Oppgåve

Integrasjonsmetodar – blanda oppgåver

Kva metode skal du bruke? Her kan du øve på integrasjonsmetodane. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Du finn løysingane til oppgåvene nedst på sida.

Oppgåve 1

Det er i nokre tilfelle mogleg å bruke fleire integrasjonsmetodar for å bestemme eit integral. I denne oppgåva skal vi sjå på eit døme på nettopp dette.

Vi skal bestemme $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$ .

a) Grunngi at vi kan bruke delbrøkoppspalting for å bestemme integralet, og utfør integrasjonen ved bruk av delbrøkoppspalting.

b) Grunngi at vi òg kan velje å bruke integrasjon ved variabelskifte i dette tilfellet, og bestem integralet på nytt ved bruk av variabelskifte for å kontrollere at du får det same resultatet.

c) Kva for ein av metodane var mest effektiv?

I denne oppgåva må du vurdere kva integrasjonsmetode du kan bruke for å bestemme integrala som blir gitt. I nokre tilfelle vil fleire av metodane vere moglege å bruke, andre vil krevje ein kombinasjon av metodar, og i nokre oppgåver må du skrive om uttrykket før du kan nytte ein metode.

a) $\int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x$

b) $\int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x$

c) $\int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x$

d) $\int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x$

e) $\int \begin{array}{rcl} \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{x^{3}} \end{array} d x$

f) $\int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x$

g) $\int x^{3} \sqrt{x} d x$

h) $\int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x$

i) $\int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x$

j) $\int \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} d x$

Oppgåve 3

I fagartikkelen "Omvende trigonometriske funksjonar" kom vi fram til desse samanhengane:

Omvende trigonometriske funksjonar
Funksjon: $f (x)$	Omvend funksjon: $g (x)$	$g^{'} (x)$
$\sin x$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\cos x$	$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan x$	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bruk desse samanhengane til å bestemme integrala nedanfor. Hugs at derivasjon og integrasjon er motsette rekneoperasjonar.

a) $\int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x$

b) $\int \frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}} d x$

c) $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$

d) $\int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}} d x$

Oppgåve 4

I denne oppgåva skal vi sjå korleis vi kan bestemme $\int \frac{x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x$ .

a) Studer integralet og kommenter kva vi må vere merksam på før vi startar med integrasjonen, og kva som eventuelt er annleis med dette integralet samanlikna med integral som vi har bestemt tidlegare.

b) Sidan nemnaren har to like førstegradsfaktorar, tek vi med ein ekstra brøk som har nemnar lik $x^{2}$ , det vil seie produktet av dei like faktorane. Vi hugsar frå oppgåvene om delbrøkoppspalting at vi dermed unngår å få ein situasjon der vi ikkje finn verdiar for $A$ og $B$ . Delbrøkoppspalting av dette integralet vil då vere slik:

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x & = & \int (\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}) d x \\ = & \int (\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x}{x^{2} + 1} + \frac{D}{x^{2} + 1}) \end{array}$

Kvifor vel vi å splitte brøken $\frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ i to brøkar?

c) Bestem $A$ , $B$ , $C$ og $D$ , og set opp det bestemde integralet.

d) Bestem integralet ut frå det vi no har komme fram til.

Løysingar

Oppgåve 1a)

Løysing

Integranden er ein brøk der teljaren har lågare grad enn nemnaren. Nemnaren har reelle nullpunkt og kan faktoriserast i ulike førstegradsfaktorar. Dette betyr at vi kan dele brøken i to brøkar med ulike nemnarar, noko som gir at integrasjon ved delbrøkoppspalting er mogleg.

