Fagartikkel

Eksponentiell vekst

Vekstfaktoren er viktig ved prosentvis endring i fleire periodar. Når noko aukar eller minkar med ein bestemd prosent over fleire periodar, er veksten eksponentiell. Vi skal sjå på to døme på eksponentiell vekst.

Døme på positiv eksponentiell vekst: banksparing

Eit beløp på 10 000 kroner står i banken til ei fast rente på 3 prosent per år i fleire år.

Kva blir vekstfaktoren ved ein slik prosentvis auke?

Vekstfaktor

Ei rente på 3 prosent betyr at beløpet får ein årleg auke på 3 prosent. Vekstfaktoren er då 1,03. Dette kan vi skrive opp utan å rekne, men for å vere på den sikre sida tek vi ei kontrollrekning:

$1 + \frac{3}{100} = 1 + 0, 03 = 1, 03$

Kor mykje veks beløpet til dersom det står eitt år i banken?

Beløpet etter eitt år i banken

Vi må multiplisere med vekstfaktoren. Svaret kan vi finne med til dømes CAS, men kanskje du klarer det utan hjelpemiddel?

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 = 10 300 kr \end{array}$

Beløpet veks til 10 300 kroner etter eitt år i banken.

Vi ønsker å finne ut kor mykje beløpet veks til dersom det står 8 år i banken.

Vi såg over at for å finne beløpet når pengane har stått i eitt år, måtte vi multiplisere med vekstfaktoren:

$10 000 kr \cdot 1, 03$

For kvart år beløpet står, aukar det med 3 prosent, noko som betyr at for kvart år må vi multiplisere med ein ny vekstfaktor på 1,03. Etter 8 år er beløpet

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \\ = 10 000 kr \cdot 1, 03^{8} = 12 668 kr \end{array}$

I andre linje har vi skrive reknestykket enklare ved å skrive dei 8 vekstfaktorane som potensen $1, 03^{8}$ , 1,03 opphøgd i 8. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra til utrekninga, ser det slik ut:

CAS-utrekning i GeoGebra, ei linje. Det står 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i 8. Svaret med tilnærming er 12667,7. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

For å få denne utrekninga skriv vi 10000*1.03^8 og trykker på knappen $\approx_{}^{}$ .

Kor mykje vil 10 000 kroner ha vakse til etter å ha stått $x$ år i banken?

Beløpet etter x år i banken

Dette blir nesten det same uttrykket som vi fekk over. 10 000 kroner vil etter $x$ år i banken ha vakse til kroner

$10 000 \cdot 1, 03^{x}$

Nedanfor har vi skrive inn denne formelen i algebrafeltet i GeoGebra, og vi får då teikna ein graf som viser utviklinga på pengebeløpet.

Ei grafisk framstilling av pengane på ein bankkonto med 3 prosent rente som funksjon av tida målt i år. Grafen er teikna for x-verdiar mellom 0 og 26, og han stig meir og meir. Illustrasjon. — Eksponentiell vekst ved banksparing. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I hovudemnet "Funksjonar og modellering" kan du lære meir om eksponentiell vekst og eksponentialfunksjonar.

Vi seier at beløpet veks eksponentielt når det endrar seg prosentvis over fleire periodar (her: år). Vi ser at grafen krummar oppover eller blir brattare etter kvart som tida går. Det er dette som er karakteristisk ved positiv eksponentiell vekst. Jo større den prosentvise veksten er, jo raskare blir grafen bratt.

Finn ut ved hjelp av grafen kor lang tid det tek før 10 000 kroner har vakse til 20 000 kroner med denne banksparinga.

Vekst av 10 000 kroner til 20 000 kroner

Vi ser at grafen kryssar den vassrette linja gjennom 20 000 på $y$ -aksen omtrent når $x = 23, 5$ . Det tek derfor 23 og eit halvt år før 10 000 kroner doblar seg.

Finn svaret på oppgåva over ved å setje opp ei likning. Løys likninga med CAS.

