Oppgåve

Koordinatsystemet

Øv på å bruke koordinatsystem her. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgave 1

Marker punkta $(1, 1), (- 1, - 2), (2, - 3), (3, 0)$ og $(0, - 2)$ i eit koordinatsystem på papiret og i GeoGebra.

Løysing

For å få til dømes punktet $(- 1, - 2)$ i eit koordinatsystem i GeoGebra skriv du (-1,-2) inn i algebrafeltet og trykker enter.

Fem punkt i eit koordinatsystem. Koordinatane til punkta er skrivne inn. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Oppgave 2

Nedanfor er det teikna 9 punkt inn i eit koordinatsystem.

Ni punkt A, B, C, D, E, F, G, H og I er teikna i eit koordinatsystem. Illustrasjon.

Skriv opp koordinatane for punkta $A, B, C, D, E, F, G, H$ og $I$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} A (- 4, 3), B (- 1, 4), \\ C (0, 2), D (- 4, - 1), \\ E (- 1, 0), F (3, - 1), \\ G (0, - 4), H (4, 4), \\ I (4, 0) \end{array}$

Oppgave 3

a) Teikn fire punkt $A, B, C$ og $D$ i eit koordinatsystem slik at arealet av rektangelet $A B C D$ blir 16. Skriv ned koordinatane til punkta.

Løysing

Eit kvadrat og eit rektangel er teikna i eit koordinatsystem. Hjørna i kvadratet har koordinatane 1 og 5, koordinatane 5 og 5, koordinatane 1 og 1 og koordinatane 5 og 1. Hjørna i rektangelet har koordinatane 7 og 4, koordinatane 15 og 4, koordinatane 7 og 2 og koordinatane 15 og 2. Illustrasjon.

Her er det mange moglegheiter. Det eine dømet er eit kvadrat med sidelengder 4. (Hugs at eit kvadrat òg er eit rektangel fordi det oppfyller krava til å vere eit rektangel.)

Arealet av kvadratet blir $4 \cdot 4 = 16$ .

Det andre dømet viser eit rektangel med sidelengder 8 og 2.

Arealet blir $8 \cdot 2 = 16$ .

b) Teikn tre punkt $A, B$ og $C$ i eit koordinatsystem slik at arealet av trekant $A B C$ blir 12. Skriv ned koordinatane til punkta.

Løysing

Ein trekant er teikna i eit koordinatsystem. Hjørna i trekanten har koordinatane 1 og 1, koordinatane 7 og 1 og koordinatane 7 og 5. Illustrasjon.

Dømet viser ein rettvinkla trekant med grunnlinje 6 og høgde 4. Arealet vil då bli $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ . Vi kan godt endre $x$ -koordinaten til punktet med koordinatar $(7, 5)$ utan at arealet blir endra (kvifor?).

Ein trekant der hjørna har koordinatane $(1, 1), (1, 13)$ og til dømes $(1, 3)$ , vil òg ha areal lik 12.

Oppgave 4

Du og familien din er på ferie og vil leige ein bil. De må betale ein fastpris på 650 kroner. I tillegg må de betale 6,20 kroner per kilometer de køyrer.

a) Rekn ut kostnadene for 5 turar med ulik lengde, til dømes ein tur på 50 km, på 100 km og så vidare. Set opp resultata i ein tabell.

Tips til oppgåva

For å rekne ut prisen for bilen må vi multiplisere køyrelengda med prisen per km og legge til fastprisen.

Løysing

Vi vel 5 køyrelengder, frå 50 km og opp til 250 km. Dersom køyrelengda er 50 km, blir prisen

$50 km \cdot 6, 20 kr / km + 650 kr = 960 kr$

Ved å gjere tilsvarande utrekningar får vi tabellen nedanfor.

Kostnader for leigebil
Køyrelengde (km)	Leigepris (kr)
50	960
100	1 270
150	1 580
200	1 890
250	2 200

b) Bruk resultata frå a) til å lage ei grafisk framstilling i eit koordinatsystem.

Tips til oppgåva

Du kan teikne punkta frå tabellen i eit koordinatsystem på papiret, men her er det nok enklast å bruke GeoGebra.

Løysing

Vi kallar køyrelengda for $x$ og leigeprisen $y$ . Vi skriv inn verdiane frå tabellen som punkt i algebrafeltet i GeoGebra. Etterpå bruker vi verktøyet "Linje" til å lage ei rett linje mellom punktet lengst til venstre og punktet lengst til høgre. Dersom du teiknar på papiret, legg du linjalen slik at han passar best mogleg med punkta, og teiknar linja.

Illustrasjon som viser kostnadene y i kroner for leigebilen som funksjon av køyrelengda x i kilometer. Punkta med koordinatane 50 og 960, 100 og 1270, 150 og 1580, 200 og 1890 og til slutt 250 og 2200 er teikna inn. Punkta ligg på den same rette linja. Illustrasjon. — Kostnader for leiebil i et koordinatsystem.

c) Bruk grafen og finn ut kor mykje det kostar å køyre 18 mil.

Løysing

Det kostar cirka 1 750 kroner å køyre 18 mil (180 kilometer).

d) Dersom du har eitt av faga 1P eller 2P-Y: Forklar kvifor køyrelengda og leigeprisen ikkje er proporsjonale storleikar. Kva er det som øydelegg for proporsjonaliteten?

Løysing

Grafen som viser samanhengen mellom køyrelengda og leigeprisen, er ei rett linje, men ho går ikkje gjennom origo. Då blir ikkje leigeprisen dobla om køyrelengda blir dobla, og dei to storleikane er ikkje proporsjonale.

Det er fastprisen på 650 kroner som øydelegg for proporsjonaliteten. Utan han ville det ha vore eit fast forhold på 6,20 kr/km mellom pris og køyrelengde.

Oppgave 5

Camilla hadde på 2000-talet eit mobilabonnement der ho betalte 99 kroner i fast pris per månad og 0,49 kroner per ringeminutt.

a) Fyll ut tabellen nedanfor.

Samtalekostnader
Samtaletid (min)	Samtalekostnader (kr)
50
100
150

Løysing

Samtalekostnader
Samtaletid (min)	Samtalekostnader (kr)
50	123,50
100	148,00
150	172,50

b) Bruk resultata frå a) til å lage ei grafisk framstilling i eit koordinatsystem.

Løysing

Koordinatsystem som viser samtalekostnadene y i kroner for bruk av telefonen som funksjon av samtaletida x i minutter. Punkta med koordinatene 50 og 123,5, 100 og 148 og 150 og 172,5 er teikna inn. Punkta ligg på den same rette linja. Illustrasjon.

c) Finn grafisk kor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Løysing

Vi les ut frå grafen at ho har ringt i cirka 125 minutt når kostnadene er 160 kroner.

d) Dersom du har eitt av faga 1P eller 2P-Y: Er samtaletida og samtalekostnadene proporsjonale storleikar?

Løysing

Grafen som viser samanhengen mellom samtaletida og samtalekostnadene, er ei rett linje, men ho går ikkje gjennom origo. Då blir ikkje samtalekostnadene dobla om samtaletida blir dobla, og dei to storleikane er ikkje proporsjonale.

Årsaka er den faste månadlege kostnaden på 99 kroner. Matematisk kan vi kalle dette eit konstantledd.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Filer

Koordinatsystemet(DOCX)
Koordinatsystemet(PDF)

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Nedlastbare filer

Filer

Reglar for bruk av teksten "Koordinatsystemet"