Fag

Fagstoff

Interaktivt innhold

Video

Sammenslåing av trigonometriske funksjoner

Kan vi slå sammen trigonometriske uttrykk av typen A·sinkx og B·coskx?

En utfordrende likning

Vi ønsker å løse likningen

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$

Forklar hvorfor denne likningen ikke kan løses ved å dele på $\cos x$ i alle ledd.

Forklaring

Vi prøver å dele på $\cos x$ i alle ledd.

$\begin{array}{rcl} \sin x + \sqrt{3} \cos x & = & 1 \\ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} & = & \frac{1}{\cos x}, \cos x \neq 0 \\ \tan x + \sqrt{3} & = & \frac{1}{\cos x} \end{array}$

Vi kommer ikke videre i løsningen siden vi nå har både $\tan x$ og $\cos x$ i likningen. Denne løsningsmetoden ville ha fungert dersom høyresiden av likningen hadde vært 0.

Vi trenger en ny løsningsmetode for denne likningen.

Utforsking av venstre side av likningen

Vi skal utforske venstresiden av likningen. Tegn grafen til uttrykket på venstre side. Hva får du, og hva betyr det?

Resultat

Vi setter $f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ og tegner grafen med GeoGebra.

Grafen til f av x er lik sinus x pluss rot 3 cosinus x som er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 2 tredjedels pi og 7 tredjedels pi. Illustrasjon.

Vi får at grafen er en sinuskurve. Det betyr at det må være mulig å skrive venstresiden av likningen som én sinusfunksjon. Dersom vi klarer det, ender vi opp med en enkel likning med kun sinusfunksjonen.

Hvordan kan vi finne uttrykket for sinusfunksjonen som er tegnet i boksen over, ut ifra grafen?

Svar

Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

Vi kan finne parametrene $A, k, φ$ og $d$ grafisk ved å lese av periode og amplitude og finne likevektslinja og faseforskyvningen.

Finn uttrykket for $f (x)$ med metoden beskrevet over.

Løsning

Grafen til en ukjent sinusfunksjon er tegnet for x-verdier mellom minus pi fjerdedeler og 11 pi fjerdedeler. Perioden, likevektslinja, amplituden og faseforskyvningen er markert på figuren. Illustrasjon.

Utgangspunktet er den generelle sinusfunksjonen

$f (x) = A \sin (k x + φ) + d$

Vi får av grafen at

amplituden er 2, som gir $A = 2$
likevektslinja er $y = 0$ , som gir $d = 0$
perioden $p$ er $2 π$ , som gir
$p = \frac{2 π}{k} \Leftrightarrow k = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{2 π} = 1$
faseforskyvningen $x_{f}$ er $- \frac{π}{3}$ , som gir $𝜑 = - x_{f} \cdot k = - (- \frac{π}{3}) \cdot 1 = \frac{π}{3}$

Funksjonsuttrykket blir

$f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

Resultatet må bety at

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

En slik omforming kalles også for sinusomforming.

Vis at sammenhengen over er en identitet.

Tips

Bruk formelen for sinus til en sum av vinkler.

Bevis

Vi bruker formelen $\sin (u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v$ .

$\begin{array}{rcl} 2 \sin (x + \frac{π}{3}) & = & 2 (\sin x \cdot \cos \frac{π}{3} + \cos x \cdot \sin \frac{π}{3}) \\ = & 2 (\sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3}) \\ = & \sin x + \sqrt{3} \cos x \end{array}$

Løsning av likningen

Nå kan vi løse den opprinnelige likningen.

$\begin{array}{rcl} \sin x + \sqrt{3} \cos x & = & 1 \\ 2 \sin (x + \frac{π}{3}) & = & 1 \\ \sin (x + \frac{π}{3}) & = & \frac{1}{2} \\ x + \frac{π}{3} & = & \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \lor x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \\ x & = & - \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \lor x = \frac{π}{2} + k \cdot 2 π, \end{array}$

der $k \in ℤ$ . På løsningsmengdeform får vi

$L = {- \frac{π}{6} + k \cdot 2 π, \frac{π}{2} + k \cdot 2 π}, k \in ℤ$

Vi får samme løsning med CAS i GeoGebra.

CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet sinus til x pluss rota av 3 multiplisert med cosinus til x er lik 1. Svaret med "Løs" er x er lik 2 k 1 pi minus 1 sjettedels pi eller x er lik 2 k 1 pi pluss en halv pi. Skjermutklipp.

Omforming til én sinusfunksjon

Hvordan kan vi omforme en sum av en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon til én sinusfunksjon uten å tegne grafen slik vi gjorde over?

Vi ser igjen på den generelle sinusfunksjonen $A \sin (k x + φ)$ med $d = 0$ , og vi bruker formelen for sinus til en sum av vinkler.

$\begin{array}{rcl} A \sin (k x + φ) & = & A (\sin k x \cdot \cos φ + \cos k x \cdot \sin φ) \\ = & \underset{a}{\underset{⏟}{A \cos φ}} \cdot \sin k x + \underset{b}{\underset{⏟}{A \sin φ}} \cdot \cos k x \\ = & a \sin k x + b \cos k x \end{array}$

Vi får derfor at vi kan omforme en sum av en cosinusfunksjon og en sinusfunksjon med samme $k$ dersom

$A \cos φ = a$ , og $A \sin φ = b$

Hvor mange ukjente størrelser er det i disse to likningene?

Forklaring

Når vi skal gjøre denne omformingen, kjenner vi $a$ og $b$ . Vi har derfor to likninger med to ukjente: $A$ og $𝜑$ .

Dette likningssettet er ikke det enkleste å løse for hånd med vanlige metoder som innsettingsmetoden. Vi finner enklest løsningen ved først å utnytte at $\cos^{2} 𝜑 + \sin^{2} 𝜑 = 1$ :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a^{2} + b^{2}} & = & \sqrt{{(A \cos φ)}^{2} + (A \sin φ)^{2}} \\ = & \sqrt{A^{2} (\cos^{2} φ + \sin^{2} φ)} \\ = & \sqrt{A^{2} \cdot 1} \\ = & A \end{array}$

Da har vi funnet $A$ . Vi finner $𝜑$ ved å sette opp uttrykket $\frac{b}{a}$ .

$\frac{b}{a} = \frac{A \sin 𝜑}{A \cos 𝜑} = \tan 𝜑$

En tangenslikning har mange løsninger. Vi kan holde oss til første omløp, for vi trenger bare én løsning. Likningen har to løsninger i første omløp, men bare én av dem kan brukes. Forklaringen på det er:

Vi har at $A > 0$ siden den regnes ut fra et rotuttrykk.
Siden $a = A \cos 𝜑$ , må derfor $\cos 𝜑$ ha samme fortegn som $a$ .
Siden $b = A \sin 𝜑$ , må også $\sin 𝜑$ ha samme fortegn som $b$ .

I hvilken kvadrant i koordinatsystemet havner punktet $(a, b)$ dersom $a < 0$ og $b > 0$ ?

Svar

Et punkt med negativ $x$ -koordinat og positiv $y$ -koordinat havner alltid i andre kvadrant.

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. Et punkt utenfor sirkelen er tegnet inn. Punktet har koordinatene a og b. Linjestykket mellom origo og punktet skjærer sirkelen i et punkt med koordinatene cos fi og sin fi. Vinkelen fi mellom positiv x-akse og linjestykket er markert. Illustrasjon.

Figuren viser et eksempel der punktet $(a, b)$ blir liggende i andre kvadrant. Det betyr, som vi skrev over, at $a < 0$ og $b > 0$ . Siden $\cos 𝜑$ skal ha samme fortegn som $a$ og $\sin 𝜑$ samme fortegn som $b$ , må vinkelen $𝜑$ også ligge i andre kvadrant.

Konklusjonen må bli at vi må velge den vinkelen $𝜑$ som ligger i samme kvadrant som punktet $(a, b)$ . Tilsvarende blir det om punktet $(a, b)$ ligger i noen av de andre kvadrantene.

Tangensfunksjonen eksisterer ikke for alle vinkler. Hvorfor skaper ikke det problemer for oss?

Forklaring

$\tan 𝜑$ eksisterer ikke for $𝜑 = \frac{π}{2} \lor 𝜑 = \frac{3 π}{2}$ . Da er $\cos 𝜑 = 0$ . Det får vi bare dersom $a = 0$ , da har vi ingen sinusfunksjon i det opprinnelige uttrykket og ikke noe behov for å slå sammen noe.

Løsning på den utfordrende likningen ved regning

Vi prøver løsningsteknikken på likningen vi studerte øverst på siden. Du bør prøve å løse likningen på egen hånd før du går videre.

