Fag

Fagstoff

Interaktivt innhald

Video

Samanslåing av trigonometriske funksjonar

Kan vi slå saman trigonometriske uttrykk av typen A·sinkx og B·coskx?

Ei utfordrande likning

Vi ønsker å løyse likninga

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$

Forklar kvifor vi ikkje kan løyes denne likninga ved å dele på $\cos x$ i alle ledda.

Forklaring

Vi prøver å dele på $\cos x$ i alle ledda.

$\begin{array}{rcl} \sin x + \sqrt{3} \cos x & = & 1 \\ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} & = & \frac{1}{\cos x}, \cos x \neq 0 \\ \tan x + \sqrt{3} & = & \frac{1}{\cos x} \end{array}$

Vi kjem ikkje vidare i løysinga sidan vi no har både $\tan x$ og $\cos x$ i likninga. Denne løysingsmetoden ville ha fungert dersom høgresida av likninga hadde vore 0.

Vi treng ein ny løysingsmetode for denne likninga.

Utforsking av venstre side av likninga

Vi skal utforske venstresida av likninga. Teikn grafen til uttrykket på venstre side. Kva får du, og kva betyr det?

Resultat

Vi set $f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ og teiknar grafen med GeoGebra.

Grafen til f av x er lik sinus x pluss rot 3 cosinus x som er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 2 tredjedels pi og 7 tredjedels pi. Illustrasjon.

Vi får at grafen er ei sinuskurve. Det betyr at det må vere mogleg å skrive venstresida av likninga som éin sinusfunksjon. Dersom vi klarer det, endar vi opp med ei enkel likning med berre sinusfunksjonen.

Korleis kan vi finne uttrykket for sinusfunksjonen som er teikna i boksen over, ut ifrå grafen?

Svar

Den generelle sinusfunksjonen kan skrivast som

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

Vi kan finne parametrane $A, k, φ$ og $d$ grafisk ved å lese av periode og amplitude og finne likevektslinja og faseforskyvinga.

Finn uttrykket for $f (x)$ med metoden som er beskriven over.

Løysing

Grafen til ein ukjend sinusfunksjon er teikna for x-verdiar mellom minus pi fjerdedelar og 11 pi fjerdedelar. Perioden, likevektslinja, amplituden og faseforskyvinga er markerte på figuren. Illustrasjon.

Utgangspunktet er den generelle sinusfunksjonen

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

Vi får av grafen at

amplituden er 2, som gir $A = 2$
likevektslinja er $y = 0$ , som gir $d = 0$
perioden $p$ er $2 π$ , som gir
$p = \frac{2 π}{k} \Leftrightarrow k = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{2 π} = 1$
faseforskyvinga $x_{f}$ er $- \frac{π}{3}$ , som gir $𝜑 = - x_{f} \cdot k = - (- \frac{π}{3}) \cdot 1 = \frac{π}{3}$

Funksjonsuttrykket blir

$f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

Resultatet må bety at

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

Ei slik omforming blir òg kalla sinusomforming.

Vis at samanhengen over er ein identitet.

Tips

Bruk formelen for sinus til ein sum av vinklar.

Bevis

Vi bruker formelen $\sin (u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v$ .

$\begin{array}{rcl} 2 \sin (x + \frac{π}{3}) & = & 2 (\sin x \cdot \cos \frac{π}{3} + \cos x \cdot \sin \frac{π}{3}) \\ = & 2 (\sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3}) \\ = & \sin x + \sqrt{3} \cos x \end{array}$

Løysing av likninga

No kan vi løyse den opphavlege likninga.

$\begin{array}{rcl} \sin x + \sqrt{3} \cos x & = & 1 \\ 2 \sin (x + \frac{π}{3}) & = & 1 \\ \sin (x + \frac{π}{3}) & = & \frac{1}{2} \\ x + \frac{π}{3} & = & \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \lor x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \\ x & = & - \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \lor x = \frac{π}{2} + k \cdot 2 π, \end{array}$

der $k \in ℤ$ . På løysingsmengdeform får vi

$L = {- \frac{π}{6} + k \cdot 2 π, \frac{π}{2} + k \cdot 2 π}, k \in ℤ$

Vi får den same løysinga med CAS i GeoGebra.

CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrive sinus til x pluss rota av 3 multiplisert med cosinus til x er lik 1. Svaret med "Løys" er x er lik 2 k 1 pi minus 1 sjettedels pi eller x er lik 2 k 1 pi pluss ein halv pi. Skjermutklipp.

