Hopp til innhald

Oppgåve

Lineær regresjon

LK20

3.2.80

Tabellen nedanfor viser folkemengda i Noreg for nokre utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

År

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Folkemengde

3 249 954

3 567 707

3 863 221

4 078 900

4 233 116

4 478 497

a) Plott punkta i et koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon f som beskriv samanhengen mellom år og folkemengde ved å bruke eit digitalt verktøy. La x vere talet på år etter 1950 og fx folkemengda i millioner.

vis fasit

Eg valde «Rekneark». La punkta frå tabellen nedanfor inn i kolonne A og B.

x

0

10

20

30

40

50

f(x)

3,2

3,6

3,9

4,1

4,2

4,5

Merkte området A1:B6. Eg valde så «Regresjonsanalyse» og «Analyser».

Som regresjonsmodell valde eg «Lineær»

Lineær regresjon i GeoGebra. Skjermbilde.

Funksjonen f kan beskrivast med uttrykket fx=0,024x+3,315

Eg valde «Kopier til grafikkfeltet»

Graf over folketall. Bilde.

b) Kor mye aukar folkemengda med per år ut fra uttrykket du fann a)?

vis fasit

Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstalet er 0,024. Auken i folkemengd per år er 0,024 millioner altså 24 000 individ.

c) Dersom denne utviklinga held fram, kva vil folkemengda i Norge vere i år 2050?

vis fasit

Variabelen x er talet år etter 1950. Vi set da x lik 100 i funksjonen vi fann ovanfor og finn folkemengda i Noreg i år 2050.

f100=0,024·100+3,315=5,715

Folkemengda i Noreg vil vere 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.

3.2.81

Tabellen nedanfor viser utslepp av svoveldioksid til luft i Noreg for nokre utvalte år fra 1973 til 2000.

År

1973

1980

1987

1992

1996

2000

Utslipp til luft
i 1000 tonn

156,4

136,4

73,1

37,0

33,1

27,3

a) Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for en funksjon S som beskriv samanhengen mellom år og utslepp.

La x være talet på år etter 1973 og Sx utsleppet av svoveldioksid i tusen tonn.

vis fasit
Lineær regresjon. Illustrasjon.

Eg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen S kan beskrivast med uttrykket Sx=-5,39x+158

b) Når var utsleppet av svoveldioksid 100 tusen tonn?

vis fasit

Eg finn skjeringspunktet mellom linja y=100 og grafen til funksjonen S ved kommandoen «Skjering mellom to objekt». Utsleppet av SO2 er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984.

c) Kva vil utsleppet vere i år 2010 dersom vi følgjer denne modellen? Kommenter svaret.

vis fasit

Utslepp i år 2010:

S av 37 er lik minus 41 komma 43. CASutklipp.

Utsleppet kan ikkje vere negativt. Modellen ovanfor kan ikkje brukast til å vurdere utslepp i lang tid framover. Når vi ser på punkta og grafen ovanfor, ser vi at modellen passar bra fram til 1996. Etter det blir ikkje utsleppa lenge r så mye mindre for kvart år. Ein lineær modell passar dårleg etter 1996.

3.2.82

Årstal

1998

2000

2002

2004

2006

2008

Prisindeks for frukt, F

100

105

103

106

110

107

Prisindeks for tobakk, T

100

118

124

154

162

175

Prisindeks for sko etc. S

100

104

99

88

83

84

Tabellen viser utviklinga i prisindeksen på frukt, tobakk og sko.

  1. Plott punkta i tabellen i eit koordinatsystem, og bruk regresjon i eit digitalt hjelpemiddel til å finne ein lineær samanheng som viser prisutviklinga for kvar av varene i tabellen ovanfor.La x vere talet på år fra 1998, F(x) prisutviklinga på frukt, T(x) prisutviklinga for tobakk og S(x) prisutviklingen for sko og anna fottøy.
    vis fasit

    Frukt: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket F(x)=0,8x+101.

    Tobakk: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket T(x)=7,7x+100.

    Sko og anna fottøy: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket S(x)=-2,2x+104.

    Graf som viser prisindeks Graf.
  2. Bruk modellane du fann i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og anna fottøy i 2005.
    vis fasit

    Prisindeks i 2005 for frukt er 0,8·8+101=107,4

    Prisindeks i 2005 for tobakk er 7,7·8+100=161,6

    Prisindeks i 2005 for sko og anna fottøy er -2,2·8+104=86,4

  3. Korleis synes du modellane dine stemmer med punkta?
    vis fasit

    Modellane stemmer ganske bra med dei observerte verdiane.

3.2.83

Tabellen viser prisutviklinga for varegruppa klede i perioden 1997 til 2004.

År

1997

1998

1999

2000

2001

2003

2005

2008

Prisindeks

102,5

100

99,0

93,5

93,2

77,1

68,1

58,5

  1. Bruk tabellen og eit digitalt hjelpemiddel til å finne ein lineær samanheng mellom årstala og prisutviklinga på klede.
    La xvere talet på år frå1990 og P(x) prisutviklinga på klede.
    vis fasit

    Eg bruker GeoGebra og finn den lineære modellen

    P(x)=-4,3x+136

  2. Kva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen?
    vis fasit

    Prisindeks i 2007 er P(17)=-4,3·17+135,9=62,8

    Prisindeks i 1990 er P(0)=-4,3·0+135,9=135,9

  3. Tabellen ovanfor er henta frå Statistisk sentralbyrå (SSB). Etter SSB var prisindeksen for varegruppa klede i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Korleis stemmer denne indeksen med indeksen du fekk ved å bruke modellen?
    vis fasit

    Modellen byggjer på dei observerte verdiane i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen ein prisindeks på 62,8, medan han verkeleg var 61,6. Vi kan dermed seie at modellen treffer svært bra når det gjeld 2007.

    I perioden frå 1997 til 2008 fall prisen på klede. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klede fall frå 1990 og framover. Prisindeksen på 133,3 vil vere den høgaste i heile perioden 1990 – 2008.

    Når den verkelege prisindeksen i 1990 var på 99,5, så tyder det at vår modell treffer dårleg. Prisutviklinga på klede følgjer ikkje modellen vår i perioden 1990 til 1997. Frå 1990 fram til 1997 har det faktisk vore ein auke i prisindeksen.

Sist oppdatert 02.03.2020
Skrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressursar

Lineære funksjonar