Løysing av oppgåva med likning

Vi har at etter $x$ år har beløpet vakse til $10 000 \cdot 1, 03^{x}$ . Dette gir oss likninga

$10 000 \cdot 1, 03^{x} = 20 000$

Ei slik likning blir kalla for ei eksponentiallikning fordi den ukjende er i eksponenten til ein potens. Likninga løyser vi med CAS.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i x er lik 200000. Svaret med "N Løys" er x er lik 101,35. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her har vi brukt knappen $x_{}^{} \approx$ i staden for $x_{}^{} =$ for å få løysinga som eit desimaltal. Vi får det same svaret som ved direkte avlesing av grafen.

Døme på negativ eksponentiell vekst: verdi på bil

Bruktbilar med plakat med prisen i frontrutene. Foto. — Kor mange år vil det gå før verdien på bilen er halvert? Bilete: Magne Johansen / CC BY-NC-SA 4.0

I januar 2022 kjøpte Kari ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 prosent kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.

Kva blir vekstfaktoren?

Vekstfaktor

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{10}{100} = 0, 90$ .

Kva er verdien på bilen om 3 år?

Verdien på bilen om 3 år

Her gjer vi tilsvarande som i dømet med banksparing og multipliserer med vekstfaktoren opphøgd i talet på gonger verdien skal endrast, det vil seie opphøgd i tredje.

Verdien på bilen om 3 år er

$200 000 kr \cdot 0, 90^{3} = 145 800 kr$

Skriv opp eit uttrykk for verdien på bilen $x$ år etter at Kari kjøpte han.

Verdien på bilen om x år

Verdien av bilen $x$ år etter at Kari kjøpte han er

$200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Grafisk framstilling som viser korleis verdien på bilen fell etter kvart som tida går. Grafen som viser verdien, er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 8. Illustrasjon. — Verdi på bil x talet på år etter 2022. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

På biletet har vi laga ei grafisk framstilling av verdien på bilen etter kvart som tida går, ved å skrive uttrykket for verdien på bilen inn i algebrafeltet i GeoGebra. Vi ser at verditapet på bilen blir mindre og mindre etter kvart som tida går. Slik er det med negativ eksponentiell vekst.

Kvifor har vi teikna grafen for negative $x$ -verdiar ned til $- 4$ ?

Forklaring

Bilen har hatt det same verdifallet heilt frå han var ny, ikkje berre frå og med når Kari kjøpte han. Ut frå opplysningane i oppgåveteksten var bilen ny i 2018. Negative $x$ -verdiar betyr derfor år før 2018. Til dømes betyr $x = - 2$ året 2020.

Vi ønsker å finne ut kva bilen kosta då han var ny. Vi skal gjere det på to måtar, grafisk og ved rekning.

Nybilprisen grafisk

Bruk grafen over til å finne ut kva bilen kosta då han var ny.

Avlesing på grafen

Vi les av verdien til grafen når $x = - 4$ ved å gå loddrett oppover frå denne verdien på $x$ -aksen, og får at nybilprisen var cirka 305 000 kroner.

Nybilprisen ved å setje opp ei likning

Vi startar med å setje den ukjende nybilprisen lik $x$ . Vi veit at Kari kjøpte bilen 4 år etter at han var ny. Det betyr at bilen har sokke i verdi med 10 prosent 4 gonger til verdien 200 000 kroner. Matematisk betyr det at vi multipliserer nybilprisen med vekstfaktoren 4 gonger og får 200 000.

$\begin{array}{rcl} x \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 & = & 200 000 \\ x \cdot 0, 90^{4} & = & 200 000 \end{array}$

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står x multiplisert med 0,9 opphøgd i 4 er lik 200000. Svaret med "N Løys" er x er lik 304831,58. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi løyser denne med CAS.

