Bruk av polynomdivisjon. Faktorisering og likningar

Vi set inn $x=-1$ i $P\left(x\right)$:

$\begin{array}{rcl}P\left(-1\right) & =& 6·{\left(-1\right)}^3+5·{\left(-1\right)}^2-2·\left(-1\right)-1\\ & =& -6+5+2-1\\ & =& 0\end{array}$

Vi har frå oppgåve a) at $x=-1$ er éi løysing av likninga, og dermed at $x+1$ er ein faktor i $P\left(x\right)$. Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(6x^3+5x^2-2x-1\right):\left(x+1\right)& =& 6x^2-x-1\\ \underline{-\left(6x^3+6x^2\right) }& & \\ -x^2-2x-1& & \\ \underline{-\left(-x^2+x\right) }& & \\ -x-1& & \\ \underline{-(-x-1)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finn dei to siste løysingane ved hjelp av abc-formelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \hspace{0.17em}\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·6·\left(-1\right)}}{2·6}\\ & =& \frac{1\pm \sqrt{25}}{12}\\ & =& \frac{1\pm 5}{12}\\ x & =& \frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \vee x=\frac{1-5}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}\end{array}$

Løysingane på likninga er

$x=-1 \vee x=\frac{1}{2} \vee x=-\frac{1}{3}$

$6·\frac{1}{2}·\left(-\frac{1}{3}\right)·\left(-1\right) = \frac{6·1·\left(-1\right)·\left(-1\right)}{2·3}=\frac{6}{6}=1$

Vi tek utgangspunkt i den faktoriserte forma av det generelle tredjegradspolynomet og reknar oss fram:

$\begin{array}{rcl}P\left(x\right) & =& a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\\ & =& a\left(x^3+\left(x_3-x_2-x_1\right)x^2+\left(x_2{x}_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3\right)x-x_1{x}_2{x}_3\right)\\ & =& a{x}^3+a\left(x_3-x_2-x_1\right)x^2+a\left(x_2{x}_3+x_1{x}_2+x_1{x}_3\right)x-a{x}_1{x}_2{x}_3\end{array}$

Vi har at dette uttrykket må vere lik det ufaktoriserte uttrykket, og dersom vi ser på det siste leddet, har vi at $d=-a{x}_1{x}_2{x}_3$, som gir oss det vi skulle vise.

Kanskje det ikkje er nødvendig å rekne ut heile polynomet?

Dersom vi ser på utrekningane i oppgåve d), ser vi at alle ledda utanom det aller siste vil innehalde x i ein eller annan potens. Berre det siste leddet vil berre innehalde nullpunkta og a.

Vi ser først på fjerdegradspolynomet:

$\begin{array}{rcl}a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e & =& a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\end{array}$

Det siste leddet vil bli

$a·\left(-x_1\right)·\left(-x_2\right)·\left(-x_3\right)·\left(-x_4\right)=a{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4$

Så ser vi på femtegradspolynomet:

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\left(x-x_5\right)$

Det siste leddet vil bli

$a·\left(-x_1\right)·\left(-x_2\right)·\left(-x_3\right)·\left(-x_4\right)·\left(-x_5\right)=-a{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5$

Vi ser at for fjerdegradspolynomet blir det siste leddet lik konstantleddet e, mens i femtegradspolynomet blir det som i tredjegradspolynomet: Det siste leddet blir lik det motsette av konstantleddet.

Vi undersøker om teljaren er deleleg med$x-3$. Dersom teljaren er deleleg med $(x-3)$, vil polynomet$x^3-4x^2+9$ vere lik 0 når $x=3$. Vi set inn $x=3$ og reknar ut:

$3^3-4·3^2+9=27-36+9=0$

Svaret vart 0, og polynomdivisjonen vil gå opp.

