Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte

Monotonieigenskapane til ein funksjon fortel kor grafen til funksjonen stig og kor han søkk.

Å analysere og tolke ein funksjon betyr gjerne at vi undersøkjer monotonieigenskapar og bestemmer topp- og botnpunkt på grafen. Vidare kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkt, krummingsforhold og vendepunkt (meir om dette på ei anna fagstoffside).

Døme 1

Finn monotonieigenskapane til funksjonen $$ f$$ ut ifrå grafen til funksjonen nedanfor.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Løysing

Vi observerer at grafen har toppunktet $$ \left(2, 1\right)$$. Grafen til funksjonen stig når  $$ x<2$$  og søkk når  $$ x>2$$. Monotonieigenskapane til funksjonen er derfor at

• funksjonen veks for  $$ x<2$$
• funksjonen minkar for  $$ x>2$$

Utforsking

Teikn grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}x+1$$

Teikn deretter tangentar til grafen for nokre $x$-verdiar mellom $-2$ og $3$.

Undersøk om det er ein samanheng mellom stigingstalet til tangentane og om grafen stig, søkk eller har topp- og botnpunkt.

Nedanfor kan du dra i det raude punktet på grafen og sjå korleis stigingstalet $$ a$$ til tangenten endrar seg.

Du vil oppdage at

• stigingstalet til tangenten er positivt når grafen stig
• stigingstalet til tangenten er negativt når grafen søkk
• stigingstalet til tangenten er 0 i topp- og botnpunkt

Dette betyr at vi kan finne ut for kva verdiar av $x$ grafen til ein funksjon stig, for kva verdiar av $x$ han søkk, og når han har topp- eller botnpunkt, ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Forteiknslinjer kan hjelpe oss med dette.

Vi kan beskrive eigenskapane til ein funksjon ved å teikne forteiknslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.

Døme 2

Teikn forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i døme 1 over.

Løysing

Forteiknslinja til funksjonen blir bestemd av om grafen ligg over eller under $$ x$$-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkt for  $$ x=1$$  og  $$ x=3$$. Det betyr at

• $$ f\left(x\right)>0$$  når  $$ 1<x<3$$
• $$ f\left(x\right)<0$$  når  $$ x<1$$  og når  $$ x>3$$
• $$ f\left(x\right)=0$$  når  $$ x=1$$  og når  $$ x=3$$

Vi fann monotonieigenskapane til funksjonen i døme 1. Det betyr at

• $$ f^{\text{'}}\left(x\right)>0$$  når  $$ x<2$$
• $$ f^{\text{'}}\left(x\right)<0$$  når  $$ x>2$$
• $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$  når  $$ x=2$$

Denne informasjonen kan vi samanfatte i eit felles forteiknsskjema for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Nedanfor har vi vist korleis vi kan teikne forteiknsskjemaet inn i koordinatsystemet saman med grafen.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal