Statistikk – blanda oppgåver

Tala Zelda har kome fram til, gjeld i utgangspunktet for ein enkelt time på laurdagen. Ho bør opplyse om mellom kva klokkeslett målingane vart gjorde. I tillegg til å presentere dei ulike statistiske storleikane kan ho rekne ut kor mange kundar som var innom i løpet av timen, og ho kan til dømes framstille frekvenstabellen i eit søylediagram.

I presentasjonen av dei statistiske storleikane bør ho seie at ho har funne det vanlege standardavviket. Dersom tala skal brukast til å seie noko generelt om besøket på laurdagar, bør eigentleg utvalsstandardavviket brukast i staden for det vanlege standardavviket.

• Vel statistikkvariabelen "Reiser".

• Vel kvartala 2021K1 og nyare.

• Under "Transportmåte" vel du "Fly".

• Under "Reisetype" vel du "Korte feriereiser i alt" og "Lange feriereiser i alt".

• Trykk på "Vis tabell".

• Vel "Lagre data som ..." og "Excel". Opne reknearket i eit vanleg reknearkprogram, og legg saman tala så du får det samla talet på feriereiser med fly for kvart år. Kopier tala over i reknearkdelen til GeoGebra.

For å svare betre på kva modell som er mest riktig, kan du finne nyare tal for detaljhandelen dersom det er mogleg. Sjå "Kjelder" nedst på sida.

Tenk gjennom korleis du vil at brukaren av programmet skal taste inn tala. Det enklaste er kanskje at brukaren trykkjer entertasten mellom kvart tal. Alternativt må det leggjast inn til dømes eit komma mellom kvart tal dersom alle tala skal skrivast inn på éin gong.

Vi kan kopiere tala direkte inn i reknearkdelen i GeoGebra. Då hamnar tala til dømes cellene A1 til og med X1. Vi lagar lista med kommandoen

data = A1:X1

Så bruker vi kommandoane "gsnitt", "Median" og "Typetal", alle med argumentet "data", og vi gir resultatet logiske namn.

gjennomsnittet = gsnitt(data)

medianen = Median(data)

typetalet = Typetal(data)

Fasit

Gjennomsnittet er 4,88.

Medianen er 5.

Typetalet er 6.

Her spørst det kva ein vil leggje vekt på. Gjennomsnittet og medianen er ganske nær kvarandre. Vi kan seie at i gjennomsnitt hadde Marie 5 passasjerar. Samtidig er det absolutt flest turar med full kjerre, altså 6 passasjerar. Så det går òg an å hevde at "den typiske" turen er med 6 passasjerar.

Her bruker vi kommandoane "Maks", "Min", "Q3", "Q1" og "stavvp". Vi bruker "stavvp" (vanleg standardavvik) sidan vi har tilgang på alle tala i talmaterialet.

variasjonsbreidda = Maks(data) - Min(data)

kvartilbreidda = Q3(data) - Q1(data)

standardavviket = stavvp(data)

Fasit

Variasjonsbreidda er 4.

Kvartilbreidda er 2.

Standardavviket er 1,2.

Vi teiknar boksplottet med kommandoen

Boksplott(2,1,data,false)

Her stikk det ikkje ut noko på høgre side av boksen som markerer kvartilbreidda. Det er fordi øvre kvartil er lik den største verdien (6). Årsaka til det er at Marie har hatt mange nok turar med full kjerre, altså 6 passasjerar.

Dette er ein frekvenstabell.

Her er det kanskje enklast å bruke reknearkdelen i GeoGebra og skrive talet på kundar per minutt i cellene A2 til A10 og frekvensane i cellene B2 til B10. Skriv overskrifter i cellene A1 og B1.

Så lagar vi lister av tala.

tal = A2:A10

frekvensar = B2:B10

Deretter bruker vi kommandoane "gsnitt" og "Median", denne gongen med to lister som argument ("tal" og "frekvensar"). Typetalet er det talet som har den største frekvensen, og dette les vi rett av tabellen.

gjennomsnittet = gsnitt(tal,frekvensar)

medianen = Median(tal,frekvensar)

Fasit

Gjennomsnittet er 3,85.

Medianen er 4.

Typetalet er 2.