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-4x^2+0x+9\right):\left(x-3\right)& =& x^2-x-3\\ \underline{-\left(x^3-3x^2\right) } & & \\ -x^2+0x+9& & \\ \underline{-\left(-x^2+3x\right) }& & \\ -3x+9& & \\ \underline{-\left(-3x+9\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi får

$\frac{x^3-4x^2+9}{x-3}=\frac{\cancel{\left(x-3\right)}\left(x^2-x-3\right)}{\cancel{x-3}}=x^2-x-3$

Vi faktoriserer nemnaren$2x^2-4x=2x(x-2).$ Vi sjekkar først om teljaren kan delast på ein av faktorane i nemnaren. Vi ser at teljaren ikkje kan blir 0 ved å setje inn$x=0$, så den einaste moglegheita for forkorting er faktoren$(x-2).$ Dersom teljaren er deleleg med$(x-2)$, vil teljaren bli 0 når vi set inn$x=2$:

$3·2^3-5·2^2-4=24-20-4=0$

Då veit vi at polynomdivisjonen vil gå opp.

$\begin{array}{lcc} \left(3x^3-5x^2+0x-4\right):\left(x-2\right)& =& 3x^2+x+2\\ \underline{-\left(3x^3-6x^2\right) } & & \\ x^2+0x-4& & \\ \underline{-\left(-x^2-2x\right) }& & \\ 2x-4& & \\ \underline{-\left(2x-4\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi har faktorisert tredjegradspolynomet i teljaren og funne at $3x^3-5x^2-4=(x-2)(3x^2+x+2)$. Vi kan no forkorte brøken.

$\frac{3x^3-5x^2-4}{2x^2-4x}=\frac{(x-2)(3x^2+x+2)}{2x\left(x-2\right)}=\frac{3x^2+x+2}{2x}$

Nemnaren kan faktoriserast ved hjelp av konjugatsetninga.

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

$\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{x^3+x^2-9x-9}{(x-3)(x+3)}$

Vi sjekkar om teljaren kan delast på ein av faktorane i nemnaren. Vi prøver$(x-3)$:

$3^3+3^2-9·3-9=27+9-27-9=0$

Då veit vi at polynomdivisjonen vil gå opp:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+x^2-9x-9\right):\left(x-3\right)& =& x^2+4x+3\\ \underline{-\left(x^3-3x^2\right) } & & \\ 4x^2-9x-9& & \\ \underline{-\left(4x^2-12x\right) }& & \\ 3x-9& & \\ \underline{ -\left(3x-9\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

No har vi $\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{(x-3)(x^2+4x+3)}{(x-3)(x+3)}$.

Vi faktoriserer$x^2+4x+3$:

$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$

Vi kan no forkorte brøken:

$\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}(x+1)}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}=x+1$

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-6x^2+11x-6\right):\left(x-1\right)& =& x^2-5x+6\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) } & & \\ -5x^2+11x-6& & \\ \underline{-\left(-5x^2+5x\right) }& & \\ 6x-6& & \\ \underline{ -\left(6x-6\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at $x^3-6x^2+11x-6=(x^2-5x+6)(x-1)$.

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga:

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Den ferdige faktoriseringa blir

$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$

$\begin{array}{lcc} \left(6x^3+x^2-9x-4\right):\left(2x+1\right)& =& 3x^2-x-4\\ \underline{-\left(6x^3+3x^2\right) } & & \\ -2x^2-9x-4& & \\ \underline{-\left(-2x^2-x\right) }& & \\ -8x-4& & \\ \underline{ -\left(-8x-4\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

$6x^3+x^2-9x-4=(3x^2-x-4)(2x+1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga. Vi set $3x^2-x-4=0.$

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4·3·(-4)}}{2·3}\\ x & =& \frac{1\pm 7}{6}\\ x_1 & =& -1 \vee x_2= \frac{4}{3}\end{array}$

Det betyr at

$3x^2-x-4=3(x-(-1\left)\right)(x-\frac{4}{3})=(x+1)(3x-4)$

Den ferdige faktoriseringa blir

$\left(x+1\right)\left(3x-4\right)\left(2x+1\right)$

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-x^2-4x+4\right):\left(x-1\right)& =& x^2-4\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) } & & \\ 0-4x+4& & \\ \underline{-\left(-4x+x\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

$$$(x^3-x^2-4x+4)=(x^2-4)·(x-1)$

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av konjugatsetninga.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Den ferdige faktoriseringa blir