Likningen vi skal løse, er

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$

Vi må slå sammen de to leddene på venstre side. Her har vi at $a = 1$ og $b = \sqrt{3}$ . Da får vi at

$A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$

og

$\tan 𝜑 = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Hvilken kvadrant skal vinkelen $𝜑$ ligge i?

Svar

Siden både $a$ og $b$ er større enn null, må $𝜑$ ligge i første kvadrant.

Vi gjenkjenner $\sqrt{3}$ som en av de eksakte trigonometriske verdiene, og vi får at

$𝜑 = \frac{π}{3}$

Da kan vi omforme likningen til en enkel trigonometrisk likning.

$\begin{array}{rcl} \sin x + \sqrt{3} \cos x & = & 1 \\ 2 \sin (x + \frac{π}{3}) & = & 1 \end{array}$

Dette er det samme som vi kom fram til grafisk lenger oppe på siden. Resten av framgangsmåten er som ved den grafiske løsningen. Vi får at

$L = {- \frac{π}{6} + k \cdot 2 π, \frac{π}{2} + k \cdot 2 π}, k \in ℤ$

Et lite spørsmål til slutt: Hvorfor kan vi ikke bruke metoden på denne siden til å slå sammen $\sin 2 x + \sqrt{3} \cos x$ til en ren sinusfunksjon?

Forklaring

Metoden forutsetter at sinus- og cosinusfunksjonen har samme verdi for parameteren $k$ , som betyr at funksjonene må ha samme periode. Prøv å tegne funksjonen $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos x$ i GeoGebra og se hva du får!

Nedenfor har vi lagd et interaktivt GeoGebra-ark der du kan dra i gliderne $k_{1}$ og $k_{2}$ og regulere verdien for $k$ i de to funksjonene $f$ og $g$ , som er en sinus- og en cosinusfunksjon. Grafen til $f$ er tegnet med blått, og grafen til $g$ er tegnet med grønt. Summen av funksjonene er funksjonen $h$ som er tegnet med rødt.

Start med å sette $k_{1} = k_{2} = 1$ . Hvordan ser grafen til $h$ ut?

Sett deretter $k_{1} = 2$ . Hvordan ser grafen til $h$ ut?

Last ned det interaktive GeoGebra-arket her(GGB)

Prøv med ulike verdier for $k_{1}$ og $k_{2}$ . Hvordan må de to parametrene være for at den røde grafen til summen $h (x) = f (x) + g (x)$ skal bli en ren sinuskurve? Stemmer påstanden i forklaringsboksen over?

Sammenslåing av trigonometriske funksjoner med GeoGebra

GeoGebra kan slå sammen trigonometriske funksjoner for oss med kommandoen TrigKombiner().

CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet TrigKombiner parentes sinus x pluss rota av 3 multiplisert med cosinus x komma, sinus x parentes slutt. Resultatet er 2 sinus parentes x pluss 1 tredjedels pi parentes slutt. Skjermutklipp.

Vi får det samme som vi kom fram til ved regning for hånd over. Det er to argumenter til kommandoen. Det første argumentet er det uttrykket som skal slås sammen. Det andre argumentet er hvilken funksjon det skal legges vekt på under sammenslåingen. Prøv kommandoen TrigKombiner(sin(x)+sqrt(3)·cos(x),cos(x)) og se hva du får!

Du kan også bruke GeoGebra til å gå motsatt veg med kommandoen TrigUtvid().

CAS i GeoGebra. På linje 2 er det skrevet TrigUtvid parentes 2 sinus parentes x pluss pi delt på 3 parentes slutt parentes slutt. Svaret er sinus x pluss rot 3 cosinus x. Skjermutklipp.

Oppsummering av sinusomforminga

Vi kan gjøre omforminga

$a \sin k x + b \cos k x = A \sin (k x + φ)$

Da er

$A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

og

$\tan φ = \frac{b}{a}$

NB: Vi må passe på å velge den vinkelen $φ$ som ligger i samme kvadrant som punktet $(a, b)$ .

Oppsummering av metoder vi kan bruke ved løsning av sammensatte trigonometriske likninger

Kan du skrive opp tre framgangsmåter som kan brukes til å løse sammensatte trigonometriske likninger?

Tre framgangsmåter

Vi kan

omforme $\cos^{2} x$ til $\sin^{2} x$ eller motsatt ved hjelp av enhetsformelen
dividere med $\cos x$ og se om vi får omformet likningen til en likning med bare tangensfunksjonen
slå sammen sinus- og cosinusfunksjoner med metoden vist på denne siden

Film om sammenslåing av trigonometriske funksjoner

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0