Fag

Fagstoff

Video

Nullpunktmetoden for faktorisering

Her skal vi lære ein generell metode for å faktorisere andregradsuttrykk. Denne kan brukast når dei andre metodane vi kjenner, ikkje strekk til.

Samanheng mellom faktorisering og nullpunkt

I artikkelen "Andregradslikningar utan formel" viste vi korleis vi kan løyse andregradslikningar ved hjelp av å faktorisere og setje uttrykket lik 0. Vi har til dømes at

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x - 15 & = & 0 \\ (x + 5) (x - 3) & = & 0 \\ x + 5 & = & 0 \lor x - 3 = 0 \\ x & = & - 5 \lor x = 3 \end{array}$

Vi ser at løysingane av likninga, det vi kallar nullpunkta til uttrykket, er dei same som nullpunkta til dei to faktorane. Det betyr at vi òg kan gå den andre vegen, det vil seie at vi kan finne dei lineære faktorane til eit andregradsuttrykk dersom vi kjenner nullpunkta. Vi går baklengs i dømet over:

$\begin{array}{rcl} x & = & - 5 | + 5 \\ x + 5 & = & 0 \\ x & = & 3 | - 3 \\ x - 3 & = & 0 \end{array}$

Vi kan dermed gonge ut dei to faktorane, og vi får uttrykket vi starta med:

$\begin{array}{rcl} (x + 5) (x - 3) & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 15 & = & 0 \end{array}$

Dette skal vi bruke for å finne ein framgangsmåte for å faktorisere alle faktoriserbare andregradsuttrykk, og vi kallar denne framgangsmåten for nullpunktmetoden.

Før du les vidare, bør du gjere oppgåve 1 på oppgåvesida "Nullpunktmetoden for faktorisering".

Nullpunktmetoden

Vi har sett at vi kan faktorisere eit andregradsuttrykk på forma $x^{2} + b x + c$ ved hjelp av nullpunkta til uttrykket.

🤔 Tenk over: Vil det vere nok å bruke nullpunkta for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Forklaring

Nei, dersom koeffisienten framfor $x^{2}$ ikkje er lik 1, får vi ikkje det korrekte uttrykket. Ved å multiplisere to faktorar på forma $(x - a)$ vil koeffisienten alltid bli lik 1.

Vi ønsker å faktorisere uttrykket $2 x^{2} - 4 x - 30$ i lineære faktorar. Vi legg først merke til at vi har ein felles faktor i alle ledda:

$2 x^{2} - 4 x - 30 = 2 (x^{2} - 2 x - 15)$

Så legg vi merke til at uttrykket i parentesen er det same som i dømet over. Det må bety at vi har

$2 x^{2} - 4 x - 30 = 2 (x^{2} - 2 x - 15) = 2 (x - 5) (x + 3)$

Vi ser at vi i tillegg til dei to faktorane som inneheld nullpunkta, må ha med koeffisienten til andregradsleddet som faktor. Vi kan no formulere nullpunktmetoden for faktorisering av andregradsuttrykk:

Dersom uttrykket $a x^{2} + b x + c$ har nullpunkta $x_{1}$ og $x_{2}$ , kan uttrykket faktoriserast ved

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Døme

Vi skal faktorisere uttrykket $2 x^{2} - x - 3$ . Vi finn først nullpunkta ved hjelp av abc-formelen:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} \\ x & = & \frac{1 \pm 5}{4} \\ x_{1} & = & \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ x_{2} & = & \frac{1 - 5}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1 \end{array}$

Vi får dette resultatet:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ 2 x^{2} - x - 3 & = & 2 (x - \frac{3}{2}) (x - (- 1)) \\ = & 2 (x - \frac{3}{2}) (x + 1) \end{array}$

Vi kan seie oss fornøgde med dette uttrykket, men ofte liker matematikarar å unngå brøkar der dei kan, særleg inne parentesar og under brøkstrekar. Så vi vel her å multiplisere totalet inn i den første parentesen:

$\begin{array}{rcl} 2 (x - \frac{3}{2}) (x + 1) & = & (2 x - 3) (x + 1) \end{array}$

Film om nullpunktmetoden

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0