$(x^3-x^2-4x+4)=(x-2)·(x+2)·(x-1)$

Vi observerer at uttrykket $x^3+4x^2+x-6$ er lik null for $x=1$. Vi veit då at $(x-1)$ er faktor i $x^3+4x^2+x-6.$

Vi gjer ein polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+4x^2+x-6\right):\left(x-1\right)& =& x^2+5x+6\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) } & & \\ 5x^2+x-6& & \\ \underline{-\left(5x^2-5x\right) }& & \\ 6x-6& & \\ \underline{ -\left(6x-6\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$

Den ferdige faktoriseringa blir

$x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)$

Uttrykket$2x^3-14x+12$er lik null for$x=1$. Vi veit då at$x-1$ er ein faktor i$2x^3-14x+12.$

Vi utfører divisjonen:

$\begin{array}{lcc} \left(2x^3+0x^2-14x+12\right):\left(x-1\right)& =& 2x^2+2x-12\\ \underline{-\left(2x^3-2x^2\right) } & & \\ 2x^2-14x+12& & \\ \underline{-\left(2x^2-2x\right) }& & \\ -12x+12& & \\ \underline{ -\left(-12x+12\right)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi kan faktorisere andregradspolynomet:

$2x^2+2x-12=2\left(x^2+x-6\right)=2(x+3)(x-2)$

Den ferdige faktoriseringa blir

$2x^3-14x+12=2(x-1)(x-2)(x+3)$

Vi observerer først at uttrykket $x^4+2x^3-7x^2-8x+12$ blir 0 for $x=1$. Vi deler uttrykket på $x-1$:

$\begin{array}{lcc} \left(x^4+2x^3-7x^2-8x+12\right):\left(x-1\right)& =& x^3+3x^2-4x-12\\ \underline{-\left(x^4-x^3\right) }& & \\ 3x^3-7x^2-8x+12& & \\ \underline{-\left(3x^3+3x^2\right) }& & \\ -4x^2-8x+12& & \\ \underline{-\left(-4x^2-4x\right) }& & \\ -12x-12 & & \\ \underline{-\left(-12x+12\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Vi står no igjen med eit tredjegradsuttrykk, så vi ser igjen etter eit nullpunkt slik at vi kan utføre ein ny polynomdivisjon. Vi ser at konstantleddet er 12, og dersom vi faktoriserer dette talet, får vi at $12=2·2·3$. Vi sjekkar om $x=2$ er eit nullpunkt:

$2^4+2·2^3-7·2^2-8·2+12 = 16+16-28-16+12=0$

Vi kan utføre endå ein polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+3x^2-4x-12\right):\left(x-2\right)& =& x^2+5x+6\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ 5x^2-4x-12& & \\ \underline{-\left(5x^2-10x\right) }& & \\ 6x-12& & \\ \underline{-(6x-12)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi har at

$x^2+5x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$

Til saman gir dette at

$x^4+2x^3-7x^2-8x+12=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)$

Vi har at uttrykket$x^3+3x^2+4x+2$er lik null for$x=-1$. Vi veit då at$x+1$er faktor i$x^3+3x^2+4x+2$.

Vi utfører divisjonen.

$\begin{array}{lcc} \left(x^3+3x^2+4x+2\right):\left(x+1\right)& =& x^2+2x+2\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ 2x^2+4x+2& & \\ \underline{-\left(2x^2+2x\right) }& & \\ 2x+2& & \\ \underline{-(2x+2)}& & \\ 0& & \end{array}$

$$Vi set$x^2+2x+2=0.$

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+2 & =& 0\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·2}}{2·1}\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{-4}}{2}\end{array}$

Vi får ingen reelle løysingar. Det betyr at$x^2+2x+2$ikkje kan faktoriserast. Den ferdige faktoriseringa blir

$x^3+3x^2+4x+2=(x^2+2x+2)(x+1)$

Vi observerer at $18=3·3·2$. Vi testar derfor om uttrykket kan delast på $x-2$ ved å setje inn 2 for x:

$2^3-2·2^2-9·2+18=8-8-18+18=0$

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-2x^2-9x+18\right):\left(x-2\right)& =& x^2-9\\ \underline{-\left(x^3-2x^2\right) }& & \\ 0-9x+18& & \\ \underline{-\left(-9x+18\right)} & & \\ 0& & \end{array}$

Vi kan faktorisere andregradsuttrykket ved hjelp av konjugatsetninga og får

$\begin{array}{rcl}{x}^3-2x^2-9x+18 & =& 0\\ (x-2)(x-3)(x+3) & =& 0\\ x & =& 2 \vee x=3 \vee x=-3\end{array}$

Vi observerer at $3=3·1$, og sjekkar om $x=1$ er ei løysing:

$1^3+3·1^2-1-3=1+3-1-3=0$

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+3x^2-x-3\right):\left(x-1\right)& =& x^2+4x+3\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) }& & \\ 4x^2-x-3& & \\ \underline{ -\left(4x^2-4x\right) } & & \\ 3x-3& & \\ \underline{ -\left(3x-3\right)} & & \\ 0& & \end{array}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket og får at

$\begin{array}{rcl}{x}^3+3x^2-x-3 & =& 0\\ \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right) & =& 0\\ x & =& 1 \vee x=-1 \vee x=-3\end{array}$

Vi bruker faktoriseringane frå a) og b) og får:

$\begin{array}{rcl}\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x^3+3x^2-x-3} & =& 0\\ \frac{\left(x-3\right)\cancel{\left(x+3\right)}\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\cancel{\left(x+3\right)}} & =& 0\\ \left(x-3\right)\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 3 \vee x=2\end{array}$

Vi observerer at $x^2+4x+3 = \left(x+1\right)\left(x+3\right)$. Dei andre nemnarane er faktorar i dette uttrykket, så dette er fellesnemnaren. Vi gongar han inn i alle ledda slik at vi blir kvitt brøkane:

$\begin{array}{rcl}\frac{x^2}{x+3}+\frac{2x}{x+1}+\frac{4}{x^2+4x+3} & =& \frac{7}{x+3} |·\left(x+1\right)\left(x+3\right)\\ x^2\left(x+1\right)+2x\left(x+3\right)+4 & =& 7(x+1)\\ x^3+x^2+2x^2+6x+4-7x-7 & =& 0\\ x^3+3x^2-x-3 & =& 0\end{array}$

Vi endar opp med ei tredjegradslikning, den same som vi løyste i oppgåve 5 b), det vil seie at tredjegradslikninga har løysingane

$\begin{array}{rcl}x & =& 1 \vee x=-1 \vee x= -3\end{array}$

Vi ser at dei to negative løysingane gir 0 under brøkstreken i den opphavlege likninga, dermed har vi berre éi løysing på denne:

$x=1$

Dette uttrykket liknar mykje på likninga i oppgåve 6 a). Hugs at å faktorisere og forkorte uttrykk er litt annleis enn likningsløysing!

Vi utvider alle brøkane til fellesnemnar og set på ein felles brøkstrek:

$\begin{array}{rcl}& & \frac{x^2·\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)}+\frac{2x·\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)·\left(x+3\right)}+\frac{4}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-\frac{7·\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)·\left(x+1\right)} \\ & =& \frac{x^3+x^2+2x^3+6x+4-7x-7}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)} \\ & =& \frac{x^3+3x^2-x-3}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\end{array}$

Her bruker vi opplysningane frå oppgåve 5 b) til å faktorisere:

$= \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)} =x-1$

Vi legg merke til at dei to løysingane vi må forkaste i likninga, gir faktorar vi kan forkorte i det tilsvarande uttrykket som skal trekkast saman.