Her bruker vi kommandoane "Maks", "Min", "Q3", "Q1" og "stavvp" for vanleg standardavvik.

variasjonsbreidda = Maks(tal) - Min(tal)

kvartilbreidda = Q3(tal, frekvensar) - Q1(tal, frekvensar)

standardavviket = stavvp(tal, frekvensar)

Fasit

Variasjonsbreidda er 8.

Kvartilbreidda er 4.

Standardavviket er 2,29.

Kommandoen for boksplottet er

Boksplott(2,1,tal,frekvensar,false)

Gjennomsnittet er 33,22.

Medianen er 36.

Sjå elles den nedlastbare GeoGebra-fila.

I dette talmaterialet er det ingen tal som finst fleire enn éin gong. Derfor blir det meiningslaust å snakke om typetalet her.

Vi kan òg seie at i eit talmateriale der talet på målingar er mykje mindre enn talet på moglege måleverdiar, vil det stort sett berre vere éin førekomst av tala. Dersom det tilfeldigvis skulle vere to førekomstar av eit tal, vil ikkje det gi noko nyttig informasjon om talmaterialet om vi gir dette som typetal.

Variasjonsbreidda er 35.

Kvartilbreidda er 15,5.

Standardavviket er 10,09.

Vi skriv tala inn i reknearkdelen til GeoGebra og lagar lista "data" av tala. Så bruker vi kommandoen gsnitt(data). Det gjennomsnittlege talet på feriereiser med fly er 5,87 millionar.

Med kommandoen Median(data) får vi at medianen for talet på feriereiser med fly er 6,49 millionar.

Vi bruker kommandoane

Maks(data)-Min(data)
Q3(data)-Q1(data)
stavvp(data)

og får dette resultatet:

Variasjonsbreidda for talet på flyreiser er 4,82.
Kvartilbreidda for talet på flyreiser er 0,54.
Standardavviket for talet på flyreiser er 1,59.

Kommandoen

Boksplott(2,1,data,false)

gir boksplottet nedanfor.

Boksplottet blir veldig "skeivt" sidan alle tala bortsett frå eitt er samla mellom 6 og 7.

Linjeediagram kan vi lage ved å kopiere tala inn i eit vanleg reknearkprogram som Excel eller Google Regneark.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Den gjennomsnittlege omsetninga per innbyggjar i detaljhandelen er 80 780 kroner.

Medianen for omsetninga per innbyggjar i detaljhandelen er 80 180 kroner.

Variasjonsbreidda er 25 133 kroner.

Kvartilbreidda er 9 980 kroner.

Standardavviket er 6 905 kroner.

Vi ser at omsetninga per innbyggjar har auka jamt og trutt med eitt til to tusen frå år til år bortsett frå 2019 til 2020. Då auka ho plutseleg med meir enn 10 000. Årsaka kan vere at folk reiste mindre og handla meir det første året av koronapandemien.

Vi lagar ein ny kolonne for talet på år etter 2010 i reknearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet på denne kolonnen og kolonnen med tala for detaljhandelen.

Vi vel lineær og eksponentiell modell i regresjonsverktøyet. Ein lineær modell gir funksjonen

$$ g\left(x\right)=2070,31x+70428$$

Ein eksponentiell modell gir funksjonen

$$ h\left(x\right)=70943·1,{03}^x$$

Året 2030 betyr at  $$ x=20$$. Vi reknar ut $$ g\left(20\right)$$ og $$ h\left(20\right)$$ i algebrafeltet eller med CAS og får

$$ \begin{array}{rcl}g\left(20\right) & =& 111 835\\ h\left(20\right) & =& 117 592\end{array}$$

Omsetninga vil vere 111 835 kroner med ein lineær modell og 117 592 med ein kroner med ein eksponentiell modell.

Dersom vi ser bort frå talet for 2020, har utviklinga vore nokså jamn. Begge modellane spår at det skal auke meir enn dette. Slik sett vil den lineære modellen kanskje passe best i tida framover. Talet for 2020 er kanskje påverka av at det var koronapandemi, og at folk brukte meir pengar på å handle enn å reise. At det skal halde fram med å auke like mykje i åra etter 2020, verkar litt usannsynleg.

I denne oppgåva er det ikkje noko eksakt svar på kva som må vere med for å få full utteljing på ei prøve eller ein eksamen. Løysinga nedanfor er eit forslag til kva som kan gjerast.

Vi skriv inn tala i reknearkdelen i GeoGebra i cellene A1 til A14 og lagar lister både av kvar veke og av begge vekene sett under eitt. Så bruker vi diverse statistiske kommandoar for å finne dei ulike storleikane. Nedanfor har vi avskrift av algebrafeltet i GeoGebra av dataa for dei to vekene sett under eitt.

data = A1:A14
→ {740, 800, 910, 635, 1090, 350, 810, 630, 480, 290, 605, 1230, 410, 900}

talet på = Lengde(data)
→ 14

gjennomsnitt = gsnitt(data)
→ 705.71

kvartilbreidde = Q3(data) – Q1(data)
→ 420

median = Median(data)
→ 687.5

standardavvik = stavvp(data)
→ 264.79

sum = Sum(data)
→ 9880

variasjonsbreidde = Maks(data) – Min(data)
→ 940

Totalt sett for dei to vekene vart salet på 9 880 kroner med eit standardavvik på 265 kroner. Gjennomsnittleg sal per dag var 706 kroner. Salstala for ein dag har variert med 940 kroner.

Avskrift av algebrafeltet for tala for veke 28

data = A1:A7
→ {740, 800, 910, 635, 1090, 350, 810}

talet på = Lengde(data)
→ 7

gjennomsnitt = gsnitt(data)
→ 767.14

kvartilbreidde = Q3(data) – Q1(data)
→ 275

median = Median(data)
→ 800

standardavvik = stavvp(data)
→ 213.67

sum = Sum(data)
→ 5335

variasjonsbreidde = Maks(data) – Min(data)
→ 740

Avskrift av algebrafeltet for tala for veke 29

data = A8:A14
→ {630, 480, 290, 605, 1230, 410, 900}

talet på = Lengde(data)
→ 7

gjennomsnitt = gsnitt(data)
→ 649.29

kvartilbreidde = Q3(data) – Q1(data)
→ 490

median = Median(data)
→ 605

standardavvik = stavvp(data)
→ 296.99

sum = Sum(data)
→ 4545

variasjonsbreidde = Maks(data) – Min(data)
→ 940

Vi ser at salet var best i veke 28 med eit totalt sal på 5 335 kroner. Sjå talet "sum". Samtidig er spreiinga i salstala størst i veke 29. Både kvartilbreidde, variasjonsbreidde og standardavvik er størst i veke 29. Av tala for variasjonsbreidde ser vi at salet har variert med 940 kroner i veke 29 og 740 kroner i veke 28. Vi ser òg at medianen for veke 29 ligg nesten 200 under medianen for veke 28, mens gjennomsnittet berre ligg cirka 110 under. Det tyder på at i veke 29 var det fleire dagar med lågt sal og nokre få dagar med høgt sal. Det passar godt med at salsrekorden for dei to vekene var fredagen i veke 29, mens dagen med lågast sal var onsdagen i den same veka.

Medianen for veke 28 ligg over gjennomsnittsverdien mens det er omvendt for veke 29. Det betyr at i veke 28 er det nokre få dagar med veldig lågt sal som trekkjer gjennomsnittet ned, mens det er motsett for veke 29.

Oppgåva kan òg løysast ved å bruke verktøyet for analyse av ein variabel i GeoGebra.

Vi legg tala inn i GeoGebra og finn dei følgjande statistiske tala:

Vi ser av gjennomsnittet at det var fleire overnattingar i samband med feriereiser i 2019 enn i 2020. Samtidig er standardavviket og variasjonsbreidda større for 2020 enn for 2019. Det betyr at variasjonen mellom dei 12 månadene i 2020 var stor.

Vi vel å lage eit søylediagram over tala. Då er det kanskje enklast å bruke eit vanleg reknearkprogram. Vi har brukt reknearket vi kan laste ned frå Statistisk sentralbyrå på denne statistikken som utgangspunkt.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Vi ser at i april 2020 var det svært få overnattingar. Tre månader seinare, i juli, har vi det største talet overnattingar i ein månad for dei to åra. Det tyder på at spreiinga var større i 2020 enn i 2019.

Årsaka til det er nok at i store delar av mars og april 2020 var Noreg stengd ned på grunn av koronapandemien. Same sommar var det ikkje mogleg å gjere feriereiser til utlandet, noko som førte til at folk reiste på ferie heime. Dette kan forklare det høge talet overnattingar i Trøndelag i juli 2020.

