Oppgave

Interaktivt innhold

Integrasjon ved variabelskifte

Her kan du øve på integrasjon med variabelskifte, som også blir kalt substitusjon. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgavene på denne siden skal, når ikke annet er angitt, gjøres uten digitale hjelpemidler.

Oppgave 1

Bestem integralene.

a) $\int {(3 x + 1)}^{2} d x$

Tips

Sett $u = 3 x + 1$ .

Løsning

Vi setter $u = 3 x + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int {(3 x + 1)}^{2} d x & = & \int u^{2} \frac{d u}{3} \\ = & \frac{1}{3} \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{9} {(3 x + 1)}^{3} + C \end{array}$

b) $\int \sqrt{3 - 4 x} d x$

Tips

Sett $u = 3 - 4 x$ og bruk regelen for integrasjon av kvadratrot.

Løsning

Vi setter $u = 3 - 4 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 4 \\ d x = - \frac{d u}{4} = - \frac{1}{4} d u \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{3 - 4 x} d x & = & \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u \\ = & - \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u \\ = & - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u \\ = & - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{6} \cdot {(3 - 4 x)}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

c) $\int \frac{1}{5 x + 2} d x$

Tips

Sett $u = 5 x + 2$ .

Løsning

Vi setter $u = 5 x + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{5 x + 2} d x & = & \int \frac{1}{u} \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{5} \ln |5 x + 2| + C \end{array}$

d) $\int \sin 2 x d x$

Tips

Sett $u = 2 x$ .

Løsning

Vi setter $u = 2 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 \\ d x = \frac{d u}{2} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sin 2 x d x & = & \int \sin u \frac{d u}{2} \\ = & \frac{1}{2} \int \sin u d u \\ = & - \frac{1}{2} \cos u + C \\ = & - \frac{1}{2} \cos 2 x + C \end{array}$

e) $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Tips

Her har vi $x$ i både telleren og nevneren.

Hva kan vi velge som $u$ som gjør at vi får forkortet bort det som er igjen av $x$ ?

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C \end{array}$

Legg merke til at vi fjerner absoluttverditegnet fra nest siste til siste linje i løsningen. Dette kan vi gjøre fordi $(x^{2} + 1)$ alltid vil være positiv.

f) $\int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x$

Løsning

Vi setter $u = \ln x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = d u \cdot x \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln x)}^{3} + C \end{array}$

g) $\int (\cos (x^{2} + 1) \cdot x) d x$

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\cos (x^{2} + 1) \cdot x) d x & = & \int \cos u \cdot x \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int \cos u d u \\ = & \frac{1}{2} \sin u + C \\ = & \frac{1}{2} \sin (x^{2} + 1) + C \end{array}$

h) $\int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x$

Løsning

Vi setter $u = x^{2} + 2$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int x {(x^{2} + 2)}^{6} d x & = & \int x \cdot u^{6} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{1}{2} \int u^{6} d u \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C \\ = & \frac{1}{14} {(x^{2} + 2)}^{7} + C \end{array}$

i) $\int \tan x d x$

Tips

Bruk at $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Løsning

$\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x$

Vi setter $u = \cos x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ d x = \frac{d u}{- \sin x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int \tan x d x & = & \int \frac{\sin x}{\cos x} d x \\ = & \int \frac{\sin x}{u} \cdot \frac{d u}{- \sin x} \\ = & - \int \frac{1}{u} d u \\ = & - \ln |u| + C \\ = & - \ln |\cos x| + C \end{array}$

Oppgave 2

Bestem integralene.

a) $\int \cos 2 x d x$ .

Løsning

Vi setter $u = 2 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 \\ d x = \frac{d u}{2} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \cos 2 x d x & = & \int \cos u \frac{d u}{2} \\ = & \frac{1}{2} \int \cos u d u \\ = & \frac{1}{2} \sin u + C \\ = & \frac{1}{2} \sin 2 x + C \end{array}$

b) $\int \cos^{2} x d x$

Tips

Bruk resultatet fra oppgave a) og sammenhengen $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \cos 2 x & = & 2 \cos^{2} x - 1 \\ \cos 2 x + 1 & = & 2 \cos^{2} x \\ \frac{1}{2} (\cos 2 x + 1) & = & \cos^{2} x \end{array}$

Det ubestemte integralet blir da

$\int \cos^{2} x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \int \begin{array}{rcl} (\cos 2 x + 1) d x \end{array}$

Vi vet fra oppgave a) at $\int \cos 2 x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \begin{array}{rcl} \sin \end{array} \begin{array}{rcl} 2 \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} C \end{array}$ .

Vi får følgende løsning:

$\begin{array}{rcl} \int \cos^{2} x d x & = & \frac{1}{2} \int (\cos 2 x + 1) d x \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 2 x + x) + C \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{array}$

c) $\int \sin^{2} x d x$

Tips

Bruk sammenhengen $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ og resultatet fra oppgave b).

