Fagstoff

Éin-eintydige funksjonar

Kva skal til for at ein funksjon kan ha ein omvend funksjon?

Du hugsar kanskje frå 1T at $f (x)$ er ein funksjon av $x$ viss og berre viss $f (x)$ for kvar $x$ -verdi gir berre éin $y$ -verdi. Fleire $x$ -verdiar kan derimot gi den same $y$ -verdien. Vi seier at ein funksjon er eintydig.

Vi ser på funksjonen $f (x) = x^{2}, D_{f} = ℝ .$

Illustrasjon som viser grafen til funksjonen f av x er lik x i andre, som er teikna for x-verdiar mellom minus 2,5 og 2,5. Det er lagt på piler for å illustrere at f av minus 2 er lik f av 2 er lik 4.

Både $f (- 2) = 4$ og $f (2) = 4$ , men uansett kva $x$ -verdi vi vel i definisjonsområdet til $f$ , gir $f (x)$ berre éin $y$ -verdi.

Ein eventuell omvend funksjon til $f$ måtte ha ført $y$ -verdien 4 tilbake til den $x$ -verdien som funksjonen $f$ starta med. Her er det to moglegheiter: $x = - 2$ eller $x = 2$ . Definisjonen på kva ein funksjon er, krev at funksjonsverdien er eintydig, og den omvende funksjonen eksisterer derfor ikkje for denne funksjonen.

For at ein funksjon skal ha ein omvend funksjon, må altså eintydnaden "gå begge vegar"; han må vere det vi kallar éin-eintydig.

Definisjon

Ein funksjon $f$ er éin-eintydig dersom

$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2}) for alle x_{1}, x_{2} \in D_{f}$

Dette medfører følgande setning:

Setning

Ein funksjon har ein omvend funksjon viss og berre viss han er éin-eintydig.

Utforskande døme

Vi ser på funksjonane

$g (x) = x^{2}, D_{g} = [0, \infty ⟩$

$h (x) = x^{2}, D_{h} = ⟨ - \infty, 0]$

Hugs at ein funksjon er gitt ved eit funksjonsuttrykk og ei definisjonsmengde.

Vi ønsker å finne ut om funksjonane har omvende funksjonar og eventuelt finne dei omvende funksjonane.

Vi teiknar grafen til $g$ og ser at funksjonen veks i heile definisjonsområdet sitt. Då må det for alle $x_{1} \neq x_{2}$ vere slik at $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ . Funksjonen er derfor éin-eintydig og har ein omvend funksjon.

$\begin{array}{lcccc} Vi set & g (x) = y & x \geq 0, y \geq 0 \\ Då er & y = x^{2} \\ Det betyr at & x = \sqrt{y} & Vi løyser altså likninga med omsyn på x . \\ Det betyr at & g^{- 1} (y) = \sqrt{y} & (g^{- 1} (y) = x) \end{array}$

Tenk over

Kvifor vel vi $x = \sqrt{y}$ når vi skal finne den omvende funksjonen over, og ikkje $x = - \sqrt{y}$ ?

Forklaring

Vi har for funksjonen $g$ at $D_{g} = [0, \infty 〉$ , eller $x \geq 0$ . Då må vi velje den positive løysinga.

Funksjonen

$g (x) = x^{2} D_{g} = [0, \infty ⟩, V_{g} = [0, \infty 〉$

har den omvende funksjonen

$g^{- 1} (x) = \sqrt{x} D_{g^{- 1}} = [0, \infty ⟩, V_{g^{- 1}} = [0, \infty ⟩$

Illustrasjon som viser grafen til g av x er lik x i andre, teikna for x-verdiar frå og med 0 til og med 2. I tillegg er grafen til i av x er lik rota av x teikna for x-verdiar frå og med 0 til og med 8. — Funksjonen g(x) med den omvende funksjonen sin, her kalla i(x)

Vi teiknar så grafen til $h$ og ser at funksjonen minkar i heile definisjonsområdet sitt. Då må det for alle $x_{1} \neq x_{2}$ vere slik at $h (x_{1}) \neq h (x_{2})$ . Funksjonen er derfor éin-eintydig og har ein omvend funksjon.

$\begin{array}{lcccc} Vi set & h (x) = y & x \leq 0, y \geq 0 \\ Då er & y = x^{2} \\ Det betyr at & x = - \sqrt{y} & Vi løyser altså likninga med omsyn på x . \\ Det betyr at & h^{- 1} (y) = - \sqrt{y} & (h^{- 1} (y) = x) \end{array} \begin{matrix} \end{matrix}$

Vi byter $x$ og $y$ og får

$\begin{matrix} h^{- 1} (x) = - \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{matrix}$

Funksjonen

$h (x) = x^{2}, D_{h} = ⟨ - \infty, 0], V_{h} = [0, \infty ⟩$

har den omvende funksjonen

$h^{- 1} (x) = - \sqrt{x}, D_{h^{- 1}} = [0, \infty ⟩, V_{h^{- 1}} = ⟨ - \infty, 0]$

Illustrasjon som viser grafen til h av x er lik x i andre, teikna for x-verdiar frå og med minus 1,5 til og med 0. I tillegg er grafen til i av x er lik minus rota av x teikna for x-verdiar frå og med 0 til og med 4. — Funksjonen h(x) med den omvende funksjonen sin, her kalla j(x)

Ut frå det vi har sett, kan vi formulere setninga nedanfor:

Setning

Ein funksjon har ein omvend funksjon dersom han veks i heile definisjonsområdet sitt, eller at han minkar i heile definisjonsområdet sitt.

