Fagstoff

Pytagorassetninga

Vi bruker pytagorassetninga til å finne ukjende sider i rettvinkla trekantar.

Video: Mintra AS / NDLA

Rettvinkla trekant med side a er lik 3, side b er lik 4 og side c, som er hypotenusen, lik 5. Illustrasjon.

Teikn ein trekant som er rettvinkla, og der dei kortaste sidene er 3 og 4 einingar lange. Figuren viser ein slik trekant som er teikna i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne 5 einingar lang?

Ta no alle dei tre sidelengdene og multipliser dei med seg sjølve. Du får då kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengda $a$ er $a^{2} = 5^{2} = 25$ .

Kvadratet av sidelengda $b$ er $b^{2} = 3^{2} = 9$ .

Kvadratet av sidelengda $c$ er $c^{2} = 4^{2} = 16$ .

Jamfør summen av kvadrata av dei to kortaste sidene med kvadratet av den lengste sida. Kva ser du?

Vi ser at $25 = 9 + 16$ . Det er det same som $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Det viser seg at denne samanhengen gjeld for alle trekantar som har ein vinkel på 90°.

Rettvinkla trekant med sider som også er sider i tre kvadrat. Kvadratet med side a har areal a opphøgd i a i andre er lik 3 i opphøgd i andre er lik 9. Kvadratet med side b har areal b opphøgd i andre er lik 4 opphøgd i andre er lik 16. Kvadratet med side c har areal c opphøgd i andre er lik 5 opphøgd i andre er lik 25. Illustrasjon.

For å kunne formulere denne samanhengen med ord gir vi namn på sidene i rettvinkla trekantar.

Den lengste sida i ein rettvinkla trekant kallar vi hypotenus. Dei to kortaste sidene kallar vi katetar.

Pytagorassetninga:

hypotenus² = katet² + katet²

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Rettvinkla trekant med sidene a, b og c der a og b er katetar og c er hypotenusen. Illustrasjon.

Legg merke til namnsetjinga. Vi bruker store bokstavar som namn på punkt eller hjørne i trekanten. Små bokstavar blir brukte som namn og måltal for sidelengdene. Det er vanleg at vi har same bokstav på hjørne og sider som står motsett kvarandre.

Geometrisk bevis for pytagorassetninga

Kvitt kvadrat med eit mindre grått kvadrat inni. Det grå kvadratet er plassert på ein slik måte at sidene i kvadratet alle er hypotenusar i rettvinkla, kvite trekantar. Illustrasjon.

Lag eit kvadrat med sidelengder $a + b$ slik som figuren viser. Du kan til dømes klippe ut av eit stivt papir, eller du kan teikne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to delar $a$ og $b$ , trekk linjer (klipp ut) som figuren viser, og få på denne måten 4 like rettvinkla trekantar. Hypotenusen i trekantane kallar du $c$ .

Kvadrat delt inn i eit lite grått kvadrat, eit større grått kvadrat og to kvite rektangel som begge består av to rettvinkla trekantar. Illustrasjon.

Det grå arealet er eit kvadrat (kvifor?) med sidelengde c og areal c².

Flytt på trekantane inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lagar du ei ny teikning. Bruk rutenett.)

Arealet i dei to store kvadrata er like store da sidelengdene er lik $a + b$ .

Det samla arealet av dei 4 rettvinkla trekantane er like stort i begge figurane.

Det må bety at det grå arealet i dei to figurane er like stort, altså at $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Dette er nettopp pytagorassetninga for dei rettvinkla trekantane våre.

CC BY-NC-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 16.11.2018

Pytagorassetninga

Geometrisk bevis for pytagorassetninga

Reglar for bruk