Hopp til innhald
Fagartikkel

Ulikskapar av tredje grad

Ulikskapar av tredje grad løyser vi på tilsvarande måte som ulikskapar av andre grad.

Døme

Vi skal løyse ulikskapen

-4x2<x-4-x3

Vi ordnar ulikskapen slik at vi får null på høgre side. Då kan vi faktorisere venstresida, og ulikskapen kan løysast ved å studere forteiknet til det faktoriserte uttrykket.

x3-4x2-x+4<0

Her har vi ikkje nokon informasjon som kan gje oss den første løysinga av likninga x3-4x2-x+4=0. Difor må vi prøve oss fram, og vi finn at uttrykket x3-4x2-x+4 blir null for x=1.

13-4·12-1+4=1-4-1+4=0

Det viser at x-1 er ein faktor i x3-4x2-x+4.

Vi utfører så polynomdivisjonen

x3-4x2-x+4):(x-1)=x2-3x-4 -(x3-x2)-3x2-x-(-3x2+3x)-4x+4-(-4x+4)0

Vi set x2-3x-4=0 og finn nullpunkta

x2-3x-4 = 0          x=--3±-32-4·1·-42·1          x=3±52          x1=4 ,  x2=-1

Vi har dermed nullpunkta x=-1, x=1 og x=4.

Det tyder at

x3-4x2-x+4=x+1x-1x-4

Ulikheten kan no skrivast slik

       x3-4x-x+4 < 0x+1x-1x-4<0

Vi tar no «stikkprøver» innanfor kvart intervall for å finne ut kva for eit forteikn uttrykket x+1x-1x-4 har i kvart av dei fire intervalla , -1, -1, 1, 1, 4 og 4, .

For x=-2 får vi

-2+1-2-1-2-4=-1·-3·-5

Uttrykket er negativt.

For x=0 får vi

0+10-10-4=+1·-1·-4

Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2+12-12-4=+3·+1·-2

Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5+15-15-4=+6·+4·+1

Uttrykket er positivt.

For å få ei oversikt over situasjonen set vi opp eit forteiknsskjema. Vår oppgåve var å finne ut for kva verdiar av x det var slik at -4x2<x-4-x3, det vil seie at x3-4x2-x+4<0. Løysinga på oppgåva blir då at x må være mindre enn −1 eller liggje mellom 1 og 4.

Løysinga er

x, -11, 4

I CAS i GeoGebra får vi

Løys-4x2<x-4-x31 x<-1, 1<x<4

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0