Oppgåve

Interaktivt innhald

Integrasjon ved variabelskifte

Her kan du øve på integrasjon med variabelskifte, som òg blir kalla substitusjon. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåvene på denne sida skal du, når ikkje anna er opplyst, gjere utan digitale hjelpemiddel.

Oppgåve 1

Bestem integrala.

a) $\int {(3 x + 1)}^{2} d x$

Tips

Set $u = 3 x + 1$ .

Løysing

Vi set $u = 3 x + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int {(3 x + 1)}^{2} d x & = & \int u^{2} \frac{d u}{3} \\ = & \frac{1}{3} \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3} + C \end{array}$

b) $\int \sqrt{3 - 4 x} d x$

Tips

Set $u = 3 - 4 x$ og bruk regelen for integrasjon av kvadratrot.

Løysing

Vi set $u = 3 - 4 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 4 \\ d x = - \frac{d u}{4} = - \frac{1}{4} d u \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{3 - 4 x} d x & = & \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u \\ = & - \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u \\ = & - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u \\ = & - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{6} \cdot {(3 - 4 x)}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

c) $\int \frac{1}{5 x + 2} d x$

Tips

Set $u = 5 x + 2$ .

Løysing

Vi set $u = 5 x + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{5 x + 2} d x & = & \int \frac{1}{u} \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |5 x + 2| + C \end{array}$

d) $\int \sin 2 x d x$

Tips

Set $u = 2 x$ .

Løysing

Vi set $u = 2 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 \\ d x = \frac{d u}{2} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sin 2 x d x & = & \int \sin u \frac{d u}{2} \\ = & \frac{1}{2} \int \sin u d u \\ = & - \frac{1}{2} \cos u + C \\ = & - \frac{1}{2} \cos 2 x + C \end{array}$

e) $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Tips

Her har vi $x$ i både teljaren og nemnaren.

Kva kan vi velje som $u$ som gjer at vi får forkorta bort det som er igjen av $x$ ?

Løysing

Vi set $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C \end{array}$

Legg merke til at vi fjernar absoluttverditeiknet frå nest siste til siste linje i løysinga. Dette kan vi gjere fordi $(x^{2} + 1)$ alltid vil vere positiv.

f) $\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x$

Løysing

Vi set $u = \ln x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = d u \cdot x \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln x)}^{3} + C \end{array}$

g) $\int (\cos (x^{2} + 1) \cdot x) d x$

Løysing

Vi set $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\cos (x^{2} + 1) \cdot x) d x & = & \int \cos u \cdot x \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \cos u d u \\ = & \frac{1}{2} \sin u + C \\ = & \frac{1}{2} \sin (x^{2} + 1) + C \end{array}$

h) $\int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x$

Løysing

Vi set $u = x^{2} + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x & = & \int x \cdot u^{6} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int u^{6} d u \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C \\ = & \frac{1}{14} {(x^{2} + 2)}^{7} + C \end{array}$

i) $\int \tan x d x$

Tips

Bruk at $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Løysing

$\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x$

Vi set $u = \cos x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ d x = \frac{d u}{- \sin x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \tan x d x & = & \int \frac{\sin x}{\cos x} d x \\ = & \int \frac{\sin x}{u} \cdot \frac{d u}{- \sin x} \\ = & - \int \frac{1}{u} d u \\ = & - \ln |u| + C \\ = & - \ln |\cos x| + C \end{array}$

Oppgåve 2

Bestem integrala.

a) $\int \cos 2 x d x$ .

Løysing

Vi set $u = 2 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 \\ d x = \frac{d u}{2} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \cos 2 x d x & = & \int \cos u \frac{d u}{2} \\ = & \frac{1}{2} \int \cos u d u \\ = & \frac{1}{2} \sin u + C \\ = & \frac{1}{2} \sin 2 x + C \end{array}$

b) $\int \cos^{2} x d x$

Tips

Bruk resultatet frå oppgåve a) og samanhengen $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} \cos 2 x & = & 2 \cos^{2} x - 1 \\ \cos 2 x + 1 & = & 2 \cos^{2} x \\ \frac{1}{2} (\cos 2 x + 1) & = & \cos^{2} x \end{array}$

Det ubestemde integralet blir då

$\int \cos^{2} x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \int \begin{array}{rcl} (\cos 2 x + 1) d x \end{array}$

Vi veit frå oppgåve a) at $\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C$ .

Vi får denne løysinga:

$\begin{array}{rcl} \int \cos^{2} x d x & = & \frac{1}{2} \int (\cos 2 x + 1) d x \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 2 x + x) + C \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{array}$

c) $\int \sin^{2} x d x$

Tips

Bruk samanhengen $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ og resultatet frå oppgåve b).