Vi finn fellesnemnaren og fjernar nemnarane:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{x+2}+\frac{x+1}{x+2} & =& \frac{3}{x+1} |·\left(x+2\right)\left(x+1\right)\\ x+1+{(x+1)}^2 & =& 3\left(x+2\right)\\ x+1+x^2+2x+1-3x-6 & =& 0\\ x^2-4 & =& 0\\ x & =& \pm 2\end{array}$

Vi observerer at $x=-2$ gir 0 i nemnaren, og vi står igjen med løysinga

$x=2$

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{x+3}+\frac{1}{x-1} & =& \frac{3}{x} |·x\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\ x·x\left(x-1\right)+x\left(x+3\right) & =& 3·\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\ x^3-x^2+x^2+3x & =& 3x^2+6x-9\\ x^3-3x^2-3x+9 & =& 0 \end{array}$

Vi observerer at $x=3$ er ei løysing (vi gjettar på 3, sidan konstantleddet er $9=3·3$):

$3^3-3·3^2-3·3+9=0$

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3-3x^2-3x+9\right):\left(x-3\right)& =& x^2-3\\ \underline{-\left(x^3-3x^2\right) }& & \\ 0-3x+9& & \\ \underline{-\left(-3x+9\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

Vi har at likninga har følgande tre løysingar:

$x=3, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$

$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x+1}-\frac{6}{x-4} & =& \frac{6}{x+2}+1 |·\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)\\ 2\left(x-4\right)\left(x+2\right)-6·\left(x+1\right)\left(x+2\right) & =& 6·\left(x+1\right)\left(x-4\right)+\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x+2\right)\\ 2x^2-4x-16-6x^2-18x-12 & =& 6x^2-18x-24+x^3-x^2-10x-8\\ x^3+9x^2-6x-4 & =& 0\end{array}$

Vi observerer at $x=1$ er éi løysing:

$1^3+9·1^2-6·2-4=0$

Det betyr at $x-1$ er ein faktor i tredjegradsuttrykket, og vi utfører ein polynomdivisjon for å finne eventuelle andre løysingar:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+9x^2-6x-4\right):\left(x-1\right)& =& x^2+10x+4\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) }& & \\ 10x^2-6x-4& & \\ \underline{-\left(10x^2-10x\right) }& & \\ 4x-4& & \\ \underline{-(4x-4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Vi finn nullpunkta til andregradsuttrykket med abc-formelen:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & =& \frac{-10\pm \sqrt{84}}{2}\\ & =& \frac{-5·2\pm \sqrt{4·21}}{2}\\ & =& -5\pm \sqrt{21}\end{array}$

Likninga vår har følgande tre løysingar:

$x=1, x=-5+\sqrt{21}, x=-5-\sqrt{21}$

Først faktoriserer vi nemnaren til høgre for brøkstreken. Vi observerer at begge dei to nemnarane til venstre er faktorar i tredjegradspolynomet:

$\begin{array}{rcl}{\left(-2\right)}^3+2·{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2 & =& -8+8+2-2=0\\ 1^3+2·1^2+1-2 & =& 1+2+1-2=0\end{array}$

Vi finn den siste faktoren ved hjelp av polynomdivisjon:

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=x^2+x-2$

$\begin{array}{lcc} \left( x^3+2x^2-x-2\right):\left(x^2+x-2\right)& =& x+1\\ \underline{-\left(x^3+x^2-2x\right) }& & \\ x^2+x-2& & \\ \underline{-\left(x^2+x-2\right) }& & \\ 0& & \end{array}$

No kan vi løyse likninga ved å gonge med fellesnemnaren:

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x-1} & =& -\frac{6}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)} |·\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\\ x·\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x+2\right) & =& -6\\ x^3-x-(x^2+3x+2) +6 & =& 0\\ x^3-x^2-4x+4 & =& 0\end{array}$

Vi observerer at eitt nullpunkt for tredjegradspolynomet er $x=1$:

$1^3-1^2-4·1+4=0$

Vi gjer polynomdivisjon igjen:

$\begin{array}{lcc} \left( x^3-x^2-4x+4\right):\left(x-1\right)& =& x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right) }& & \\ -4x+4& & \\ \underline{-\left(-4x+4\right) }& & \\ 0& & \end{array}$