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:

$x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2)$

Vi spaltar brøken i to brøkar med $A$ og $B$ som teljarar, og set opp likning for å bestemme $A$ og $B$ :

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 2} = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8}$

$\begin{array}{rcl} A (x - 2) + B (x + 4) & = & x + 1 \\ A x - 2 A + B x + 4 B & = & x + 1 \end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl} A + B & = & 1 & - 2 A + 4 B & = & 1 \\ A & = & 1 - B & - 2 (1 - B) + 4 B & = & 1 \\ - 2 + 2 B + 4 B & = & 1 \\ 6 B & = & 3 \\ A & = & 1 - \frac{1}{2} & B & = & \frac{1}{2} \\ A & = & \frac{1}{2} \end{array}$

Vi set inn for $A$ og $B$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x & = & \int (\frac{\frac{1}{2}}{x + 4} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}) d x \\ = & \frac{1}{2} \ln |x + 4| + \frac{1}{2} \ln |x - 2| + C \\ = & \frac{1}{2} (\ln |x + 4| + \ln |x - 2|) + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |(x + 4) (x - 2)| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2 x - 8| + C \end{array}$

Oppgåve 1b)

Løysing

Integrasjon ved variabelskifte krev at dersom vi set ein faktor lik $u$ , vil den deriverte av denne faktoren, $\frac{d u}{d x}$ , forkorte bort eventuelle faktorar med $x$ som framleis står i den opphavlege integranden etter at vi har sett inn $u$ .

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Vi set $u = x^{2} + 2 x - 8$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x + 2 \\ d x = \frac{d u}{2 x + 2} \\ d x = \frac{d u}{2 (x + 1)} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x & = & \int \frac{x + 1}{u} \frac{d u}{2 (x + 1)} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2 x - 8| + C \end{array}$

Oppgåve 1c)

Løysing

Integrasjon med variabelskifte var mest effektivt.

Det er vanleg å velje integrasjon med delbrøkoppspalting dersom integranden er ein brøk, men det lønner seg å sjekke om integrasjon med variabelskifte er mogleg.

Oppgåve 2a)

Løysing

$\int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x$

Her kan vi bruke dei generelle reglane for integrasjon av polynom ved å gjere ei omskriving først:

$\begin{array}{rcl} \int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x & = & \int (x^{- 5} - 2 x^{- 3}) d x \\ = & \frac{1}{- 5 + 1} x^{- 5 + 1} - 2 \cdot \frac{1}{- 3 + 1} x^{- 3 + 1} + C \\ = & - \frac{1}{4} x^{- 4} - (- \frac{2}{2} x^{- 2}) + C \\ = & - \frac{1}{4 x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + C \end{array}$

Oppgåve 2b)

Løysing

$\int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x$

Her kan vi utføre polynomdivisjon før vi integrerer ved hjelp av dei generelle reglane:

$\begin{matrix} (x & + & 5) & : & (2 x & + & 3) & = & \frac{1}{2} & + & \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 3} \\ - & (x & + & \frac{3}{2}) \\ \frac{7}{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x & = & \int (\frac{1}{2} + \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 3}) d x \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{7}{4} \ln |2 x + 3| + C \end{array}$

Oppgåve 2c)

Løysing

$\int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x$

Vi vel integrasjon ved variabelskifte.

Vi set $u = 2 x^{3} + 4 x + 5$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 6 x^{2} + 4 \\ d x = \frac{d u}{6 x^{2} + 4} \\ d x = \frac{d u}{2 (3 x^{2} + 2)} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x & = & \int \frac{3 x^{2} + 2}{{(u)}^{3}} \frac{d u}{2 (3 x^{2} + 2)} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u \\ = & \frac{1}{2} \int u^{- 3} + C \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2} \cdot u^{- 2} + C \\ = & - \frac{1}{4} {(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{- 2} + C \\ = & - \frac{1}{4 {(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{2}} + C \end{array}$

Oppgåve 2d)

Løysing

Her kan vi bruke regelen for integrasjon av eksponentialfunksjonar i kombinasjon med gjenteken delvis integrasjon.

