Praktiske geometrioppgåver

Bruk informasjonen på biletet til å finne målestokken.

Måla vil variere med skjermstorleik og skjermoppløysing dersom du måler direkte på skjermen. Ei papirutskrift av kartet kan gi heilt andre mål.

Her må du hente inn naudsynt informasjon sjølv. Hugs å skrive opp kva føresetnader du gjer.

Dette er ei utforskande oppgåve. Før du gjer utrekningar, må du undersøkje korleis storleiken på TV-skjermar blir målt, og du må setje deg inn i måleininga tommar. Du må òg undersøkje kva det vanlege forholdet mellom høgde og breidde på ein TV er.

Finn høgda i trekanten frå det spissaste hjørnet og ned på sidekanten i grunnflata.

a)

$$ 120 \mathrm{cm}· 120 \mathrm{cm}· 30 \mathrm{cm}=432 000 {\mathrm{cm}}^3=0,432 {\mathrm{m}}^3$$

Cecilie må kjøpe 0,432 kubikkmeter naturgrus for å fylle sandkassen heilt.

b)

Oppgåva kan løysast på fleire måtar. Vi vel å finne ut kor stort volum 500 kg naturgrus har, sidan tilhengjaren maksimalt kan frakte 500 kg. Når eitt tonn naturgrus svarer til 0,7 m³, må 500 kg naturgrus svare til halvparten av dette volumet.

$$ \frac{0,7 {\mathrm{m}}^3}{2}=0,35 {\mathrm{m}}^3$$

Tilhengjaren kan maksimalt frakte 0,35 m³ naturgrus, så Cecilie kan ikkje laste all grusen i tilhengjaren.

Traktorskuffa er sett saman av fire plater: botnplate, to sideplater og ei bakplate.

Botn: $$ 230 \mathrm{cm}· 86 \mathrm{cm}· 0,6 \mathrm{cm}=11 868 {\mathrm{cm}}^3$$

To sideplater: $$ 2·\frac{86 \mathrm{cm}·76 \mathrm{cm}}{2}·0,6 \mathrm{cm}=3 921 {\mathrm{cm}}^3$$

Bakplate: $$ 230 \mathrm{cm}· 76 \mathrm{cm}· 0,6 \mathrm{cm}=10 488 {\mathrm{cm}}^3$$

Totalt volum:

$$ 11 868 {\mathrm{cm}}^3+ 3 921,6 {\mathrm{cm}}^3+ 10 488 {\mathrm{cm}}^3=26 277,6 {\mathrm{cm}}^3$$

$$ 26 277,6 {\mathrm{cm}}^3· 7,87 \mathrm{g}/{\mathrm{cm}}^3=206 806 \mathrm{g}$$

Skuffa veg 0,21 tonn.

a)

Her er det kanskje enklast å rekne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekkje dei frå kvarandre. For å spare litt inntasting, startar vi med å skrive inn dei tre måla i variablane $l, b$ og $h$. Vi tek med eininga m her for å få eining på svaret.

Så reknar vi ut det utvendige volumet inkludert veggar og golv og det innvendige volumet og trekkjer desse frå kvarandre.

Det gjekk med 23,13 m³ betong.

Alternativt kan vi rekne ut volumet av botnen og dei fire veggane direkte.

b)

Vi må rekne ut (det innvendige) arealet av dei fire veggane pluss botnen.

Arealet er 108 m².

Vi går ut frå at topp og botn av søyla ikkje skal målast, noko som betyr at vi ikkje treng å ta med overflata av desse.

Adrianne treng $1,32 \mathrm{liter}$ måling for å måle søyla.

a)

Volumet av ein pyramide er gitt ved formelen  $V=\frac{G·h}{3}$.

Volumet $V$ av den opphavlege Kheopspyramiden var $2 570 000 {\mathrm{m}}^3$.

b)

Symjebassenget rommar $750 000 \mathrm{liter}$.

c)

3 430 symjebasseng av denne typen kan "fyllast" i Kheopspyramiden.

a)

Eigedommen har tilnærma form som eit trapes.

b)

Lengda på gjerdet vil vere lik omkrinsen av trapeset. For å finne kor langt gjerdet blir, må vi derfor måle dei fire sidekantane på kartet. Vi finn målestokken ved å måle den gitte 30-meterstreken på kartet og bruke forholdsrekning. NB: Måla vil variere ut frå om du tek utskrift eller om du måler på skjermen.

Vi måler sidekantane til 5,3 cm, 4,5 cm, 4,8 cm og 4,4 cm.

