Funksjonar med digitale hjelpemiddel

Familien betaler 2 000 kroner i etableringsgebyr. I tillegg kjem det kostnader på $$ 210 \mathrm{kr\; +\; 70} \mathrm{kr\; =\; 280 kr}$$ kvar månad.

Til saman blir dette

$$ 2 000 \mathrm{kr}+280 \mathrm{kr}·12=5 360 \mathrm{kr}$$

280 er dei månadlege utgiftene, mens 2 000 er eingongsbeløpet for etablering av abonnementet. Etter x månader kan vi då finne utgiftene ved å multiplisere 280 kr med talet på månader, x. I tillegg må etableringsgebyret på 2 000 kr leggast til.

$x$-aksen viser månader, og når han går til 36, får vi oversikt over tre år. I GeoGebra skriv vi

U(x)=Funksjon(280x+2000,0,36)

Kommandoen etter likskapsteiknet kan vi lage kjapt ved å byrje å skrive ordet "Funksjon" og velje alternativet "Funksjon(<Funksjon>, <Start>,< Slutt>)" som dukkar opp.

To år er 24 månader, og $$ x$$-verdien må vere 24. Vi skriv inn punktet $$ (24, \text{U}(24\left)\right)$$ i GeoGebra. Sjå punkt $A$ på grafen i oppgåve c). Etter to år har familien hatt utgifter på 8 720 kr.

Talet på timar i eit døgn er 24. Funksjonen gjeld for eit døgn.

Vi skriv T(x)=Funksjon(-0.005x^3+0.12x^2-2,0,24) i algebrafeltet til GeoGebra og får den blå grafen nedanfor.

Sidan $$ y$$-aksen viser temperatur, kan vi skrive$y=6$ og få linja fram i koordinatsystemet. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $T$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta $A$ og $B$ på grafen i oppgåve b). Temperaturen er 6° C rett etter klokka 11.00 og klokka 20.00.

Vi finn ekstremalpunkta på grafen med verktøyet "Ekstremalpunkt". Den høgaste temperaturen er cirka $$ 8,2° \mathrm{C}$$. Sjå punktet C på grafen i oppgåve b). Grafen har eit botnpunkt for $$ x=0$$ der temperaturen er $-2°\mathrm{C}$, sjå punktet D. Vi må sjekke det andre endepunktet på grafen og skriv inn punktet $$ \left(24,T\left(24\right)\right)$$. Vi får punktet E der temperaturen òg er $-2°\mathrm{C}$. Den lågaste temperaturen er derfor $-2°\mathrm{C}$.

Vi teiknar grafen med dette programmet:

1#importerer nødvendige bibliotek
2import matplotlib.pyplot as plt
3import numpy as np
4
5#definerer funksjonen
6def f(x):
7    return -0.005*x**3 + 0.12*x**2 - 2
8
9#lagar verditabell
10X = np.linspace(0,24,100)
11Y = f(X)
12
13#plottar funksjonen med namn
14plt.plot(X,Y,label = "T(x)")
15plt.legend()
16
17#lagar x- og y-akse
18plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
19plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
20plt.gca().spines['bottom'].set_position("zero")
21plt.gca().spines['left'].set_position("zero")
22
23#set namn på aksane på eigna stader
24plt.xlabel("x, timar etter midnatt") #tittel på x-aksen
25plt.ylabel("T(x), temperatur (°C)", rotation=0)
26plt.gca().yaxis.set_label_coords(0.1,1)
27plt.gca().xaxis.set_label_coords(0.85,0.28)
28
29#set på rutenett
30plt.grid()
31
32plt.show()

Køyr programmet om du vil sjå resultatet.

For å finne svaret på oppgåve c) lagar vi eit program som sjekkar når funksjonsverdien er omtrent 6. Vi bruker forma på grafen og veit at vi først kjem nedanfrå og så ovanfrå. (Det finst meir elegante måtar å finne dette på, men her vel vi å gjere det slik):

1#set ein startverdi for x-verdiane eg skal 
2x=0
3
4#startar ei while-lykkje som sluttar når temperaturen har stige til 6
5while f(x) < 6:
6    x += 0.1       #vi kunne også ha skrive x = x + 0.1
7print(f"Temperaturen er ca. seks gradar etter ca. {x:.1f} timar.")
8
9#lagar ei ny while-lykkje som sluttar når temperaturen har sokke til 6
10while f(x) > 6:
11    x += 0.1
12print(f"Temperaturen er ca. seks gradar etter ca. {x:.1f} timar.")

For å finne svaret på oppgåve d) finn vi høgaste og lågaste verdi i arrayen Y vi fann i linje 11 i det øvste programmet:

1print(f"Den lågaste temperaturen var {Y.min():.1f} gradar og den høgaste temperaturen var {Y.max():.1f} gradar.")

2 timar og 4 minutt er 124 minutt.

Distanse per minutt: $$ \frac{42 195 \mathrm{m}}{124 \min }=340 \mathrm{m}/\min $$

Når farta er 340 m/min, finn vi distansen som er sprunge, eller strekninga, ved å multiplisere farten med tida. Dette gir oss funksjonen

$d\left(t\right)=340·t$

Vi vel å teikne funksjonen for t-verdiar mellom 0 og 140. Då bruker vi kommandoen "Funksjon" slik: d(t) = Funksjon(340t,0,140). Vi skriv inn punktet $$ (45, d(45\left)\right)$$. Sjå punktet A på grafen. Dei har sprunge 15 300 meter, det vil seie 15,3 km, på 45 minutt.

Forslag til program:

1#importerer nødvendige bibliotek
2import matplotlib.pyplot as plt
3import numpy as np
4
5#definerer funksjonen
6def f(x):
7    return 340*x
8
9#lagar verditabell
10X = np.linspace(0,124,100)
11Y = f(X)
12
13#lagar punktet
14X_1 = 45
15Y_1 = f(X_1)
16
17#plottar graf og punkt
18plt.plot(X,Y,label = "d(t)=340t")
19plt.scatter(X_1,Y_1, label = (f'(45,{f(45):.0f})'))
20
21plt.legend()
22
23#lagar aksar
24plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
25plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
26plt.gca().spines['bottom'].set_position("zero")
27plt.gca().spines['left'].set_position("zero")
28
29#namngir aksar
30plt.xlabel("t, minutt") #tittel på x-aksen
31plt.ylabel("d(t), meter", rotation=0)
32plt.gca().yaxis.set_label_coords(0,1)
33plt.gca().xaxis.set_label_coords(0.9,0.1)
34
35plt.grid()
36
37plt.show()