Vi bestemmer først $\int e^{2 x + 7} d x$ :

$\int e^{2 x + 7} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 7} + C$

Vi må no utføre delvis integrasjon to gonger sidan vi har ein andregradsfaktor i integranden:

$\int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x$

Vi vel $v$ og $u^{'}$ :

$v = 5 x^{2}$ , som gir $v^{'} = 10 x$
$u^{'} = e^{2 x + 7}$ , som gir $u = \frac{1}{2} e^{2 x + 7}$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$\begin{array}{rcl} \int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x & = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 10 x d x \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 \int e^{2 x + 7} \cdot x d x \end{array}$

Vi vel $v$ og $u^{'}$ :

$v = x$ , som gir $v^{'} = 1$
$u^{'} = e^{2 x + 7}$ , som gir $u = \frac{1}{2} e^{2 x + 7}$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$\begin{array}{rcl} \int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x & = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 \int e^{2 x + 7} \cdot x \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 (\frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot x - \int \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 1 d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 (\frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot x - \frac{1}{2} \int e^{2 x + 7} d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} (e^{2 x + 7} \cdot x - \int e^{2 x + 7} d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} (e^{2 x + 7} \cdot x - \frac{1}{2} e^{2 x + 7}) + C \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} e^{2 x + 7} \cdot x + \frac{5}{4} e^{2 x + 7} + C \\ = & \frac{5}{4} e^{2 x + 7} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \end{array}$

Oppgåve 2e)

Løysing

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{x^{3}} d x & = & \int \frac{4 x^{2} - 12 x + 9}{x^{3}} d x \\ = & \int (\frac{4 x^{2}}{x^{3}} - \frac{12 x}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}) d x \\ = & \int (\frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}) d x \\ = & \int (\frac{4}{x} - 12 x^{- 2} + 9 x^{- 3}) d x \\ = & 4 \ln |x| + 12 x^{- 1} - 9 \frac{1}{2} x^{- 2} + C \\ = & 4 \ln |x| + \frac{12}{x} - \frac{9}{2 x^{2}} + C \end{array}$

Oppgåve 2f)

Løysing

Vi formar først om radikanden slik at vi får eit produkt.

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x & = & \int \sqrt{x^{2} (1 - 3 x^{2})} d x \\ = & \int \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \\ = & \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \end{array}$

No kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte:

Vi set $u = 1 - 3 x^{2}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 6 x \\ d x = - \frac{d u}{6 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x & = & \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \\ = & \int x \sqrt{u} \cdot \frac{d u}{- 6 x} \\ = & - \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \cdot d u \\ = & - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{9} {(1 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

Oppgåve 2g)

Løysing

Her trengst det ikkje meir enn dei grunnleggande reglane for integrasjon av polynom dersom vi formar om uttrykket.

$\begin{array}{rcl} \int x^{3} \sqrt{x} d x & = & \int x^{3} \cdot x^{\frac{1}{2}} d x \\ = & \int x^{\frac{7}{2}} d x \\ = & \frac{1}{\frac{7}{2} + 1} x^{\frac{7}{2} + 1} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{4} \cdot x^{\frac{1}{2}} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{4} \cdot \sqrt{x} + C \end{array}$

Oppgåve 2h)

Løysing

Vi ser at teljaren er ei grad lågare enn nemnaren i begge ledda som inneheld $x$ . Dette kan bety at integrasjon ved variabelskifte kan vere mogleg. Vi prøver derfor denne metoden:

$\int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x$

Vi set $u = x^{5} - 5 x^{2} + 3$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 x^{4} - 10 x \\ d x = - \frac{d u}{5 x^{4} - 10 x} \\ d x = - \frac{d u}{- 5 (2 x - x^{4})} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x & = & \int \frac{2 x - x^{4}}{u} \cdot \frac{d u}{- 5 (2 x - x^{4})} \\ = & - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & - \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & - \frac{1}{5} \ln |x^{5} - 5 x^{2} + 3| + C \end{array}$

Oppgåve 2i)

Løysing

Vi prøver integrasjon ved variabelskifte sidan vi veit at derivasjon av $\ln (x) = \frac{1}{x}$ , som vil gjere at vi kan forkorte bort $x$ i nemnaren.