Det betyr at vi kan sjekke om ein funksjon har ein omvend funksjon ved å trekke linjer parallelle med $x$ -aksen. Dersom alle slike linjer berre treffer grafen i eitt punkt, har funksjonen ein omvend funksjon.

Vi kan òg bruke derivasjon, til dømes:

$f (x) = \sqrt[3]{x} - 2 = x^{\frac{1}{3}} - 2 \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Sidan $x^{2}$ aldri kan bli negativ, er den deriverte alltid positiv. Det betyr at funksjonen er det vi kallar strengt veksande (sjå lenger ned) og derfor har ein omvend funksjon.

Vi minner om at definisjonsmengda til den omvende funksjonen alltid er lik verdimengda til den opphavlege funksjonen.

Tenk over

Kan ein funksjon ha ein omvend funksjon sjølv om han veks i nokre intervall og søkk i andre intervall?

Tips til spørsmålet

Tenk på funksjonar med delt funksjonsforskrift.

Forklaring

Nedanfor har vi teikna grafen til funksjonen

$f (x) = {\begin{cases} - x - 3, - 2 \leq x \leq 2 \\ x - 2, 2 \leq x \leq 6 \end{cases}$

Illustrasjonen viser eit koordinatsystem med ein funksjon f, som har delt funksjonsforskrift. Funksjonen er minus x minus 3 når minus 2 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 2, og x minus 2 når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6. Grafen er søkkande for minus 2 mindre enn eller lik x mindre enn eller lik 2, og stigande når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6.

Vi ser at funksjonen er éin-eintydig sjølv om funksjonen søkk i intervallet $[- 2, 2]$ og veks i $[2, 6]$ sidan det ikkje er nokon $f (x)$ -verdiar som kan gi to $x$ -verdiar.

Dette betyr at sjølv om funksjonar som veks i heile definisjonsområdet sitt, har ein omvend funksjon, betyr ikkje det at funksjonar som både veks og søkk, ikkje kan ha det.

Veksande og minkande funksjonar

Funksjonen

$g (x) = x^{2}, D_{g} = [0, \infty ⟩$

i dømet over er det vi kallar strengt veksande i heile definisjonsområdet sitt.

Strengt veksande funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i eit intervall, seier vi at funksjonen er strengt veksande i dette intervallet.

Strengt minkande funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i eit intervall, seier vi at funksjonen er strengt minkande i dette intervallet.

Vi seier òg at ein funksjon som er anten strengt veksande eller strengt minkande, er strengt monoton.

Tenk over

Er funksjonen $h (x) = x^{2}, D_{h} = ⟨ - \infty, 0]$ i dømet lenger opp på sida ein strengt veksande eller strengt minkande funksjon?

Forklaring

Vi såg i dømet at grafen til $h$ søkk i heile definisjonsområdet. Då er $h$ ein strengt minkande funksjon.

Tenk over

Nedanfor har vi teikna funksjonen

$f (x) = {\begin{cases} x, x \leq 2 \\ 2, 2 < x \leq 6 \\ x - 4, x > 6 \end{cases}$

Illustrasjonen viser eit koordinatsystem med ein funksjon f som har delt funksjonsforskrift. Funksjonen er x når x er mindre enn eller lik 2, 2 når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6, og x minus 4 når x er større 6. Grafen er stigande når x er mindre enn eller lik 2, og når x er større enn 6, og vassrett når 2 mindre enn x mindre enn eller lik 6.

Har denne funksjonen ein omvend funksjon? Forklar.

Forklaring

Sidan det er uendeleg mange $x$ -verdiar som gir $f (x) = 2$ , er ikkje funksjonen éin-eintydig. Funksjonen har derfor ingen omvend funksjon.

Er denne funksjonen strengt veksande? Forklar.

Forklaring

Vi har til dømes at sjølv om $3 < 4$ , så er ikkje $f (3) < f (4)$ . Då er ikkje funksjonen strengt veksande. Men sidan $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ , kallar vi funksjonen veksande.

Vi definerer derfor vidare:

Veksande funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i eit intervall, seier vi at funksjonen er veksande i dette intervallet.

Minkande funksjon

Vi har gitt funksjonen $f (x)$ . Dersom

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$

for alle $x_{1}, x_{2}$ i eit intervall, seier vi at funksjonen er minkande i dette intervallet.

Legg merke til forskjellen mellom veksande og strengt veksande og minkande og strengt minkande.

Formell definisjon av omvende funksjonar

Ved hjelp av det vi veit, kan vi no formulere ein formell definisjon av omvende funksjonar.

Viss og berre viss ein funksjon $f (x)$ er éin-eintydig, vil det eksistere ein omvend funksjon $f^{- 1} (x)$ som er slik at $D_{f^{- 1}} = V_{f}$ , $V_{f^{- 1}} = D_{f}$ og $f^{- 1} (f (x)) = x$ .