til 15,5 cm. Indre høgde i den vesle pyramiden vil vere 10 cm mindre, det vil seie 5,5 cm.

Vi bruker forholdsrekning for å finne sidekantane i hòlet:

$\frac{h a l v s i d e k a n t v e s l e p y r a m i d e}{h a l v s i d e k a n t h e i l e p y r a m i d e} = \frac{i n d r e h ø g d e v e s l e p y r a m i d e}{i n d r e h ø g d e h e i l e p y r a m i d e}$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x brøkstrek 5 er lik 5,5 brøkstrek 15,5. Svaret med NLøys er 1,77. På linje 2 er det skrive Sidekant kolon er lik 1,77 multiplisert med 2. Svaret med tilnærming er 3,54. Skjermutklipp.

Hòlet i ramma må ha sider som er 3,5 cm.

2.4.11

Grunnflata består av to halve sirklar og eit rektangel.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Volum kolon er lik parentes pi multiplisert med 4,1 opphøgd i andre pluss 8,2 multiplisert med 6,6 parentes slutt multiplisert med 2,1. Svaret med tilnærming er 224,55. Skjermutklipp.

Volumet av boksen er 225 cm², som svarer til 0,23 liter.

Overflata av boksen består av grunnflate (botn), topp og sideflate. Topp og botn har like store areal, mens arealet til sideflata er omkrinsen multiplisert med høgda.

Omkrinsen er omkrinsen av halvsirklane på endane pluss dei to kortaste sidene i rektangelet.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grunnflate kolon er lik pi multiplisert med 4,1 opphøgd i andre pluss 8,2 multiplisert med 6,6. Svaret med tilnærming er 106,93. På linje 2 er det skrive Flate Sidekant kolon er lik parentes pi multiplisert med 8,2 pluss 6,6 multiplisert med 2 parentes slutt multiplisert med 2,1. Svaret med tilnærming er 81,82. På linje 3 er det skrive Overflate kolon er lik Grunnflate multiplisert med 2 pluss Flate Sidekant. Svaret med tilnæriming er 295,68. Skjermutklipp.

Overflata av boksen er 296 cm².

2.4.12

Kvar av sidene av lampeskjermen har form som eit trapes.

$\begin{array}{l} H ø g d e = \sqrt{{(13 cm)}^{2} - {(5 cm)}^{2}} = 3, 5 cm \\ A r e a l = \frac{(10 cm + 20 cm) \cdot 3, 5 cm}{2} = 52, 5 {cm}^{2} \end{array}$

Arealet av éi side av lampeskjermen er 52,5 cm².

10 prosent ekstra stoff gir ein vekstfaktor på 1,10.

$\begin{matrix} Mengde stoff = (4 \cdot 52, 5 {cm}^{2}) \cdot 1, 10 = 231 {cm}^{2} \end{matrix}$

Det går med 231 cm² stoff til ein lampeskjerm når ekstra stoff til overlapp og kantar er berekna med.

2.4.13

Vi bereknar volumet av kaka ut frå formelen for volum av ein sylinder, der radius i grunnflata er 13 cm og høgda er 8 cm.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Volum kolon er lik pi multiplisert med 13 opphøgd i andre multiplisert med 8. Svaret med tilnærming er 4247,43. Skjermutklipp.

Volumet av kaka er 4,25 liter.

Formel for diameter til marsipanlokk for ei kake med diameter, $d$ , og høgde, $h$ , blir $d + 2 \cdot h + 7 cm .$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 2 står det Total Diameter kolon er lik 26 c m pluss 2 multiplisert med 8 c m pluss 7 c m. Under står det tilnærma lik Total Diameter kolon er lik 49 c m. På linje 3 står det radius kolon er lik Total Diameter dividert med 2. Under står det tilnærma lik radius kolon er lik 24,5 c m. På linje 4 står det Arealet kolon er lik pi multiplisert med radius opphøgd i andre. Under står det tilnærma lik Arealet kolon er lik 1885,74 kvadratcentimeter. Skjermutklipp.

Arealet av marsipanlokket er 1 886 cm².

Vi bereknar først overflata av kaka, ut frå at ho har form som ein sylinder utan botn.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 5 står det Omkrins kolon er lik pi multiplisert med 26. Under står det tilnærma lik Omkrins kolon er lik 81,68. På linje 6 står det Overflate Kake kolon er lik Omkrins multiplisert med 8 pluss pi multiplisert med 13 opphøgd i andre. Under står det tilnærma lik Overflate Kake kolon er lik 1184,38. På linje 7 står det Forholdet kolon er lik Arealet dividert på Overflate Kake. Under står det tilnærma lik Forholdet kolon er lik 1,59 kvadratcentimeter. Skjermutklipp.

Forholdet mellom arealet av marsipanlokket og overflatearealet av kaka er tilnærma lik 1,6 cm².

CC BY-SASkrive av Vibeke Bakken og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 29.10.2021

Praktiske geometrioppgåver

2.4.1

2.4.2

2.4.3

2.4.4

2.4.5

2.4.6

2.4.7

2.4.8

2.4.9

2.4.10

2.4.11

2.4.12

2.4.13

Løysingar

Berekne talet på tommar for TV-skjerm

Bereknar talet tommar for TV-skjerm, utviding

Berekne høgde av objekt med klinometer

Reglar for bruk