Drøfting av polynomfunksjonar

Monotonieigenskapar

Å finne ut kvar grafen til ein funksjon stig og kvar grafen søkk, blir kalla for å drøfte monotonieigenskapane til funksjonen.

Å drøfte ein funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotonieigenskapane og bestemme topp- og botnpunkt på grafen. Ei fellesnemning for topp- og botnpunkt er ekstremalpunkt.

Drøfting av polynomfunksjonar

Her kjem ei utfordring:

Teikn grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Teikn deretter tangentar til grafen for nokon $x$-verdiar mellom $-2$ og $3$.

Undersøk om det er ein samanheng mellom stigningstalet til tangentane og om grafen stig, søkk eller har topp- eller botnpunkt.

Her kan du sjå at

• stigningstalet til tangenten er positivt når grafen stig for stigande $x$-verdiar
• stigningstalet til tangenten er negativt når grafen søkk for stigande $x$-verdiar
• stigningstalet til tangenten er null i topp- og botnpunkt for stigande $x$-verdiar
  
  

Sidan stigningstalet til tangenten er lik den deriverte til funksjonen, betyr dette følgande:

Dette betyr at vi kan finne ut for kva verdiar av $x$ grafen til ein funksjon stig, for kva verdiar av $x$ han søkk og når han har topp- eller botnpunkt ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Vi viser dette gjennom nokre eksempel.

Døme 1

Vi skal finne eventuelle ekstremalpunkt (topp- og botnpunkt) til ein funksjon der den deriverte funksjonen har følgande graf:

Løysing

Den deriverte funksjonen, $f^{\text{'}}$, har nullpunkta $x=-2$ og $x=\frac{1}{3}$.

For $x<-2$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stig. For $-2<x<\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ søkk. Det betyr at funksjonen $f$ har eit toppunkt for $x=-2$.

For $-2<x<\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ søkk. For $x>\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stig. Det betyr at funksjonen $f$ har eit botnpunkt for $x=\frac{1}{3}$.

Vi teiknar grafen til ein funksjon som passar med opplysningane ovanfor:

Døme 2

Drøft monotonieigenskapane til ein funksjon der den deriverte funksjonen har grafen under til høgre.

Funksjonen $f$ har nullpunkt $x=\frac{1}{2}$ og $f\left(2\right)=1$.

Lag ei skisse av grafen til $f$.

Løysing

Vi kan setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$:

Vi legg merke til at den deriverte ikkje skifter forteikn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for $x\ne 2$. Det betyr at funksjonen er veksande både før og etter at $x=2$. Grafen til funksjonen $f$ har verken topp- eller botnpunkt for $x=2$, men sidan den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for $x=2$. Eit slikt punkt på grafen blir kalla for eit terrassepunkt.

Nedanfor har vi teikna ei skisse av grafen til $f$.

Stasjonære punkt

Eit stasjonært punkt er eit toppunkt eller eit botnpunkt dersom $f^{\text{'}}\left(x\right)$ skifter forteikn i punktet.

Eit terrassepunkt er eit stasjonært punkt der funksjonen ikkje endrar seg frå veksande til minkande eller frå minkande til veksande. Det vil seie at den deriverte ikkje skiftar forteikn.

Døme 3

På grunnlag av den deriverte funksjonen $f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x+4$ skal vi finne når grafen til funksjonen $f$ stig og når han søkk. Vi skal òg finne eventuelle topp- eller botnpunkt. Vidare skal vi utan hjelpemiddel finne eit mogleg funksjonsuttrykk for $f$.

Løysing

Vi set $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}-2x+4& = & 0\\ -2x& =& -4\\ x& =& 2\end{array}$

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige $x$-verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow , 2⟩$ og $⟨2, \to ⟩$ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(0\right)=-2·0+4=4>0\\ \\ f^{\text{'}}\left(3\right)=-2·3+4=-2<0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$:

Vi ser av forteiknslinja at grafen veks for $x\in \langle \leftarrow , 2\rangle$ , og at grafen søkk når $x\in ⟨2, \to ⟩$.

Grafen til $f\left(x\right)$ har derfor eit toppunkt når $x=2$.

Vi veit at viss toppunktet ligg over $x$-aksen, så har grafen to nullpunkt. Grafen er òg symmetrisk om symmetrilinja som går gjennom toppunktet. Ein funksjon med nullpunkt $x=1$ og $x=3$ og med negativ koeffisient før andregradsleddet, vil derfor oppfylle krava.

Ein mogleg funksjon er derfor

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -\left(x-1\right)\left(x-3\right)\\ & =& -\left(x^2-3x-x+3\right)\\ & =& -x^2+4x-3\end{array}$

Toppunktet for denne funksjonen er

$(2, f(2\left)\right)=\left(2, -2^2+4·2-3\right)=\left(2, -4+8-3\right)=(2, 1)$

Vi teiknar grafen i GeoGebra og ser at det vi har funne utan hjelpemiddel er riktig.

