Grunnleggande om funksjonsanalyse

Monotonieigenskapar

Monotonieigenskapane til ein funksjon fortel kor grafen til funksjonen stig og kor han søkk. Samtidig finn vi ekstremalpunkta, topp- og botnpunkta, på grafen.

Å analysere og tolke ein funksjon betyr gjerne at vi undersøkjer monotonieigenskapar og bestemmer topp- og botnpunkt på grafen. Vidare kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkt, krummingsforhold og vendepunkt (meir om dette på ei anna fagstoffside).

Monotonieigenskapane til ein funksjon grafisk

Finn monotonieigenskapane til funksjonen f ut ifrå grafen til funksjonen nedanfor.

Vi observerer at grafen har toppunktet $(\mathrm{2,} 1)$. Grafen til funksjonen stig når $x<2$ og søkk når $x>2$. Monotonieigenskapane til funksjonen er derfor at

• funksjonen veks for $x<2$
• funksjonen minkar for $x>2$

Monotonieigenskapar og den deriverte

Utforsking

Teikn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 2}}x+1}$

Teikn deretter tangentar til grafen for nokre x-verdiar mellom $-2$ og 3.

Undersøk om det er ein samanheng mellom stigningstalet til tangentane og om grafen stig, søkk eller har topp- og botnpunkt.

Nedanfor kan du dra i det raude punktet på grafen og sjå korleis stigningstalet a til tangenten endrar seg.

• Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist.(GGB)

Du vil oppdage at

• stigningstalet til tangenten er positivt når grafen stig
• stigningstalet til tangenten er negativt når grafen søkk
• stigningstalet til tangenten er 0 i topp- og botnpunkt

Dette betyr at vi kan finne ut for kva verdiar av x grafen til ein funksjon stig, for kva verdiar av x han søkk, og når han har topp- eller botnpunkt, ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Forteiknslinjer kan hjelpe oss med dette.

Forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen

Vi kan beskrive eigenskapane til ein funksjon ved å teikne forteiknslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen. Vi bruker funksjonen f på det øvste biletet som døme.

Forteiknslinja til funksjonen blir bestemd av om grafen ligg over eller under x-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkt for $x=1$ og $x=3$. Det betyr at

• $f\left(x\right)>0$ når $1<x<3$
• $f\left(x\right)<0$ når $x<1$ og når $x>3$
• $f\left(x\right)=0$ når $x=1$ og når $x=3$

Vi fann monotonieigenskapane til funksjonen i døme 1. Det betyr at

• $f\text{'}\left(x\right)>0$  når $x<2$
• $f\text{'}\left(x\right)<0$  når $x>2$
• $f\text{'}\left(x\right)=0$  når $x=2$

Denne informasjonen kan vi samanfatte i eit felles forteiknsskjema for $f\left(x\right)$ og $f\text{'}\left(x\right)$.

Dersom vi teiknar forteiknslinjene for f og $f\text{'}$ inn i koordinatsystemet med grafen, ser det ut som nedanfor. NB! Dette er noko vi i praksis berre gjør for hand, ikkje med GeoGebra, som vi har gjort her.

Monotonieigenskapane til ein tredjegradsfunksjon

Funksjonen f er gitt ved

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{x}^2-2x+1}$

Vi ønsker å bestemme monotonieigenskapane til f og finne eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f både med og utan hjelpemiddel.

Løysing utan hjelpemiddel

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{x}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{x}^2-2x+1}\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}·3·x^2-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}·2·x^1-2}\\ & {\displaystyle =}& {\displaystyle x^2-x-2}\end{array}$

Vi set så $f\text{'}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rll} f\text{'}\left(x\right)& = & 0\\ x^2-x-2 & =& 0\\ & & \\ x& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle -\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}}{{\displaystyle 2·1}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1\pm \sqrt{9}}}{{\displaystyle 2}}}\\ & & \\ x_1& =& -1\\ x_2& =& 2\end{array}$

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow ,-1⟩,⟨-1,2⟩$ og $⟨2,\to ⟩$ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(-2\right)& = & {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2=4>0\\ f\text{'}\left(0\right)& =& {\left(0\right)}^2-\left(0\right)-2=-2<0\\ f\text{'}\left(3\right)& =& {\left(3\right)}^2-\left(3\right)-2=4>0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f\text{'}\left(x\right)$.