Nybilprisen ved direkte rekning

Vi kan òg finne nybilprisen utan å løyse ei likning. For å forklare tankegangen startar vi smått og fint med å rekne ut kva verdien på bilen var eitt år før Kari kjøpte han. Vi har frå sida om vekstfaktor at når vi skal finne den opphavlege (gamle) verdien til noko som har endra seg med ein viss prosent, deler vi den nye verdien på vekstfaktoren.

Kva var verdien på bilen i 2021? Finn svaret ved å rekne med vekstfaktoren.

Verdien på bilen i 2021

Den nye verdien på bilen er verdien i 2022, 200 000 kroner. Verdien i 2021 er den opphavlege verdien i forhold til verdien i 2022.

$\frac{200 000 kr}{0, 90} = 222 222 kr$

Verdien på bilen i 2021 var 222 222 kroner (dersom vi tek med alle heile kroner).

Vi kan halde fram med å regne oss bakover i tid år for år. For kvart år må vi dele verdien på vekstfaktoren. Bilen var ny 4 år før 2022 då verdien var 200 000 kroner. Verdien på bilen då han var ny, blir derfor

$\frac{200 000 kr}{0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90 \cdot 0, 90} = \frac{200 000 kr}{0, 90^{4}} = 304 832 kr$

Som i det første dømet på denne sida har vi slått saman vekstfaktorane til ein potens for å forenkle reknestykket.

Samanlikn gjerne denne utrekninga med likninga i den førre utrekninga. Er det stor skilnad?

Nybilprisen ved rekning: alternativ utrekning

Vi har frå over at verdien på bilen etter $x$ år er $200 000 \cdot 0, 90^{x}$ .

I den grafiske framstillinga har vi teke med negative $x$ -verdiar for å inkludere dei 4 første åra etter at bilen var ny. Vi har til dømes at $x = - 4$ svarer til året 2018 då bilen var heilt ny.

Prøv å forklare kvifor uttrykket for verdien på bilen gjeld òg for negative $x$ -verdiar.

Forklaring

For å lage den grafiske framstillinga over skreiv vi inn uttrykket for verdien på bilen i GeoGebra, og vi fekk ein graf òg for negative $x$ -verdiar. Grafen må vere rett for vi fekk den same nybilprisen både grafisk og ved rekning. Derfor gjeld uttrykket òg for negative $x$ -verdiar.

Kontroller at det går greitt å setje inn negative verdiar for $x$ i uttrykket.

Kontroll

Vi bruker CAS til å sjekke dette.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i minus 4. Svaret med tilnærming er 304831,58. Skjermutklipp. — Utrekning av nybilprisen med CAS. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Utrekninga går greitt. Vi får den same nybilprisen.

Dersom du skal lære meir om potensrekning, vil du lære at å dele på $0, 9^{4}$ er det same som å multiplisere med $0, 9^{- 4}$ .

Når var verdien av bilen 250 000 kroner?

Løys oppgåva både ved å lese av på grafen over og ved å setje opp ei likning.

Avlesing og løysing av likning

Vi ser at grafen kryssar den vassrette linja gjennom 250 000 på $y$ -aksen omtrent når $x = - 2, 1$ , som betyr rett før bilen er 2 år gammal, eller på slutten av år 2019, om vi vil.

Vi har at etter $x$ år er verdien på bilen gitt ved uttrykket $200 000 \cdot 0, 90^{x}$ . For å finne ut kor mange år det går før verdien av bilen er 250 000 kroner, må vi setje uttrykket lik 250 000. Dette gir eksponentiallikninga nedanfor, som vi løyser med CAS i GeoGebra.

$200 000 \cdot 0, 90^{x} = 250 000$

CAS-vinduauget i GeoGebra, ei linje. Det står 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i x er lik 250000. Svaret med "N Løs" er x er lik minus 2,12. Skjermutklipp. — Løysing av eksponentiallikning med CAS i GeoGebra. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

CAS i GeoGebra gir det same svaret.

Film om eksponentiell vekst

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-NC-SA 4.0