Døme 4

Vi skal drøfte monotonieigenskapane til $f$ utan hjelpemiddel og finne eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}$

I tillegg skal vi finne nok opplysningar om funksjonen til å teikne ei skisse av grafen.

Løysing

Vi deriverer funksjonen.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& -\frac{1}{4}·3·x^{3-1}-\frac{5}{8}·2·x^{2-1}+\frac{1}{2}·1·x^{1-1}+0\\ & =& -\frac{3}{4}{x}^2-\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}\end{array}$

Vi set $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}& = & 0\\ x& =& \frac{-\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)\pm \sqrt{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-4·\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)·{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{2·\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}\\ x& =& \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}+{\displaystyle \frac{24}{16}}}}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}\\ x& =& \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}\pm \frac{7}{4}}}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}=-\frac{5\pm 7}{6}\\ x& =& \frac{1}{3} \mathrm{eller} x=-2\\ & & \end{array}$

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow , -2⟩, ⟨-2, \frac{1}{3}⟩$ og $⟨\frac{1}{3}, \to ⟩$ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-3\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(-3\right)}^2-\frac{5}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{2}=-\frac{27}{4}+\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=-\frac{10}{4}<0\\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(0\right)}^2-\frac{5}{4}\left(0\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(1\right)}^2-\frac{5}{4}\left(1\right)+\frac{1}{2}=-2+\frac{1}{2}<0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av forteiknslinja at

• Grafen søkk for $x\in ⟨\leftarrow , -2⟩$ og for $x\in ⟨\frac{1}{3}, \to ⟩$.
• Grafen stig for $x\in ⟨-2, \frac{1}{3}⟩$.

Grafen til $f$ har altså eit toppunkt når $x=\frac{1}{3}$ og eit botnpunkt når $x=-2$ .

$\begin{array}{rcl}f\left(-2\right)& = & -\frac{1}{4}{\left(-2\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(-2\right)}^2+\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{8}=\frac{16}{8}-\frac{20}{8}-\frac{8}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{9}{8}\\ & & \\ f\left(\frac{1}{3}\right)& =& -\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{8}=-\frac{1}{2^2·3^{{}^3}}-\frac{5}{2^3·3^2}+\frac{1}{2·3}+\frac{3}{2^3}\\ & & \\ & =& \frac{-2-15+36+81}{2^3·3^3}=\frac{100}{2^3·3^3}=\frac{25}{54}\end{array}$

Toppunktet er $\left(\frac{1}{3} , f\left(\frac{1}{3}\right)\right)=\left(\frac{1}{3} , \frac{25}{54}\right)$.
Botnpunktet er $\left(-2 , f\left(-2\right)\right)=\left(-2 ,- \frac{9}{8}\right)$.

Det står no att å finne nullpunkta til $f$ for å ha tilstrekkeleg grunnlag for å teikne ei skisse av grafen.

Funksjonsuttrykket til $f$ er eit tredjegradspolynom. Vi prøver om $x=-1$ kan vere eit nullpunkt for polynomet:

$f\left(-1\right)=-\frac{1}{4}{\left(-1\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(-1\right)}^2+\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{8}=\frac{2}{8}-\frac{5}{8}-\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{4}{8}\ne 0$

Vi prøver om $x=1$ kan vere eit nullpunkt for polynomet:

$f\left(1\right)=-\frac{1}{4}{\left(1\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(1\right)}^2+\frac{1}{2}\left(1\right)+\frac{3}{8}=-\frac{2}{8}-\frac{5}{8}+\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=0$

Det betyr $f\left(x\right)$ er deleleg med $x-1$.

Vi gjer polynomdivisjonen:

$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & -& \frac{1}{4}& x^3& -& \frac{5}{8}& x^2& +& \frac{1}{2}& x& +& \frac{3}{8}& :& (& x& -& 1& )& =& -\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8}& & & & & \\ -& (& -& \frac{1}{4}& x^3& +& \frac{1}{4}& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & -& \frac{7}{8}& x^2& +& \frac{1}{2}& x& +& \frac{3}{8}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & -& (& -& \frac{7}{8}& x^2& +& \frac{7}{8}& x& )& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{8}& x& +& \frac{3}{8}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{8}& x& +& \frac{3}{8}& )& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & \end{array}$

No er $f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8}\right)\left(x-1\right)$.

Vi løyser så likninga

$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8} & =& 0\\ 2x^2+7x+3 & =& 0\\ x & =& \frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{-7\pm 5}{4}\\ x & =& -\frac{1}{2} \mathrm{eller} x=-3\end{array}$

Det betyr at $f\left(x\right)$ har nullpunkta $x=-3, x=-\frac{1}{2} \mathrm{og} x=1.$

På grunnlag av dei opplysningane vi no har, kan vi teikne ei skisse av grafen. Vi teiknar her grafen i GeoGebra: