Oppgåver og aktivitetar

Volum og overflate

Dei fire første oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel.

2.6.1

Fyll ut tabellen

m³	dm³	cm³	mm³
0,002	2	2 000	2 000 000
	15
		250
			760 000

vis fasit

m³	dm³	cm³	mm³
0,002	2	2 000	2 000 000
0,015	15	15 000	15 000 000
0,000 250	0,250	250	250 000
0,000 760	0,760	760	760 000

2.6.2

Gjer om til kubikkdesimeter, dm³.

a) 6 700 cm³

vis fasit

$6 700 {cm}^{3} = 6, 7 {dm}^{3}$

b) 1 m³

vis fasit

$1 m^{3} = 1 000 {dm}^{3}$

c) 900 000 mm³

vis fasit

$900 000 {mm}^{3} = 0, 9 {dm}^{3}$

2.6.3

Legg saman og skriv svaret i liter.

a) $3, 4 {dm}^{3} + 800 {cm}^{3} + 0, 001 m^{3}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3, 4 {dm}^{3} & + & 800 {cm}^{3} + 0, 001 m^{3} \\ = & 3, 4 {dm}^{3} + 0, 8 {dm}^{3} + 1, 0 {dm}^{3} \\ = & 5, 2 {dm}^{3} \\ = & 5, 2 L \end{array}$

b) $430 000 {mm}^{3} + 7 800 {cm}^{3} + 0, 045 m^{3}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 430 000 {mm}^{3} & + & 7 800 {cm}^{3} + 0, 045 m^{3} \\ = & 0, 43 {dm}^{3} + 7, 8 {dm}^{3} + 45 {dm}^{3} \\ = & 53, 23 {dm}^{3} \\ = & 53, 23 L \end{array}$

2.6.4

Fyll ut tabellen

L	dL	cL	mL
2,1	21	210	2 100
	150
		25	250
			76

vis fasit

L	dL	cL	mL
2,1	21	210	2 100
15	150	1 500	15 000
0,25	2,5	25	250
0,076	0,76	7,6	76

2.6.5

Ei eske har form som vist på figuren. Eska har ikkje lokk.

Eske med mål, lengde 60,0 cm, breidd 22,0, høgde 20,0. Illustrasjon.

a) Rekn ut arealet av grunnflata.

vis fasit

60 komma null cm multiplisert med 22 komma 0 cm er lik 1320 kvadrat cm. cas-utkilpp.

Arealet av grunnflata er $1 320 {cm}^{2}$ .

b) Rekn ut volumet av eska. Gi svaret i liter.

vis fasit

1320 kvadrat cm multiplisert med 20 cm er lik 26400 kubikk cm. cas-utkilpp.

Volumet av eska er $26 400 {cm}^{3} = 26, 4 {dm}^{3} = 26, 4 L$ .

c) Rekn ut overflata av esken.

vis fasit

Overflata av eska er lik arealet av botnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt 5 sider.

Arealtet av bunnen + arealet av de 4 sideflatene er lik 4600 kvadrat cm. cas-utklipp.

Overflata er $4 600 {cm}^{2}$ .

2.6.6

Ein kartong med appelsinjuice har måla:
Høgde 24,0 cm, breidde 6,6 cm og djupn 6,4 cm.

Kor mykje rommar juicekartongen? Gi svaret i liter.

vis fasit

Volumet er lik 6 komma 6 cm multilpisert med 6 komma 4 cm multiplisert med 24 cm. casutklipp.

Kartongen rommar $1 013, 8 {cm}^{3} = 1, 0 {dm}^{3} = 1, 0 L$ .

2.6.7

Ein tilhengjar har følgjande mål.
Lengde: 2037 mm
Breidde: 1160 mm
Høgde: 350 mm

a) Kor mange liter rommar tilhengjaren?

vis fasit

Volumet er lik 20 komma 37 dm multilpisert med 11 komma 60 dm multiplisert med 3 komma 50 dm. casutklipp.

Tilhengjaren rommar 827 liter.