$\int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x$

Vi set $u = \ln 3 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x} \cdot 3 \\ \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = x \cdot d u \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln 3 x)}^{3} + C \end{array}$

Oppgåve 2j)

Løysing

Denne oppgåva kan løysast ved hjelp av polynomdivisjon og delbrøkoppspalting:

Vi ser at teljaren har høgare grad enn nemnaren, og vi startar derfor med polynomdivisjon:

$\begin{array}{ccccccccccccccccrcrrcrcrcccccccccccc} ( & x^{3} & + & x^{2} & + & x & + & 1 & ) & : & ( & x^{2} & - & 2 & x & - & 3 & ) & = & x + 3 + \frac{10 x + 10}{x^{2} - 2 x - 3} \end{array}$ $\begin{array}{ccrcrrcrcr} - & ( & x^{3} & - & 2 & x^{2} & - & 3 x & ) \\ 3 & x^{2} & + & 4 x & + & 1 \\ - & ( & 3 & x^{2} & - & 6 x & - & 9 \\ 10 x & + & 10 \end{array}$

Integralet blir no slik:

$\int (x + 3 + \frac{10 x + 10}{x^{2} - 2 x - 3}) d x$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:

$x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

Vi spaltar brøken i to brøkar med $A$ og $B$ som teljarar:

$\int (x + 3 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 3}) d x$

Vi set opp likning for å bestemme $A$ og $B$ :

$\begin{array}{rcl} A (x - 3) + B (x + 1) & = & 10 x + 10 \\ A x - 3 A + B x + B & = & 10 x + 10 \end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl} A + B & = & 10 & - 3 A + B & = & 10 \\ B & = & 10 - A & - 3 A + 10 - A & = & 10 \\ - 4 A & = & 0 \\ B & = & 10 & A & = & 0 \end{array}$

Vi set inn for $A$ og $B$ , og vi ser at ein brøk blir lik 0. Når $A$ eller $B$ blir lik 0, er det fordi vi har ein slik situasjon der ein faktor kan forkortast bort. Dette kjem fram i den alternative løysinga nedanfor.

$\begin{array}{rcl} \int (x + 3 + \frac{0}{x + 1} + \frac{10}{x - 3}) d x & = & \int (x + 3 + \frac{10}{x - 3}) d x \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 10 \ln |x - 3| + C \end{array}$

Alternativ løysing: Faktoriser teljaren og nemnaren først, gjennomfør deretter ein enklare polynomdivisjon. For å faktorisere teljaren må vi sjå at han har nullpunkt for $x = - 1$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} d x & = & \int \frac{(x + 1) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 3)} d x \\ = & \int \frac{x^{2} + 1}{(x - 3)} d x \\ = & \int x + 3 + \frac{10}{x - 3} \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 10 \ln |x - 3| + C \end{array}$

Oppgåve 3a)

Løysing

Dette minner om den deriverte av $\arctan x$ , og dersom vi formar om uttrykket, kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte.

$\int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x = \int \frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} d x$

Vi set $u = 5 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x & = & \int \frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} d x \\ = & \int \frac{1}{1 + {(u)}^{2}} \cdot \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot d u \\ = & \frac{1}{5} \arctan u + C \\ = & \frac{1}{5} \arctan 5 x + C \end{array}$

Oppgåve 3b)

Løysing

Dette minner om den deriverte av $\arcsin x$ , og ei omforming av uttrykket gjer at vi kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x)}^{2}}} d x$

Vi set $u = 6 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 6 \\ d x = \frac{d u}{6} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}} d x & = & \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x)}^{2}}} d x \\ = & \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(u)}^{2}}} \cdot \frac{d u}{6} \\ = & \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u \\ = & \frac{1}{6} \arcsin u + C \\ = & \frac{1}{6} \arcsin 6 x + C \end{array}$

Oppgåve 3c)

Løysing

Her ser vi òg at ei omforming av uttrykket gjer at vi kan bruke integrasjon ved variabelskifte.