Forslag til algoritme som tek utgangspunkt i at kvart tal blir mata inn separat:

• Skriv til skjermen: "Dette programmet reknar ut gjennomsnittet av dei tala som blir tasta inn."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn eitt og eitt tal og trykk enter for kvart tal. Skriv inn "x" når du er ferdig."

• Så lenge vi ikkje er ferdige med å skrive inn tal:

  • Skriv til skjermen: "Nytt tal: "

  • Ta imot input frå brukaren.

  • Dersom det som kjem inn er eit tal, legg til talet i ein sum og auk ein teljar for talet på tal med 1.

  • Viss ikkje (og brukaren har skrive ein "x"), er vi ferdige.

• Del summen på talet på tal.

• Skriv til skjermen "Gjennomsnittet av tala er <resultatet av utrekninga i det førre punktet>."

Kommentar: Dersom du vel å skrive inn alle tala samtidig med til dømes komma mellom kvart tal, må du lage ein rutine for å plukke ut tala frå den lange tekststrengen vi då får. Dette gjer vi i den alternative løysinga nedanfor.

Alternativ løysing

Løysinga tek utgangspunkt i at alle tala blir skrivne inn på éin gong med komma (,) mellom kvart tal (hugs at desimaltal må skrivast med punktum i Python).

• Skriv til skjermen: "Dette programmet reknar ut gjennomsnittet av dei tala som blir tasta inn."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn tala med eitt komma mellom kvart tal."

• Ta imot lista med tal frå brukaren og lagre i ein tekstvariabel.

• Gå gjennom tekstvariabelen og legg det som står mellom kvart komma (altså kvart tal) til ei liste.

• Legg saman tala i lista og del på talet på tal.

• Skriv til skjermen: "Gjennomsnittet av tala er <resultatet av utrekninga i det førre punktet>."

Kode som tek utgangspunkt i at tala blir skrivne inn eitt og eitt:

1print("Dette programmet reknar ut gjennomsnittet "
2    "av dei tala som blir tasta inn.")
3print("Skriv inn eitt og eitt tal og trykk enter for kvart tal."
4    " Skriv inn 'x' når du er ferdig.")
5summen = 0           # skal bli summen av alle tala
6antal = 0            # skal innehalde talet på tal
7ferdig = False       # skal brukast for å stoppe innlesinga av tal
8           
9while ferdig == False:         # så lenge ferdig har verdien False
10    tal = input("Nytt tal: ")
11
12    if tal != "x":         # viss talet ikkje er "x", dvs. eit "ekte" tal
13        summen = summen + float(tal)  # legg talet til summen
14        antal = antal + 1             # aukar talet på tal med 1
15    else:         # viss talet er ein "x"    
16        ferdig = True         # med dette vil while-lykkja stoppe
17
18gjsnitt = summen/antal      # reknar ut gjennomsnittet
19print(f"Gjennomsnittet av tala er {gjsnitt:.2f}.")

Alternativ løysing

Koden nedanfor tek utgangspunkt i at alle tala blir skrivne inn på éin gong med komma mellom kvart tal. Til å skilje tala og leggje dei i ei liste, bruker vi funksjonen "split", sjå nedst på sida.

1print("Dette programmet reknar ut gjennomsnittet "
2    "av dei tala som blir tasta inn.")
3print("Skriv inn alle tala med komma ',' imellom. Unngå mellomrom.")
4
5tekstinput = input()          # tek imot alle tala
6    # konverterer tekststrengen til liste med tal (som framleis er tekst)
7talliste = tekstinput.split(",")
8
9for i in range(len(talliste)):
10    talliste[i] = float(talliste[i])    # konverterer alle tala til ekte tal
11
12gjsnitt = sum(talliste)/len(talliste)   # reknar ut gjennomsnittet
13print(f"Gjennomsnittet er {gjsnitt:.2f}.")

Forslag til algoritme som tek utgangspunkt i at tala blir skrivne inn eitt og eitt:

• Skriv til skjermen: "Dette programmet reknar ut gjennomsnittet av tal sorterte i ein frekvenstabell."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn eitt og eitt av dei ulike førekomstane av måleverdiar og trykk enter for kvart tal. Skriv inn "s" når du er ferdig."