Løysing

$\begin{array}{rcl} \sin^{2} x + \cos^{2} & x = & 1 \\ \sin^{2} & x = & 1 - \cos^{2} x \end{array}$

Det ubestemde integralet blir då

$\int \sin^{2} x d x = \int \begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) d x \end{array}$

Vi veit frå oppgåve b) at $\int \cos^{2} x d x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C$ , og vi får då den følgande løysinga:

$\begin{array}{rcl} \int \sin^{2} x d x & = & \int \begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) d x \end{array} \\ = & x - (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x) + C \\ = & x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C \\ = & \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{array}$

Oppgåve 3

a) Kva to moglegheiter har vi ved val av $u$ dersom vi skal løyse det ubestemde integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved hjelp av variabelskifte?

Løysing

Vi kan anten velje $u = \sin x$ eller $u = \cos x$ .

b) Bestem integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved å setje $u = \sin x$ .

Løysing

Vi set $u = \sin x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \cos x \\ d x = \frac{d u}{\cos x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\sin x \cdot \cos x) d x & = & \int u \cdot \cos x \cdot \frac{d u}{\cos x} \\ = & \int u d u \\ = & \frac{1}{2} u^{2} + C \\ = & \frac{1}{2} \sin^{2} x + C \end{array}$

c) Bestem integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved å setje $u = \cos x$ .

Løysing

Vi set $u = \cos x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ d x = - \frac{d u}{\sin x} \end{array}$

Vi set inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\sin x \cdot \cos x) d x & = & \int \sin x \cdot u \frac{d u}{- \sin x} \\ = & - \int u d u \\ = & - \frac{1}{2} u^{2} + C \\ = & - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C \end{array}$

Løysinga vi får når vi vel $u = \cos x$ , er ikkje den same som når vi vel $u = \sin x$ .

d) Vi har i b) og c) brukt to ulike løysingsmetodar for å bestemme $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ , og vi har fått to ulike uttrykk som resultat. Kontroller begge resultata ved derivasjon. Kommenter.

Løysing

$\begin{array}{rcl} {(\frac{1}{2} \sin^{2} x + C)}^{'} & = & {(\frac{1}{2} \sin x \cdot \sin x + C)}^{'} \\ = & \frac{1}{2} (\cos x \cdot \sin x + \sin x \cdot \cos x) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \\ = & \sin x \cdot \cos x \end{array}$

$\begin{array}{rcl} {(- \frac{1}{2} \cos^{2} x + C)}^{'} & = & {(- \frac{1}{2} \cos x \cdot \cos x + C)}^{'} \\ = & - \frac{1}{2} (- \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot - \sin x) \\ = & - \frac{1}{2} \cdot (- 2 \sin x \cdot \cos x) \\ = & \sin x \cdot \cos x \end{array}$

Derivasjon viser at vi i begge tilfella kjem tilbake til det opphavlege uttrykket.

e) Korleis kan dei to uttrykka vi har fått til svar, begge vere korrekte løysingar av det ubestemde integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ?

Løysing

Det som er viktig å vere merksam på, er at det i kvar av løysingane er ein konstant, som vi har kalla C. Dersom vi skal samanlikne dei to resultata, må vi hugse at desse konstantane ikkje treng å vere like. Vi skriv derfor opp dei to resultata slik:

$\frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1}$
$- \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2}$

Dersom vi set dei to resultata lik kvarandre, får vi følgande:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1} & = & - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2} \\ \frac{1}{2} \sin^{2} x + \frac{1}{2} \cos^{2} x & = & C_{2} - C_{1} \\ \frac{1}{2} (\sin^{2} x + \cos^{2} x) & = & C_{2} - C_{1} \\ \frac{1}{2} & = & C_{2} - C_{1} \end{array}$

Når differansen mellom dei to konstantane er $\frac{1}{2}$ , er uttrykka like. Dei "ukjende" konstantane kompenserer altså for ulikskapen i resultata.

f) Endring av storleiken av ein konstant som er eit ledd i eit funksjonsuttrykk, vil ikkje føre til endring i forma på grafen, men vil berre føre til ei flytting vertikalt (opp eller ned) i koordinatsystemet.

Vi definerer to funksjonar ut frå dei to resultata vi har fått i denne oppgåva:

$f (x) = \frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1}$

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2}$

Lag eit interaktivt GeoGebra-ark som viser at endringar i $C_{1}$ og/eller $C_{2}$ kan føre til at grafane til funksjonane blir samanfallande. Kommenter.

Løysing

Grafane til $f$ og $g$ har same form og er i fase.

Når vi endrar på verdiane til $C_{1}$ og $C_{2}$ ved hjelp av glidarane, finn vi at $C_{2} = C_{1} + \frac{1}{2}$ når grafane er samanfallande.

Du kan laste ned GeoGebra-arket her(GGB)

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Integrasjon ved variabelskifte(DOCX)
Integrasjon ved variabelskifte(PDF)

Integrasjonsmetodar

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Nedlastbare filer