$\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x = \int \frac{e^{x}}{1 + {(e^{x})}^{2}} d x$

Vi set $u = e^{x}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = e^{x} \\ d x = \frac{d u}{e^{x}} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x & = & \int \frac{e^{x}}{1 + {(e^{x})}^{2}} d x \\ = & \int \frac{e^{x}}{1 + {(u)}^{2}} \cdot \frac{d u}{e^{x}} \\ = & \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u \\ = & \arctan u + C \\ = & \arctan e^{x} + C \end{array}$

Oppgåve 3d)

Løysing

$\int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}} d x = \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {(\sin x)}^{2}}} d x$

Vi set $u = \sin x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \cos x \\ d x = \frac{d u}{\cos x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}} d x & = & \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {(\sin x)}^{2}}} d x \\ = & \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {(u)}^{2}}} \cdot \frac{d u}{\cos x} \\ = & \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u \\ = & \arcsin u + C \\ = & \arcsin (\sin x) + C \end{array}$

Oppgåve 4a)

Løysing

Denne oppgåva ser ut til å krevje integrasjon med delbrøkoppspalting. Teljaren er ein grad lågare enn nemnaren, noko som gjer at vi ikkje treng å nytte polynomdivisjon. Vi ser òg at dersom vi faktoriserer nemnaren, så består han av to like førstegradsfaktorar, $x \cdot x$ , og ein faktor av andre grad som ikkje er mogleg å faktorisere, $x^{2} + 1$ .

Oppgåve 4b)

Løysing

Vi splittar brøken i to brøkar fordi vi treng to likningar for å bestemme to ukjende, og det får vi ved å splitte opp.

Oppgåve 4c)

Løysing

$\int \frac{x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x = \int (\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x}{x^{2} + 1} + \frac{D}{x^{2} + 1})$

$\begin{array}{rcl} A (x^{2} + 1) + B x (x^{2} + 1) + (C x) x^{2} + D x^{2} & = & x^{3} - 2 x + 1 \\ A x^{2} + A + B x^{3} + B x + C x^{3} + D x^{2} & = & x^{3} - 2 x + 1 \end{array}$

Vi finn $A$ og $B$ direkte av likninga:

$A = 1, B = - 2$

$\begin{array}{rclcrclcrcl} A + D & = & 0 & B + C & = & 1 \\ D & = & - A & C & = & 1 - B \\ D & = & - 1 & C & = & 1 - (- 2) \\ C & = & 3 \end{array}$

$\int (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x - 1}{x^{2} + 1}) d x = \int (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Oppgåve 4d)

Løysing

Vi kan integrere tre av dei fire brøkane direkte, men brøken $\frac{3 x}{x^{2} + 1}$ må integrerast ved hjelp av variabelskifte, og vi viser dette først:

$\int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Vi set $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{3 x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{3}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{3}{2} \ln |x^{2} + 1| + C \end{array}$

Med dette på plass kan vi bestemme heile integralet:

$\begin{array}{rcl} \int \end{array} \begin{array}{rcl} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x - 1}{x^{2} + 1}) \end{array} \begin{array}{rcl} d \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array}$

$\begin{matrix} = & \begin{array}{rcl} \int \end{array} \begin{array}{rcl} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{1 + x^{2}}) \end{array} \begin{array}{rcl} d \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = & \begin{array}{rcl} - \frac{1}{x} - 2 \ln |x| + \frac{3}{2} \ln (x^{2} + 1) + \arctan x + C \end{array} \end{matrix}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.