30 meter i røynda måler vi til 4,4 cm på kartet.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{30 \mathrm{m}}{4,4 \mathrm{cm}} & =& \frac{x}{1 \mathrm{cm}}\\ x & =& 6,8 \mathrm{m}\end{array}$$

Målestokk: 1 cm på kartet er 6,8 m i røynda.

Omkrins: $$ \left(5,3+4,5+4,8+4,4\right)·6,8 \mathrm{m} = 129,2 \mathrm{m}$$

Gjerdet blir cirka 130 meter langt.

b)

Det er fleire måtar å løyse denne oppgåva på.

Døme på løysing:

Vi vel å berekne arealet av bygningane og trekkje dette frå det totale arealet for å finne kor stort areal som skal ha plen. Vi må òg finne informasjon om kor mykje hagegjødsel og frø som er tilrådd per m².

Hytte og anneks, veggar målt på kart:

• lengde veggar "hovuddel": 2,6 cm, 1,0 cm

• lengde veggar "inngang": 0,9 cm, 0,3cm

• lengde veggar "anneks": 1,0 cm, 0,6 cm

Areal hytte og anneks:

$$ \begin{array}{rcl}\left(2,6·6,8·1,0·6,8\right) {\mathrm{m}}^2 & =& 120,2 {\mathrm{m}}^2\\ & & \\ \left(0,3·6,8·0,9·6,8\right) {\mathrm{m}}^2 & =& 12,5 {\mathrm{m}}^2\\ & & \\ \left(0,6·6,8·1,0·6,8\right) {\mathrm{m}}^2 & =& 27,7 {\mathrm{m}}^2\\ & & \\ Totalt areal & =& 160,4 {\mathrm{m}}^2\end{array}$$

Anslag for tomtearealet, ut frå at det har tilnærma form som eit trapes:

$$ \frac{(5,3·6,8 \mathrm{m}+4,8·6,8 \mathrm{m})·4,4·6,8 \mathrm{m}}{2} =1027 {\mathrm{m}}^2$$

Areal som skal ha plen: $$ 1027 {\mathrm{m}}^2-160 {\mathrm{m}}^2=867 {\mathrm{m}}^2$$

På nettsidene til Felleskjøpet finn vi dei følgjande tilrådingane:

• 5–10 kg hagegjødsel per 100 m²

• 1,2–1,5 kg frø per 100 m²

Vi bestemmer oss for å bruke den største tilrådde mengda av både hagegjødsel og frø.

Eigaren treng $$ 8,67·10 \mathrm{kg} = 86,70 \mathrm{kg}$$  hagegjødsel og  $$ 1,5 \mathrm{kg} ·8,67=13 \mathrm{kg}$$  frø.

Plenfrø blir selt i pakkar med 5 kg eller 25 kg. Eigaren kan gå litt ned i mengde, sidan utrekningane er gjorde ut frå den største tilrådde mengda, og kjøpe 2 pakkar frø à 5 kg, det vil seie 10 kg frø. Alternativt kan eigaren kjøpe 3 pakkar frø à 5 kg, det vil seie 15 kg frø, og dermed få meir frø enn tilrådd.

Storleiken på TV-skjermar blir gitt ut frå kor lang diagonalen til skjermen er. Dette målet blir ofte gitt i tommar. 1 tomme er 2,54 cm.

Forholdet mellom breidde og høgde på ein TV-skjerm varierer, i 2021 er 16:9 det mest vanlege. I tillegg til sjølve skjermen er det ei ramme på 1–4 cm.

Bjarne har eigentleg plass til ein TV som er opp til 130 cm i breidda. Dersom vi set av 4 cm til ramme på kvar side, vil sjølve skjermen maksimalt kunne vere 122 cm.

Vi finn først kor stor høgde ein skjerm med breidde lik 122 cm vil ha. Deretter bruker vi pytagorassetninga for å berekne diagonalen, og til slutt bereknar vi kor mange tommar diagonalen er.

Bjarne kan velje ein TV som har ein skjerm som er maksimalt 55 tommar, men dersom ramma er breiare enn 4 cm på kvar side, må han velje ein skjerm som er mindre enn 55 tommar.

a) Programmet bereknar talet på tommar til ein TV-skjerm ut frå breidda. Det er programmert i Python.

1import math
2
3b=float(input("Gi den ønskte breidda på skjermen: "))
4h=(9/16)*b
5diagonal=math.sqrt(b*b+h*h)
6tommar=diagonal/2.54
7
8print(f"Denne skjermen er {tommar:.2f} tommar.")

b) Vi utvidar programmet frå oppgåve a).

1import math
2
3b=float(input("Gi den ønskte breidda på skjermen: "))
4print("Gi forholdet mellom breidde og høgde på skjermen: ")
5breidde=int(input("breidde:"))
6hogde=int(input("hogde:"))
7
8h=(hogde/breidde)*b
9    
10diagonal=math.sqrt(b*b+h*h)
11tommar=diagonal/2.54
12
13print(f"Denne skjermen er {tommar:.2f} tommar.")

a)

Tabellen viser at ein vinkel på $$ 30°$$ gir  $$ k=0,577.$$

$$ H=\left(10 \mathrm{m}·0,577\right)+1,65=7,42 \mathrm{m}$$

Flaggstonga til Andreas er 7,42 meter.

b)

Vi lagar programmet i Python.

1l=float(input("Gi avstand til objektet: "))
2a=float(input("Gi avstand frå auget til bakken: "))
3k=float(input("Gi k-verdi henta frå tabell: "))
4
5h=l*k+a
6print(f"Høgda til objektet er {h:.2f} meter.")

a)

Vi ser på éin av trekantane og bruker pytagorassetninga.

$$ 5^2+h^2={17}^2$$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Høgda i trekantane er cirka 16,2 cm. Overflata blir arealet av dei fire trekantane pluss kvadratet i midten.

Overflata av pyramidekortet er cirka 425 cm².

b)

Når kortet blir bretta til ein pyramide, vil høgda i trekantane bli hypotenus i ein rettvinkla trekant som har ein katet lik 5 cm og ein katet lik indre høgde i pyramiden.

Pyramidekortet er cirka 15 cm høgt.

c)

Den delen av pyramiden som er over hòlet, er ein liten pyramide som er formlik med heile pyramiden. Det betyr at den vesle pyramiden har ein tilsvarande rettvinkla trekant som beskriven i oppgåve b), der indre høgde er den eine kateten, mens breidda til halve hòlet er den andre kateten. Mellom desse to trekantane vil det òg vere formlikskap.

Indre høgde i den store pyramiden er berekna til 15,5 cm. Indre høgde i den vesle pyramiden vil vere 10 cm mindre, det vil seie 5,5 cm.

Vi bruker forholdsrekning for å finne sidekantane i hòlet:

$$ \frac{halv sidekant vesle pyramide}{halv sidekant heile pyramide} = \frac{indre høgde vesle pyramide}{indre høgde heile pyramide}$$

Hòlet i ramma må ha sider som er 3,5 cm.

a)

Grunnflata består av to halve sirklar og eit rektangel.

Volumet av boksen er 225 cm², som svarer til 0,23 liter.

b)

Overflata av boksen består av grunnflate (botn), topp og sideflate. Topp og botn har like store areal, mens arealet til sideflata er omkrinsen multiplisert med høgda.

Omkrinsen er omkrinsen av halvsirklane på endane pluss dei to kortaste sidene i rektangelet.

Overflata av boksen er 296 cm².

a)

Kvar av sidene av lampeskjermen har form som eit trapes.

$$ \begin{array}{l}Høgde=\sqrt{{\left(13 \mathrm{cm}\right)}^2-{\left(5 \mathrm{cm}\right)}^2}=3,5 \mathrm{cm}\\ \\ Areal=\frac{\left(10 \mathrm{cm}+20 \mathrm{cm}\right)·3,5 \mathrm{cm}}{2}=52,5 {\mathrm{cm}}^2\end{array}$$

Arealet av éi side av lampeskjermen er 52,5 cm².

b)

10 prosent ekstra stoff gir ein vekstfaktor på 1,10.

$$ \begin{array}{c}\mathrm{Mengde} \mathrm{stoff}=\left(4·52,5 {\mathrm{cm}}^2\right)·1,10=231 {\mathrm{cm}}^2\end{array}$$

Det går med 231 cm² stoff til ein lampeskjerm når ekstra stoff til overlapp og kantar er berekna med.

a)

Vi bereknar volumet av kaka ut frå formelen for volum av ein sylinder, der radius i grunnflata er 13 cm og høgda er 8 cm.

Volumet av kaka er 4,25 liter.

b)

Formel for diameter til marsipanlokk for ei kake med diameter, $$ d$$, og høgde, $$ h$$, blir  $$ d+2·h+7 \mathrm{cm}.$$

Arealet av marsipanlokket er 1 886 cm².

c)

Vi bereknar først overflata av kaka, ut frå at ho har form som ein sylinder utan botn.

Forholdet mellom arealet av marsipanlokket og overflatearealet av kaka er tilnærma lik 1,6 cm².