Vi ser av forteiknslinja at

• grafen stig for $x\in ⟨\leftarrow ,-1⟩\cup ⟨2,\to ⟩$
• grafen søkk for $x\in ⟨-1,2⟩$

Grafen til $f\left(x\right)$ har altså eit toppunkt når $x=-1$ og eit botnpunkt når $x=2$.

$\begin{array}{rll}f\left(-1\right)& = & {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{\left(-1\right)}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+1=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}+2+1}\\ & =& {\displaystyle -\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 6}}-\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle 12}}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle 6}}=\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}}\\ & & \\ f\left(2\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{\left(2\right)}^3-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{\left(2\right)}^2-2\left(2\right)+1=\frac{{\displaystyle 8}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 2}}-4+1}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 16}}{{\displaystyle 6}}-\frac{{\displaystyle 12}}{{\displaystyle 6}}-\frac{{\displaystyle 24}}{{\displaystyle 6}}+\frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle 6}}=-\frac{{\displaystyle 14}}{{\displaystyle 6}}=-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}}\end{array}$

Toppunktet er ${\displaystyle \left(-1,f\left(-1\right)\right)=\left(-1,\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}\right)}$.

Botnpunktet er ${\displaystyle \left(2,f\left(2\right)\right)=\left(2,-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}\right)}$.

Vi seier òg at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum ${\displaystyle f\left(-1\right)=\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 6}}}$.

Vi seier òg at funksjonen har minimalverdi eller minimum ${\displaystyle f\left(2\right)=-\frac{{\displaystyle 7}}{{\displaystyle 3}}}$

Grafisk løysing

Vi kan teikne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og sjå at det vi får fram grafisk, stemmer med resultata våre.

Løysing med CAS

Linje 3 i CAS-løysinga gir at grafen er stigande når $x<-1$ og når $x>2$. Det betyr at grafen er søkkande når $-1<x<2$. Då må grafen ha eit toppunkt for $x=-1$ og eit botnpunkt for $x=2$.

Terrassepunkt

Vi ønsker å bestemme monotonieigenskapane til funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)=x^3$ veks og når han minkar. Vidare skal vi finne eventuelle ekstremalpunkt. Vi bruker same framgangsmåte som over.

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2$

Vi set så$f\text{'}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& = & 0\\ 3x^2& =& 0\\ x& =& 0\end{array}$

Vi får berre éi løysing.

Vi tek stikkprøver i kvart av dei to intervalla $\langle \leftarrow , 0\rangle$ og $⟨0, \to ⟩$.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}(-1)& = & 3·{\left(-1\right)}^2=3>0\\ f\text{'}\left(1\right)& =& 3·{\left(1\right)}^2=3>0\end{array}$

Vi kan då setje opp forteiknslinja til $f\text{'}\left(x\right)$.

🤔 Tenk over: Kva er spesielt med denne forteiknslinja?

Grafen har verken topp- eller botnpunkt for $x=0$, men sidan den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal (vassrett) for $x=0$. Eit slikt punkt på grafen kallar vi for eit terrassepunkt.

Stasjonære punkt

Eit stasjonært punkt på ein graf er eit punkt der den deriverte er null. Da er det to moglegheiter:

• Dersom den deriverte skiftar forteikn i punktet, er det stasjonære punktet eit topp- eller botnpunkt.

• Dersom den deriverte ikkje skiftar forteikn i punktet, er det stasjonære punktet eit terrassepunkt.

Film: Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av den deriverte

I filmen under (lengde 14:07) får du ein gjennomgang av det grunnleggande om funksjonsanalyse.