Løsning

$\begin{array}{rcl} \sin^{2} x + \cos^{2} & x = & 1 \\ \sin^{2} & x = & 1 - \cos^{2} x \end{array}$

Det ubestemte integralet blir da

$\int \sin^{2} x d x = \int \begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) d x \end{array}$

Vi vet fra oppgave b) at $\int \cos^{2} x d x = \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{1}{4} \end{array} \begin{array}{rcl} \sin \end{array} \begin{array}{rcl} 2 \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} C \end{array}$ , og vi får da følgende løsning:

$\begin{array}{rcl} \int \sin^{2} x d x & = & \int \begin{array}{l} (1 - \cos^{2} x) d x \end{array} \\ = & x - (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x) + C \\ = & x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C \\ = & \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C \end{array}$

Oppgave 3

a) Hvilke to muligheter har vi ved valg av $u$ hvis vi skal løse det ubestemte integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved hjelp av variabelskifte?

Løsning

Vi kan enten velge $u = \sin x$ eller $u = \cos x$ .

b) Bestem integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved å sette $u = \sin x$ .

Løsning

Vi setter $u = \sin x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \cos x \\ d x = \frac{d u}{\cos x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\sin x \cdot \cos x) d x & = & \int u \cdot \cos x \cdot \frac{d u}{\cos x} \\ = & \int u d u \\ = & \frac{1}{2} u^{2} + C \\ = & \frac{1}{2} \sin^{2} x + C \end{array}$

c) Bestem integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ved å sette $u = \cos x$ .

Løsning

Vi setter $u = \cos x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - \sin x \\ d x = - \frac{d u}{\sin x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ :

$\begin{array}{rcl} \int (\sin x \cdot \cos x) d x & = & \int \sin x \cdot u \frac{d u}{- \sin x} \\ = & - \int u d u \\ = & - \frac{1}{2} u^{2} + C \\ = & - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C \end{array}$

Løsningen vi får når vi velger $u = \cos x$ , er ikke den samme som når vi velger $u = \sin x$ .

d) Vi har i b) og c) brukt to forskjellige løsningsmetoder for å bestemme $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ , og vi har fått to forskjellige uttrykk som resultat. Kontroller begge resultatene ved derivasjon. Kommenter.

Løsning

$\begin{array}{rcl} {(\frac{1}{2} \sin^{2} x + C)}^{'} & = & {(\frac{1}{2} \sin x \cdot \sin x + C)}^{'} \\ = & \frac{1}{2} (\cos x \cdot \sin x + \sin x \cdot \cos x) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \\ = & \sin x \cdot \cos x \end{array}$

$\begin{array}{rcl} {(- \frac{1}{2} \cos^{2} x + C)}^{'} & = & {(- \frac{1}{2} \cos x \cdot \cos x + C)}^{'} \\ = & - \frac{1}{2} (- \sin x \cdot \cos x + \cos x \cdot - \sin x) \\ = & - \frac{1}{2} \cdot (- 2 \sin x \cdot \cos x) \\ = & \sin x \cdot \cos x \end{array}$

Derivasjon viser at vi i begge tilfellene kommer tilbake til det opprinnelige uttrykket.

e) Hvordan kan de to uttrykkene vi har fått til svar, begge være korrekte løsninger av det ubestemte integralet $\int (\sin x \cdot \cos x) d x$ ?

Løsning

Det som er viktig å være oppmerksom på, er at det i hver av løsningene er en konstant, som vi har angitt C. Hvis vi skal sammenligne de to resultatene, må vi huske at disse konstantene ikke trenger å være like. Vi skriver derfor opp de to resultatene slik:

$\frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1}$
$- \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2}$

Hvis vi setter de to resultatene lik hverandre, får vi følgende:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1} & = & - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2} \\ \frac{1}{2} \sin^{2} x + \frac{1}{2} \cos^{2} x & = & C_{2} - C_{1} \\ \frac{1}{2} (\sin^{2} x + \cos^{2} x) & = & C_{2} - C_{1} \\ \frac{1}{2} & = & C_{2} - C_{1} \end{array}$

Når differansen mellom de to konstantene er $\frac{1}{2}$ , er uttrykkene like. De "ukjente" konstantene kompenserer altså for ulikheten i resultatene.

f) Endring av størrelsen av en konstant som er et ledd i et funksjonsuttrykk, vil ikke føre til endring i formen på grafen, men vil bare føre til en forflytning vertikalt (opp eller ned) i koordinatsystemet.

Vi definerer to funksjoner ut fra de to resultatene vi har fått i denne oppgaven:

$f (x) = \frac{1}{2} \sin^{2} x + C_{1}$

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} x + C_{2}$

Lag et interaktivt GeoGebra-ark som viser at endringer i $C_{1}$ og/eller $C_{2}$ kan føre til at grafene til funksjonene blir sammenfallende. Kommenter.

Løsning

Grafene til $f$ og $g$ har samme form og er i fase.

Når vi endrer på verdiene til $C_{1}$ og $C_{2}$ ved hjelp av gliderne, finner vi at $C_{2} = C_{1} + \frac{1}{2}$ når grafene er sammenfallende.

Du kan laste ned GeoGebra-arket her(GGB)

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Integrasjon ved variabelskifte(DOCX)
Integrasjon ved variabelskifte(PDF)

Integrasjonsmetoder

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Nedlastbare filer