Volum og overflate av kjegler og kuler

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Ludger Rose

Volumet av ei rett kjegle er $\frac{1}{3}$ av volumet av ein rett sylinder med same grunnflate og høgd.

$$ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{G·h}{3}\\ & & \\ & =& \frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}\end{array}$$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

For å finne overflata må vi tenkje oss kjegla klipt opp og bretta ut slik teikninga nedanfor viser.

Overflata består av ein sirkel, grunnflata, og ein sirkelsektor som er ein del av ein sirkel med radius $s$. Vi seier at $s$ er sidekanten i kjegla.

Bogen i sirkelsektoren er lik omkrinsen av grunnflata.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Forholdet mellom arealet av sirkelsektoren og stor sirkel er lik forholdet mellom bogelengda av sirkelsektoren og omkrinsen av stor sirkel.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)}{\mathrm{\pi }{s}^2}& =& \frac{2\mathrm{\pi }r}{2\mathrm{\pi }s}\\ & & \\ A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)& =& \frac{\mathrm{\pi }{s}^{\cancel{2}}\cancel{2\mathrm{\pi }}r}{\cancel{2\mathrm{\pi }} \cancel{s}} \\ & & \\ A\left(\mathrm{sirkelsektor}\right)& =& \mathrm{\pi }rs\end{array}$$

Eksempel

Rekn ut volum og overflate av ei kjegle der diameter i grunnflata $d=3,0 \mathrm{cm}$ og høgda $h=5,0 \mathrm{cm}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

$V=\frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}$

$V=12 {\mathrm{cm}}^3$

Når vi skal rekne ut overflata, må vi finne arealet av sirkelsektoren med radius $s$.

Vi finn sidekanten i kjegla, $s$ ved å bruke Pytagoras’ setning.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

$O=\mathrm{\pi }{r}^2+\mathrm{\pi }r·s$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

$O=32 {\mathrm{cm}}^2$

Vi kan finne volum og overflate a ei kule ved å bruke formlane nedanfor.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Volum og overflate av ei kule

$V=\frac{4\mathrm{\pi }{r}^3}{3}$ og $O=4\mathrm{\pi }{r}^2$

Eksempel

Rekn ut volumet og overflata av ei kule med radius $r=5,0 \mathrm{cm}$.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

$V=530 {\mathrm{cm}}^3$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

$O=310 {\mathrm{cm}}^2$