Omforming til éin sinusfunksjon

Korleis kan vi forme om ein sum av ein sinusfunksjon og ein cosinusfunksjon til éin sinusfunksjon utan å teikne grafen slik vi gjorde over?

Vi ser igjen på den generelle sinusfunksjonen $A \sin (k x + φ)$ med $d = 0$ , og vi bruker formelen for sinus til ein sum av vinklar.

$\begin{array}{rcl} A \sin (k x + φ) & = & A (\sin k x \cdot \cos φ + \cos k x \cdot \sin φ) \\ = & \underset{a}{\underset{⏟}{A \cos φ}} \cdot \sin k x + \underset{b}{\underset{⏟}{A \sin φ}} \cdot \cos k x \\ = & a \sin k x + b \cos k x \end{array}$

Vi får derfor at vi kan forme om ein sum av ein cosinusfunksjon og ein sinusfunksjon med same $k$ dersom

$A \cos φ = a$ , og $A \sin φ = b$

Kor mange ukjende storleikar er det i desse to likningane?

Forklaring

Når vi skal gjere denne omforminga, kjenner vi $a$ og $b$ . Vi har derfor to likningar med to ukjende: $A$ og $𝜑$ .

Dette likningssettet er ikkje det enklaste å løyse for hand med vanlege metodar som innsetjingsmetoden. Vi finn enklast løysinga ved først å utnytte at $\cos^{2} 𝜑 + \sin^{2} 𝜑 = 1$ :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a^{2} + b^{2}} & = & \sqrt{{(A \cos φ)}^{2} + (A \sin φ)^{2}} \\ = & \sqrt{A^{2} (\cos^{2} φ + \sin^{2} φ)} \\ = & \sqrt{A^{2} \cdot 1} \\ = & A \end{array}$

Då har vi funne $A$ . Vi finn $𝜑$ ved å setje opp uttrykket $\frac{b}{a}$ .

$\frac{b}{a} = \frac{A \sin 𝜑}{A \cos 𝜑} = \tan 𝜑$

Ei tangenslikning har mange løysingar. Vi kan halde oss til første omløp, for vi treng berre éi løysing. Likninga har to løysningar i første omløp, men berre éi av dei kan brukast. Forklaringa på det er:

Vi har at $A > 0$ sidan han blir rekna ut frå eit rotuttrykk.
Sidan $a = A \cos 𝜑$ , må derfor $\cos 𝜑$ ha det same forteiknet som $a$ .
Sidan $b = A \sin 𝜑$ , må $\sin 𝜑$ òg ha det same forteiknet som $b$ .

I kva kvadrant i koordinatsystemet hamnar punktet $(a, b)$ dersom $a < 0$ og $b > 0$ ?

Svar

Eit punkt med negativ $x$ -koordinat og positiv $y$ -koordinat hamnar alltid i andre kvadrant.

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. Eit punkt utanfor sirkelen er teikna inn. Punktet har koordinatane a og b. Linjestykket mellom origo og punktet skjer sirkelen i eit punkt med koordinatane cos fi og sin fi. Vinkelen fi mellom positiv x-akse og linjestykket er markert. Illustrasjon.

Figuren viser eit døme der punktet $(a, b)$ blir liggande i andre kvadrant. Det betyr, som vi skreiv over, at $a < 0$ og $b > 0$ . Sidan $\cos 𝜑$ skal ha det same forteiknet som $a$ og $\sin 𝜑$ det same forteiknet som $b$ , må vinkelen $𝜑$ òg ligge i andre kvadrant.

Konklusjonen må bli at vi må velje den vinkelen $𝜑$ som ligg i same kvadrant som punktet $(a, b)$ . Tilsvarande blir det om punktet $(a, b)$ ligg i nokon av dei andre kvadrantane.

Tangensfunksjonen eksisterer ikkje for alle vinklar. Kvifor skaper ikkje det problem for oss?

Forklaring

$\tan 𝜑$ eksisterer ikkje for $𝜑 = \frac{π}{2} \lor 𝜑 = \frac{3 π}{2}$ . Då er $\cos 𝜑 = 0$ . Det får vi berre dersom $a = 0$ , då har vi ingen sinusfunksjon i det opphavlege uttrykket og ikkje noko behov for å slå saman noko.

Løysing på den utfordrande likninga ved rekning

Vi prøver løysingsteknikken på likninga vi studerte øvst på sida. Du bør prøve å løyse likninga på eiga hand før du går vidare.

