Fullstendig kvadrat
Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.
Til dømes er uttrykket eit fullstendig kvadrat fordi
Korleis kan vi sjå om eit andregradsuttrykk er eit fullstendig kvadrat?
Vi bruker uttrykket som eksempel.
Kan uttrykket skrivast som eller ?
- Første føresetnad er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt forteikn. Det stemmer her, og vi finn at og .
- Vidare må «det dobbelte produktet», det vil seie , vere lik. Vi sjekkar: . Det stemmer.
- Førstegradsleddet er negativt. Det betyr at vi kan bruke andre kvadratsetning.
Då er , og vi har eit fullstendig kvadrat.
Oppgåve
Undersøk om og er fullstendige kvadrat.
Å faktorisere ved å lage fullstendige kvadrat
Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetninga.
Vi skal sjå på to eksempel der vi bruker denne metoden.
Vi må lage uttrykk på forma eller .
Eksempel 1
Vi skal faktorisere andregradsuttrykket .
- Andregradsleddet er eit kvadratuttrykk, . Det gir .
- Konstantleddet, , er ikkje eit kvadrattal med positivt forteikn.
Vi legg til og trekkjer frå kvadrattalet til uttrykket og får
Dette gjer vi for å lage eit fullstendig kvadrat av de tre første ledda. - Vi må ha . Vi kan då finne :
- Vi får då
Vi har no faktorisert andregradsuttrykket og fått
Eksempel 2
Vi skal faktorisere andregradsuttrykket .
Vi må lage uttrykk på forma eller .
- Her er ikkje andregradsleddet eit kvadratuttrykk, men når vi set faktoren utanfor ein parentes, får vi eit uttrykk der andregradsleddet er eit kvadratuttrykk:
- Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er . Det gir
- Konstantleddet, , er ikkje eit kvadrattal med positivt forteikn.
Vi legg til og trekkjer frå kvadrattalet til uttrykket og får Vi må ha . Vi kan då finne :
- Vi får då
Vi har no faktorisert andregradsuttrykket og fått