Største nyttelast tilhengjaren kan ha er 610 kg.

b) Kor tjukt lag med grus kan du fylle oppi tilhengjaren når 1 liter grus veg 2,5 kg?

vis fasit

Her kan det vere greitt å setja opp ei likning. Vi kan rekne ut massen i kg ved å multiplisere talet på liter grus med kor mange kg grus det er per liter. Talet på liter grus får vi ved å multiplisere lengda med breidda og vidare med den ukjende høgda, som vi kallar $h$ . Dette reknestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasta.

Vi får

$20, 37 dm \cdot 11, 60 dm \cdot h \cdot 2, 5 \frac{kg}{{dm}^{3}} = 610 kg$

Her har vi teke med einingane for å kontrollere at vi ikkje har andre typar enn dm og kg. Når vi løyser dette i GeoGebra, kan vi skrive inn einingane og få talsvaret med riktig eining i tillegg! Med denne metoden må vi bruke kommandoen "Løys(likning, variabel)" saman med knappen for numerisk utrekning $\approx$ .

20 komma 27 dm multiplisert med 11 komma 60 dm multiplisert med høgda multiplisert med 2.5 kg pr kubikk dm er lik 600 kg. casutklipp.

Det kan fyllast eit gruslag som har ein tjukkleik på $1, 03 dm = 10, 3 cm$ .

Alternativ løysing

Vi finn først ut kor mange liter grus vi får av 610 kg. Deretter reknar vi ut arealet av grunnflata i tilhengjaren. Til slutt tek vi volumet av grus og deler på grunnflata for å finne høgda. Vi tek heile tida med einingane i CAS-utregningen som kontroll.

610 kg dividert på 2,5 kg per liter er lik 244 liter.casutklipp.

2.6.8

Eit symjebasseng har ein rektangelforma botn med lengd 9,80 m og breidd 5,20 m. Høgda er over alt 1,90 m. Alle måla er innvendige. Veggene og botnen i bassenget er av betong og er 20 cm tjukke.

a) Kor mange kubikkmeter betong har det gått med til å lage vegger og botn?

vis fasit

Her er det kanskje lettast å rekne ut det utvendige og det innvendige volumet av bassenget og trekkje desse frå kvarandre. For å spare litt inntasting, startar vi vi med å skrive inn dei tre måla i variablane $l, b$ og $h$ . Vi tek med eininga "m" her for å få eining på svaret.

Så reknar vi ut det utvendige volumet med veggar og golv og det innvendige volumet og trekkjer desse frå kvarandre.

utvendige mål minus innvendige mål.casutklipp.

Det gjekk med $23, 1 m^{3}$ betong.

Vi kan også løyse oppgåva ved å rekne ut volumet av botnen og dei fire veggene direkte.

b) Kor mange kvadratmeter fliser har gått med til å kle vegger og botn i bassenget? Sjå bort frå fuger mellom flisene.

vis fasit

Vi må rekne ut (det innvendige) arealet av dei fire veggene pluss botnen.

9 komma 8 multiplisert med 5 komma 2 +9 komma 8 multiplisert med 1 komma 9 multiplisert med 2 pluss 5 komma 2 multiplisert med 1 komma 9 multiplisert med 2 .casutklipp.

Det gjekk med $108 m^{2}$ fliser.

2.6.9

Figuren nedanfor viser ei traktorskuffe.

Traktorskuffe med mål, lengd 230 cm, breidd 86 cm og høgd 76 cm. Illustrasjon.

Skuffa er laga av jernplater med ein tjukkleik på 6 mm. Jernet har ei vekt på 7,87 g per cm³.

Kor mange kilo veg skuffa?

vis fasit

23o cm multiplisert med 86 cm pluss 230 cm multiplisert med 76 cm pluss86 cm multiplisert med 76 cm dividert på 2 og multiplisert med 2 multiplisert med 0 komma 6 cm multiplisert med 7 komma 87 gram per kubikkcentimeter.casutklipp.

Vekta av skuffa blir: $206805 g \approx 210 kg$ .