Likninga vi skal løyse, er

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$

Vi må slå saman dei to ledda på venstre side. Her har vi at $a = 1$ og $b = \sqrt{3}$ . Då får vi at

$A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$

og

$\tan 𝜑 = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Kva kvadrant skal vinkelen $𝜑$ ligge i?

Svar

Sidan både $a$ og $b$ er større enn null, må $𝜑$ ligge i første kvadrant.

Vi kjenner igjen $\sqrt{3}$ som ein av de eksakte trigonometriske verdiane, og vi får at

$𝜑 = \frac{π}{3}$

Då kan vi forme om likninga til ei enkel trigonometrisk likning.

$\begin{array}{rcl} \sin x + \sqrt{3} \cos x & = & 1 \\ 2 \sin (x + \frac{π}{3}) & = & 1 \end{array}$

Dette er det same som vi kom fram til grafisk lenger oppe på sida. Resten av framgangsmåten er som ved den grafiske løysinga. Vi får at

$L = {- \frac{π}{6} + k \cdot 2 π, \frac{π}{2} + k \cdot 2 π}, k \in ℤ$

Eit lite spørsmål til slutt: Kvifor kan vi ikkje bruke metoden på denne sida til å slå saman $\sin 2 x + \sqrt{3} \cos x$ til ein rein sinusfunksjon?

Forklaring

Metoden føreset at sinus- og cosinusfunksjonen har same verdi for parameteren $k$ , som betyr at funksjonane må ha same periode. Prøv å teikne funksjonen $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos x$ i GeoGebra og sjå kva du får!

Nedanfor har vi laga eit interaktivt GeoGebra-ark der du kan dra i glidarane $k_{1}$ og $k_{2}$ og regulere verdien for $k$ i dei to funksjonane $f$ og $g$ , som er ein sinus- og ein cosinusfunksjon. Grafen til $f$ er teikna med blått, og grafen til $g$ er teikna med grønt. Summen av funksjonane er funksjonen $h$ som er teikna med raudt.

Start med å setje $k_{1} = k_{2} = 1$ . Korleis ser grafen til $h$ ut?

Set deretter $k_{1} = 2$ . Korleis ser grafen til $h$ ut?

Last ned det interaktive GeoGebra-arket her(GGB)

Prøv med ulike verdiar for $k_{1}$ og $k_{2}$ . Korleis må dei to parametrane vere for at den raude grafen til summen $h (x) = f (x) + g (x)$ skal bli ei rein sinuskurve? Stemmer påstanden i forklaringsboksen over?

Samanslåing av trigonometriske funksjonar med GeoGebra

GeoGebra kan slå saman trigonometriske funksjonar for oss med kommandoen TrigKombiner().

CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrive TrigKombiner parentes sinus x pluss rota av 3 multiplisert med cosinus x komma, sinus x parentes slutt. Resultatet er 2 sinus parentes x pluss 1 tredjedels pi parentes slutt. Skjermutklipp.

Vi får det same som vi kom fram til ved rekning for hand over. Det er to argument til kommandoen. Det første argumentet er det uttrykket som skal slåast saman. Det andre argumentet er kva funksjon det skal leggast vekt på under samanslåinga. Prøv kommandoen TrigKombiner(sin(x)+sqrt(3)·cos(x),cos(x)) og sjå kva du får!

Du kan òg bruke GeoGebra til å gå motsett veg med kommandoen TrigUtvid().

CAS i GeoGebra. På linje 2 er det skrive TrigUtvid parentes 2 sinus parentes x pluss pi delt på 3 parentes slutt parentes slutt. Svaret er sinus x pluss rot 3 cosinus x. Skjermutklipp.

Samanfatning av sinusomforminga

Vi kan gjere omforminga

$a \sin k x + b \cos k x = A \sin (k x + φ)$

Då er

$A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

og

$\tan φ = \frac{b}{a}$

NB: Vi må passe på å velje den vinkelen $φ$ som ligg i same kvadrant som punktet $(a, b)$ .

Samanfatning av metodar vi kan bruke ved løysing av samansette trigonometriske likningar

Kan du skrive opp tre framgangsmåtar som kan brukast til å løyse samansette trigonometriske likningar?

Tre framgangsmåtar

Vi kan

forme om $\cos^{2} x$ til $\sin^{2} x$ eller motsett ved hjelp av einingsformelen
dividere med $\cos x$ og sjå om vi får forma om likninga til ei likning med berre tangensfunksjonen
slå saman sinus- og cosinusfunksjonar med metoden vist på denne sida

Film om samanslåing av trigonometriske funksjonar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0