• Skriv til skjermen: "Nytt tal: "

• Ta imot talet frå brukaren. Dersom talet er eit tal: Legg til talet i ei liste.

• Repeter dei to førre punkta over heilt til brukaren skriv ein "s".

• Skriv til skjermen: "Skriv inn ein og ein av frekvensane og trykk enter for kvart tal. Skriv inn "s" når du er ferdig."

• Skriv til skjermen: "Ny frekvens: "

• Ta imot talet frå brukaren. Dersom talet er eit tal: Legg til talet i ei liste.

• Repeter dei to førre punkta over heilt til brukaren skriv ein "s".

• Multipliser saman tilhøyrande verdiar for måleverdi og frekvens, summer desse og del på summen av frekvensane i frekvenslista.

• Skriv til skjermen: "Gjennomsnittet er <svaret frå det førre punktet>."

Forslag til kode i Python:

1print("Dette programmet reknar ut gjennomsnittet "
2"av tal sorterte i ein frekvenstabell.")
3print("Skriv inn eitt og eitt av dei ulike førekomstane " 
4"av måleverdiar, og trykk enter for kvart tal."
5" Skriv inn 's' når du er ferdig.")
6tal = 0
7talliste = []    # lagar ei tom liste
8           # tek imot tal heilt til det skrivast ein "s"
9while tal != "s":
10  tal = input("Nytt tal: ")
11  if tal != "s":             
12    tal = float(tal)
13    talliste.append(tal)  # legg talet til i tallista
14
15frekvens = 0
16frekvensliste = []    # lagar ei tom liste
17           # tek imot tal heilt til det skrivast ein "s"
18while frekvens != "s":
19  frekvens = input("Ny frekvens: ")
20  if frekvens != "s":             
21    frekvens = float(frekvens)
22    frekvensliste.append(frekvens)  # legg talet til i frekvenslista
23    
24summen = 0
25for i in range(len(frekvensliste)):
26  summen = summen + talliste[i] * frekvensliste[i]  # multipliserer saman verdi og frekvens
27    
28gsnitt = summen/sum(frekvensliste)    # reknar ut gjennomsnittet
29print(f"Gjennomsnittet av tala er {gsnitt:.2f}.")

Alternativ løysing

Vi tek utgangspunkt i den alternative løysinga i oppgåve b). Først skriv vi inn dei ulike førekomstane av måleverdiar. Så skriv vi inn frekvensane. Algoritmen kan då sjå slik ut:

• Skriv til skjermen: "Dette programmet reknar ut gjennomsnittet av tal sorterte i ein frekvenstabell."

• Skriv til skjermen: "Skriv inn dei ulike måleverdiane med eitt komma mellom kvart tal."

• Ta imot tala og konverter dei til ei liste.

• Skriv til skjermen: "Skriv inn frekvensane med eitt komma mellom kvart tal."

• Ta imot tala og konverter dei til ei liste.

• Multipliser saman tilhøyrande verdiar for måleverdi og frekvens, summer desse, og del på summen av frekvensane i frekvenslista.

• Skriv til skjermen: "Gjennomsnittet er <svaret frå det førre punktet>."

Forslag til kode:

1print("Dette programmet reknar ut gjennomsnittet "
2    "av tal sorterte i ein frekvenstabell.")
3              # tek imot alle tala
4talstreng = input("Skriv inn måleverdiane med eitt komma mellom kvart tal: ")
5frekvensstreng = input("Skriv inn frekvensane med eitt komma mellom kvart tal: ")
6        # konverterer strengane til lister med tal (som framleis er tekst)
7talliste = talstreng.split(",")
8frekvensliste = frekvensstreng.split(",")
9        # konverterer alle tala til ekte tal
10for i in range(len(talliste)):
11    talliste[i] = float(talliste[i])
12for i in range(len(frekvensliste)):
13    frekvensliste[i] = float(frekvensliste[i])
14        # multipliserer saman måleverdi og frekvens
15summen = 0
16for i in range(len(frekvensliste)):
17    summen = summen + talliste[i] * frekvensliste[i]
18  
19gjsnitt = summen/sum(frekvensliste)    # reknar ut gjennomsnittet
20
21print(f"Gjennomsnittet er {gjsnitt:.2f}.")