Analyse av funksjonar – omgrep

Kva er forskjellen på eit toppunkt og eit absolutt maksimum? Kva omgrep er viktige når vi skal analysere funksjonar?

Drøfting eller analyse av ein funksjon betyr å finne ut mest mogleg om funksjonen. Vi bruker vanlegvis den deriverte og den dobbeltderiverte funksjonen i denne analysen.

Eksempelfunksjon

Nedanfor er grafen til funksjon f gitt ved

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}, D_{f} = [1, 4]$

teikna. Figuren samanfattar dei fleste omgrepa i samband med punkt på ein graf det er aktuelt å finne når vi skal analysere ein funksjon.

Koordinatsystem der grafen til f av x er lik 3 x i fjerde minus 16 x i tredje pluss 18 x i andre er teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 4. På figuren er ulike omgrep definerte i forhold til akkurat denne funksjonen. Figuren blir nærmare forklart i den følgande teksten. Illustrasjon. — Definisjonar i samband med funksjonsanalyse

Beskriving av figuren

Funksjonen har nullpunkta $x = 0, x = 1, 61$ og $x = 3, 72$ .

Legg merke til at når funksjonen er definert på eit lukka intervall slik som her, blir endepunkta på grafen ekstremalpunkt. Grafen til funksjonen har toppunkt i endepunktet $(- 1, 37)$ , i $(1, 5)$ og i endepunktet $(4, 32)$ . Funksjonen har lokalt og absolutt maksimum $f (- 1) = 37$ i endepunktet $(- 1, 37)$ . I dei to andre toppunkta har funksjonen lokale maksimum $f (1) = 5$ og $f (4) = 32$ . Grafen til funksjonen har botnpunkt i $(0, 0)$ og i $(3, - 27)$ . I det første botnpunktet har funksjonen lokalt minimum $f (0) = 0$ . I det andre botnpunktet har funksjonen lokalt og absolutt minimum $f (3) = - 27$ .

Grafen til funksjonen har vendepunkt i $(1.45, 2.32)$ og i $(2.22, - 13.36)$ .

Vi bruker òg omgrepet maksimalverdi, som betyr det same som maksimum. Tilsvarande bruker vi omgrepet minimalverdi, som betyr det same som minimum.

Dei mest grunnleggande omgrepa

Dei mest grunnleggande omgrepa er

nullpunkt
toppunkt og botnpunkt
ekstremalpunkt og ekstremalverdi
lokalt maksimum / lokal maksimalverdi og absolutt maksimum / absolutt maksimalverdi
lokalt minimum / lokal minimalverdi og absolutt minimum / absolutt minimalverdi

Prøv å gjere øvinga nedanfor utan å bruke den øvste figuren eller beskrivinga av han.

Løysing

Eit nullpunkt er førstekoordinaten til eit skjeringspunkt mellom grafen til ein funksjon og førsteaksen.

Eit toppunkt er eit punkt som har den høgaste andrekoordinaten i eit intervall omkring seg. Andrekoordinaten er eit lokalt maksimum (ein lokal maksimalverdi) og kan i tillegg vere eit absolutt maksimum (ein absolutt maksimalverdi). Tilsvarande blir andrekoordinaten til eit botnpunkt kalla eit lokalt minimum (ein lokal minimalverdi) og kan i tillegg vere eit globalt minimum (ein global minimalverdi).

Topp- og botnpunkt har fellesnemninga ekstremalpunkt.

Maksimal- og minimalverdiar har fellesnemninga ekstremalverdiar.

Eit absolutt maksimum er den største verdien ein funksjon kan ha i definisjonsområde sitt. Tilsvarande gjeld for eit absolutt minimum.

Fleire omgrep

Her er fleire omgrep som er omtalte på andre sider i emnet Funksjonsanalyse.

terrassepunkt
stasjonært punkt
vendepunkt
hol side opp og hol side ned

I tillegg bruker vi omgrepet kritisk punkt. Eit kritisk punkt er eit punkt der anten den deriverte funksjonen er null eller ikkje eksisterer.

Nedanfor kan du øve på å bruke desse omgrepa.

Løysing

Eit stasjonært punkt på ein graf blir karakterisert ved at den deriverte er null i punktet. Dersom den deriverte skiftar forteikn der, er det stasjonære punktet eit topp- eller botnpunkt. Dersom den deriverte ikkje skiftar forteikn der, er det stasjonære punktet eit terrassepunkt. Eit kritisk punkt er eit punkt der den deriverte anten er null eller ikkje eksisterer. Ein graf vender den hole sida si opp når den dobbeltderiverte/andrederiverte er større enn 0, og den hole sida si ned når den dobbeltderiverte/andrederiverte er mindre enn 0. Eit punkt på grafen der grafen skiftar mellom å vende den hole sida si ned og å vende den hole sida si opp, eller motsett, kallar vi eit vendepunkt. Tangenten til grafen i eit slikt punkt kallar vi ein vendetangent.

🤔 Tenk over: Er eit terrassepunkt eit kritisk punkt?

Forklaring

I eit terrassepunkt er den deriverte lik 0, og da oppfyller det kravet til å vere eit kritisk punkt.

Du får øvd meir på desse omgrepa i oppgåvene.