Nokre derivasjonsreglar

Bakgrunn

Det å derivere ein funksjon $f\left(x\right)$ ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen $f^{\text{'}}\left(x\right)$ kan vere mykje arbeid. Det ser vi til dømes i oppgåve 3.4.20 e) på oppgåvesida "Definisjonen av den deriverte". Derfor lagar vi oss derivasjonsreglar som vi kan bruke i staden for definisjonen.

Eksempelfunksjon

Vi skal finne den deriverte til funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$

Kva slags derivasjonsreglar treng vi dersom vi skal sleppe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?

I utgangspunktet treng vi ein derivasjonsregel for polynomfunksjonar, sidan $f\left(x\right)$ er ein polynomfunksjon. Vi treng eigentleg to reglar til slike funksjonar.

• Vi må vite korleis vi deriverer ein funksjon av typen $a·x^n$ der $a$ er ein vilkårleg konstant og $n$ er eit positivt, heilt tal.

• Sidan funksjonen inneheld fleire ledd, må vi vite korleis vi deriverer funksjonar som består av fleire ledd, det vil seie funksjonar som $f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$.

Derivasjon av polynomfunksjonar

Derivasjonsregel

Vi ønsker å finne $f^{\text{'}}\left(x\right)$ når $f\left(x\right)=a·x^n$ der $a$ er ein vilkårleg konstant. I første omgang går vi ut frå at $n$ er eit positivt, heilt tal. Vi bruker det generelle uttrykket for gjennomsnittleg vekstfart, $\frac{∆y}{∆x}$, som er lik $f^{\text{'}}\left(x\right)$ når $∆x\to 0$.

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a{\left(x+∆x\right)}^n-a{x}^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{{\displaystyle \stackrel{n \mathrm{faktorer}}{\overbrace{\left(x+∆x\right)·\left(x+∆x\right)·...·\left(x+∆x\right)}}}-x^n}{∆x}\end{array}$

Vi får $n$ faktorar av typen $\left(x+∆x\right)$. Det er ein stor jobb å multiplisere ut ein stor potens av eit slikt uttrykk, og heldigvis treng vi ikkje det. Vi treng berre å sjå på nokre få av dei ledda vi får når potensen blir multiplisert ut.

Vi startar med det vi får ved å multiplisere alle $x$ frå kvar av dei $n$ faktorane. Dette gir leddet $x^n$. Det er det einaste leddet vi får av typen $x^n$ når vi multipliserer ut potensen. Så ser vi på det leddet vi får når vi multipliserer $∆x$ frå den første faktoren med $x$ frå dei $n-1$ andre faktorane. Då får vi leddet

$∆x·x^{n-1}$

Blir det fleire ledd av typen $∆x·x^{n-1}$? Svaret på det er ja. Dersom vi multipliserer $∆x$ frå den andre faktoren med $x$ frå den første faktoren og $x$frå dei $n-2$ andre faktorane, får vi

$∆x·x·x^{n-2}=∆x·x^{n-1}$

🤔 Tenk over: Kor mange ledd av typen $∆x·x^{n-1}$ blir det totalt?

Når vi slår saman desse $n$ ledda, får vi

$n·∆x·x^{n-1}$

Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesane, vil innehalde faktoren $∆x$ minimum to gonger, det vil seie at dei inneheld faktoren ${\left(∆x\right)}^2$. Det betyr at resten av ledda kan skrivast som

${\left(∆x\right)}^2\left(...\right)$

der den andre parentesen inneheld ledd med potensar av $x$ og $∆x$ med ulike kombinasjonar av eksponentar.

No kan vi gå tilbake til utrekninga av $\frac{∆y}{∆x}$.

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& a·\frac{x^n+n·∆x·x^{n-1}+{\left(∆x\right)}^2\left(...\right)-x^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{∆x\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)}{∆x}\\ & =& a\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)\end{array}$

Vi får forkorta bort $∆x$. No kan vi la $∆x$ gå mot 0 slik vi må gjere for å finne den deriverte funksjonen. Då forsvinn det andre leddet i parentesen, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right)=a·n{x}^{n-1}$

Det går an å vise at denne regelen gjeld for alle $n\in \mathrm{ℝ}$, ikkje berre for dei naturlege tala. Dette kjem vi tilbake til i faga R1 og S1.

Døme

Vi skal derivere $f\left(x\right)=3x^2$. Det betyr at $a=3$ og $n=1$. Då får vi at

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3·2x^{2-1}=6x^1=6x$

Derivasjon av funksjonar med to ledd

Vi ønsker å finne ut korleis vi deriverer funksjonar som består av to ledd. Vi set

$f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$

Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittleg vekstfart, $\frac{∆y}{∆x}$, og ser kva vi får.

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)+h\left(x+∆x\right)-\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)+h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)}{∆x}+\frac{h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\end{array}$

Når vi no lar $∆x$ gå mot 0, går det første leddet mot den deriverte av funksjonen $g$, det vil seie $g^{\text{'}}\left(x\right)$, mens det andre leddet går mot $h^{\text{'}}\left(x\right)$. Vi får derfor at

$f^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)+h^{\text{'}}\left(x\right)$

Konklusjonen blir at dersom ein funksjon er ein sum av to delfunksjonar blir den deriverte lik summen av den deriverte av kvar delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjeld òg når $f^{\text{'}}\left(x\right)$ består av tre eller fleire ledd, og du får studert dette nærare i ei av oppgåvene.

Derivasjon av ein konstant

Kva gjer vi dersom funksjonen inneheld eit konstantledd slik som eksempelfunksjonen øvst på sida? Vi veit at den deriverte av ein konstant er 0 fordi grafen til ein konstant funksjon er ei vassrett linje, som har stigningstal 0.

Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittleg vekstfart igjen. Vi set $f\left(x\right)=a$. Då får vi

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a-a}{∆x}\\ & =& 0\end{array}$

Her slepp vi å la $∆x$ gå mot null sidan han vart borte. Vi får at

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$

Tilbake til eksempelfunksjonen

No kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen $f$ frå øvst på sida.

$f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$

Vi deriverer ledd for ledd:

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·3·x^{3-1}-2·x^{2-1}+3·x^{1-1}+0\\ & =& 6x^2-2x+3\end{array}$