2.6.10

Det er planlagt å grave ut ein 2 km lang kanal. Kanalen skal vere 2,5 m djup, 5 m brei øvst og 2,5 m brei i botnen. Sidene skrånar jamnt.

Kor mange kubikkmeter masse må gravast ut?

vis fasit

5 meter+2 komma 5 meter dividert på 2 multiplisert med 2 komma 5 og 2000 meter.casutklipp.

Talet på kubikkmeter som må gravast ut er $18 750 m^{3}$ .

2.6.11

Ein kakeboks har form som ein sylinder. Kakeboksen har ein diameter på 21,0 cm og ei høgd på 16,0 cm. Kor mange liter rommar kakeboksen?

vis fasit

Pi multiplisert med parantes 21 dividert på 2 parantes slutt i andre multiplisert med 16

Kakeboksen rommar $5, 5 liter$ .

2.6.12

Ein oljetank har form som ein sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høg. Diameteren er 3,0 meter.

a) Kor mange liter olje rommar oljetanken?

vis fasit

Pi multiplisert med parantes 3 dividert på 2 parantes slutt i andre multiplisert med 5.casutklipp.

Volumet av oljetanken er $35 m^{3} = 35 000 {dm}^{3} = 35 000 liter$ .

b) Rekn ut overflata av oljetanken.

vis fasit

Overflata $O$ av ein sylinder med topp og botn er gitt ved formelen $O = 2 π r \cdot h + 2 \cdot π r^{2}$ .

2 multiplisert med pi multiplisert med 1 komma 5 og 5 pluss 2 multiplisert med pi og 1 komma 5 i andre.casutklipp.

Overflata av oljetanken er $61 m^{2}$ .

2.6.13

Ei gryte har form som ein sylinder. Gryta har ein diameter på 260 mm og rommar 8 liter. Rekn ut høgda til gryta.

vis fasit

8 dm i tredje er lik pi multiplisert med 1 komma 3 dm i andre multiplisert med høgda.casutklipp.

Høgda til gryta er $1, 51 dm = 151 mm$ .

2.6.14

Ei tresøyle har form som ein sylinder med diameter 30 cm og høgd 4,20 m. Søyla skal gis to strøk måling. Ein liter måling dekker 6 m². Kor mykje måling vil gå med?

vis fasit

Reknar ikkje med topp og botn i dette tilfellet.

2 multiplisert med 2 og pi og 0 komma 15 meter og 4 komma 2 meter dividert på 6 kvadratmeter over liter.casutklipp.

Det vil gå med $1, 32 liter$ måling.

2.6.15

Gizapyramidane. Foto. — Gizapyramidane. Kefrenpyramiden og Keopspyramiden i Giza ved Kairo.

Verdas mest kjende pyramide, Keopspyramiden like utanfor Kairo i Egypt, har kvadratisk grunnflate med sidelengd 230 m. Høgda av pyramiden var opphavleg 146 meter, men 10 meter har forsvunne.

a) Finn volumet av den opphavelege Keopspyramiden.

vis fasit

Volumet av ein pyramide er gitt ved formelen $V = \frac{G \cdot h}{3}$ .

V er lik 230 meter multiplisert med 230 meter og 146 meter dividert på 3.casutklipp.

Volumet $V$ av Keopspyramiden blir $2 570 000 m^{3}$ .

Eit symjebasseng har ei lengd på 25,0 meter, ei breidd på 12,5 meter og ei gjennomsnittsdjupn på 2,4 meter.

b) Kor mange liter rommar dette symjebassenget?

vis fasit

V er lik 250 dm multiplisert med 125 dm og 24 dm.casutklipp.

Symjebassenget rommar $750 000 liter$ .

c) Kor mange slike basseng rommar den opphavelege Keopspyramiden?

vis fasit

2570000 kubikkmeter dividert på 750 kubikkmeter.casutklipp.

Keopspyramiden rommar 3430 symjebasseng av denne typen.

