Bruk av formlikskap for å rekne ut ukjende sider i trekantar

Trekantane $∆ABC$ og $\mathrm{\Delta }DEF$ er formlike. Rekn ut lengdene av dei ukjende sidene.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Her ser vi at sidene $AB$ og $DE$ er tilsvarande sider fordi begge er motståande sider til vinklane på $88,7°$. Sidene $AC$ og $DF$ ligg begge motsatt av vinklane som er $63,4°$ og er også tilsvarande. Det same er sidene $BC$ og $EF$.

Vi kan finne dei ukjende sidene ved å bruke målestokken.

Vi reknar ut målestokken når vi går frå $\mathrm{\Delta }DEF$ til $\mathrm{\Delta }ABC$ . Målestokken er

$\frac{AB}{DE}=\frac{9}{6}=1,5$

Det tyder at

$\mathrm{}$$AC=DF·1,5=5,4·1,5=8,1$.

Når vi går motsett veg, må vi dele med målestokken. Det tyder at

$EF=\frac{BC}{1,5}=\frac{4,2}{1,5}=2,8$

Eit tre står på ei horisontal slette. Vi skal finne ut kor høgt treet er utan å felle det.

Utstyr: Sol og metermål

Vi set ein pinne ned i bakken litt bortanfor treet og måler avstanden skyggen kastar ved pinnen og ved treet. Sjå figuren nedanfor.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Både pinnen og treet dannar ein vinkel på $90°$ med bakken, og solstrålane dannar same vinkel med bakken der pinnen står som der treet står. Vi får difor to formlike trekantar, og det går fram av figuren kva for sider som er tilsvarande.

Vi reknar ut målestokken når vi går frå den minste trekanten til den største trekanten

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Målestokken}& = & \frac{15 \mathrm{m}}{1,2 \mathrm{m}}=12,5\\ & & \\ \mathrm{Høgda} \mathrm{av} \mathrm{treet}& =& 1,0 \mathrm{m}·12,5= 12,5 \mathrm{m}\end{array}$

Legg merke til at vi òg kan finne den ukjende sida ved å bruke likning.

Vi set høgda av treet lik $x$, og sidan forholdet mellom tilsvarande sider er konstant, kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{1,0}& = & \frac{15}{1,2}\\ & & \\ x& =& 12,5·1,0\\ & & \\ x& =& 12,5\end{array}$

Treet er $12,5$ meter høgt.

Spørsmål

Løysingsmetoden vår set krav til terrenget der treet står. Kva for krav er det?

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

På figuren er $AB$ og $DE$ parallelle. Linjestykkene $AE$ og $BD$ skjer kvarandre i $C$ .

Oppgåve

Vis at $∆ACB$ og $∆EDC$ er formlike, og bruk dette til å rekne ut lengda av sida $BC$ .

Løysing

$\angle ACB=\angle DCE$ sidan desse er toppvinklar. Då er sidene $AB$ og $ED$ tilsvarande sider.

$\angle BAC=\angle CDE$ fordi venstre vinkelbein er felles og høgre vinkelbein er parallelle i dei to vinklane. (Samsvarande vinklar ved parallelle vinkelbein).

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Sidene $BC$ og $EC$ er då tilsvarande sider fordi dei er motståande sider til like store vinklar.

Vinklane i dei to trekantane er parvis like store, og trekantane er formlike.
Vi reknar ut målestokken når vi går frå den minste trekanten til den største.

$\mathrm{Målestokken}=\frac{150 \mathrm{cm}}{60 \mathrm{cm}}=2,5$

Då er

$BC=45 \mathrm{cm}·2,5=113 \mathrm{cm}$

Også her kan vi løyse oppgåva ved å setje opp og løyse ei likning sidan forholdet mellom tilsvarande sider er konstant. Det er lurt å alltid byrje med den ukjende sida.

$\begin{array}{rcl} \frac{BC}{EC}& = & \frac{AB}{DE}\\ & & \\ \frac{BC}{45 \mathrm{cm}}& =& \frac{150 \mathrm{cm}}{60 \mathrm{cm}}\\ & & \\ \frac{BC·\cancel{45 \mathrm{cm}}}{\cancel{45 \mathrm{cm}}}& =& \frac{150 \mathrm{cm}·45 \mathrm{cm}}{60 \mathrm{cm}}\\ & & \\ BC& =& 113 \mathrm{cm}\end{array}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: GeoGebra

Likninga kan vi også løyse med CAS i GeoGebra, sjå figuren.