Fag

Fagstoff

Video

Bruk av polynomdivisjon. Faktorisering og likningar

Her skal vi lære å bruke polynomdivisjon til å faktorisere polynomuttrykk og dermed kunne løyse likningar av høgare grad enn 2.

Nullpunktmetoden for faktorisering

I artikkelen "Nullpunktmetoden for faktorisering" kan du lese om korleis vi kan bruke nullpunkta til eit andregradsuttrykk til å faktorisere uttrykka. Denne metoden gjeld for alle polynom og kan generaliserast på følgande måte:

Eit polynom på forma

$a x^{n} + b x^{n - 1} + . . . + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot . . . \cdot (x - x_{n})$

der $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ er nullpunkta til polynomet.

Det betyr at vi no har verktøy for å faktorisere polynom av høgare grad enn 2.

Vi viser med eit døme.

Vi har gitt polynomet $P (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4$ .

Vi observerer først at $P (1) = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 4 = 0$ . Det betyr at $x_{1} = 1$ , og at $(x - 1)$ er ein faktor i $P (x)$ . Vi kan utføre ein polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} (2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4) : (x - 1) & = & 2 x^{2} + 6 x + 4 \\ - (2 x^{3} - 2 x^{2}) \\ 6 x^{2} - 2 x - 4 \\ - (6 x^{2} - 6 x) \\ 4 x - 4 \\ - (4 x - 4) \\ 0 \end{array}$

Vi står igjen med eit andregradsuttrykk, og vi finn dei to andre nullpunkta:

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} + 6 x + 4 & = & 0 | : 2 \\ x^{2} + 3 x + 2 & = & 0 \\ (x + 2) (x + 1) & = & 0 \\ x_{2} & = & - 2, x_{3} = - 1 \end{array}$

No kan vi faktorisere $P (x)$ :

$\begin{array}{rcl} 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4 & = & 2 (x - 1) (x - (- 2)) (x - (- 1)) \\ = & 2 (x - 1) (x + 2) (x + 1) \end{array}$

🤔 Tenk over: Kva kan du seie om samanhengen mellom konstantleddet og produktet av nullpunkta og koeffisienten til tredjegradsleddet? Korleis kan dette hjelpe oss å finne eit nullpunkt?

Forklaring

Vi reknar ut produktet:

$a \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = 2 \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot (- 2) = 4$

Vi ser at konstantleddet er lik $- 4$ . Det vil alltid vere slik i eit tredjegradspolynom at produktet av a og dei tre nullpunkta vil vere lik det omvende konstantleddet. I oppgåvene skal du få bevise dette og i tillegg utforske om det er sånn i alle polynom.

Dette kan vi bruke for å finne eit nullpunkt å starte med, for no veit vi at alle nullpunkta er faktor i konstantleddet. Så vi byrjar med dei heile tala som går opp i konstantleddet, då får vi ofte napp!

Likningar av høgare grad

No har vi fått eit verktøy som gjer at vi kan løyse likningar av høgare grad. For tredje- og fjerdegradslikningar finst det formlar, men dei møter vi ikkje i matematikkfaget på vidaregåande skule. Framgangsmåten vår er som i faktoriseringa over: Vi finn først éi løysing ved å prøve oss fram, og så finn vi resten av løysingane ved polynomdivisjon.

Døme

Vi vil løyse likninga

$4 x^{3} - 4 x = x^{2} - 1$

Vi startar med å ordne likninga slik at vi samanliknar med 0. Dette gir

$4 x^{3} - x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Så prøver vi oss fram og finn éi løysing til likninga. Sidan konstantleddet er lik 1, prøver vi først med $x = 1$ :

$4 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1 = 4 - 1 - 4 + 1 = 0$

Dermed er den eine løysinga på likninga $x = 1$ . Dette inneber òg at $x - 1$ er ein faktor i uttrykket, så vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{lcc} (4 x^{3} - x^{2} - 4 x + 1) : (x - 1) & = & 4 x^{2} + 3 x - 1 \\ - (4 x^{3} - 4 x^{2}) \\ 3 x^{2} - 4 x + 1 \\ - (3 x^{2} - 3 x) \\ - x + 1 \\ - (- x + 1) \\ 0 \end{array}$

Vi set andregradsuttrykket lik 0 og løyser ved hjelp av abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 4} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} \\ = & \frac{- 3 \pm 5}{8} \\ x & = & \frac{- 3 + 5}{8} = \frac{1}{4} \lor x = \frac{- 3 - 5}{8} = - 1 \end{array}$

Vi har no den fullstendige løysinga på likninga:

$x = 1 \lor x = \frac{1}{4} \lor x = - 1$

Film om løysing av tredjegradslikningar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0