2.6.16

Gitt ei kjegle med radius 12,0 cm og høgde 24,0 cm.

a) Finn volumet av kjegla.

vis fasit

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen $V = \frac{π r^{2} \cdot h}{3}$ .

Volumet er lik pi multiplisert med 12 i andre og 24 dividert på 3.casutklipp.

Volumet av kjegla er $3619 {cm}^{3}$ .

b) Finn overflata av kjegla.

vis fasit

Overflata av ei kjegle med botn er gitt ved formelen $O = {πr}^{2} + πr \cdot s$ .

Finn først sidekanten $s$ med hjelp av Pytagoras´ læresetning.

s i andre er lik 12 i andre pluss 24 i andre.casutklipp.

Overflata av kjegla er $1 463 {cm}^{2}$ .

2.6.17

Ei kjegle har radien 2,4 dm og ein sidekant på 6,4 dm.

a) Finn høgda i kjegla.

vis fasit

Bruker Pytagoras si læresetning og finn høgda.

$\begin{matrix} (sidekant)^{2} = (radien)^{2} + (høgda)^{2} \\ s^{2} = r^{2} + h^{2} \end{matrix}$

6 komma 4 i andre er lik 2 komma 4 i andre pluss h i andre.casutklipp.

Høgda er 5,9 dm.

b) Finn volumet av kjegla.

vis fasit

V er lik pi multiplisert med 2 komma 4 i andre og 5 komma 9 dividert på 3.casutklipp.

Volumet er $36 {dm}^{3}$ .

2.6.18

Ein kuleforma appelsin har ein diameter på 8,0 cm.

a) Finn overflata av appelsinen.

vis fasit

$Overflata = 4 \cdot π \cdot r^{2} = 4 \cdot π \cdot (4, 0 cm)^{2} = 200 {cm}^{2}$ .

b) Forklar kva overflata er i praksis.

vis fasit

Overflata av appelsinen er arealet av skalet.

c) Finn volumet av appelsinen.

vis fasit

$Volumet = \frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3} = \frac{4 \cdot π \cdot (4, 0 cm)^{3}}{3} = 270 {cm}^{3}$ .

Skalet på appelsinen er 3 mm tjukt.

d) Finn volumet av den etande delen av appelsinen (dersom du ikkje er ein som et skalet då).

vis fasit

Radien av sjølve appelsinkjøtet: $4, 0 cm - 0, 3 cm = 3, 7 cm$ .

Volumet av appelsinen utan skal: $\frac{4 \cdot π \cdot r^{3}}{3} = \frac{4 \cdot π \cdot (3, 7 cm)^{3}}{3} = 210 {cm}^{3}$ .

e) Finn volumet av skalet.

vis fasit

Volumet av skalet er ytre volum minus indre, altså $270 {cm}^{3} - 210 {cm}^{3} = 60 {cm}^{3}$ .

2.6.19

Ein kroneis består av ein kjegleforma kjeks med is. I tillegg er det ei halvkule med is øvst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høgda på kjeksen er 12,0 cm.

a) Finn radien i kula.

vis fasit

Radien i kula er den same som radien på kjeksen, dvs. 3,0 cm.

b) Finn volumet av isen.

vis fasit

Volum av halvkule med is: $\frac{4 \cdot π \cdot (3, 0 cm)^{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Volum av kjegle med is: $\frac{π \cdot (3, 0 cm)^{2} \cdot 12, 0 cm}{3}$

4multiplisert med 4 pi og 3 i tredje over 3 multiplisert med 1 over 2 pluss pi multiplisert med 3 i andre og 12 over 3.casutklipp.

Samla mengde is blir $170 {cm}^{3} = 0, 17 L = 1, 7 dL$ .

CC BY-SASkrive av Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist fagleg oppdatert 25.02.2020

Volum og overflate

2.6.1

2.6.2

2.6.3

2.6.4

2.6.5

2.6.6

2.6.7

2.6.8

2.6.9

2.6.10

2.6.11

2.6.12

2.6.13

2.6.14

2.6.15

2.6.16

2.6.17

2.6.18

2.6.19

Reglar for bruk