Fagstoff

Areal og omkrins av plane figurar

Kva sidekantar skal vere med i omkrinsen av ein samansett figur? Korleis finn vi arealet av plane figurar?

Tidlegare har du rekna med ulike måleiningar for lengde og areal. Dersom du treng å repetere noko av dette, finn du lenkjer til artiklane nedst på sida.

I overskrifta står det at vi skal rekne med areal og omkrins av plane figurar. Veit du kva ein plan figur er?

Svar

Ein plan figur er ein todimensjonal figur, det vil seie ein figur som kan teiknast på ei plan flate. Kan du teikne figuren på eit ark, er det ein plan figur. I røynda er til dømes ein fotballbane, ei vindaugsflate eller teikning av grunnflata i eit hus plane figurar.

Omkrins av plane figurar

Omkrinsen av ein plan figur kan vi seie er det same som "vegen rundt figuren". Dersom vi har med enkle mangekantar å gjere, summerer vi lengdene til sidekantane.

Ein figur som er sett saman av eit rektangel A B D E, ein trekant B C D og ein halvsirkel C D. Fotpunktet F fra C til B D er teikna inn. Nokre mål er gitt på biletet. Dette er A B som er 2 komma null centimeter, B F som er 2 komma null centimeter, og F E som er 1 komma null centimeter. Illustrasjon.

Vi vil sjå på eit døme med ein samansett figur.

Først tenkjer vi etter kva sider som skal vere med i omkrinsen. Kva er det?

Svar

Vi ser at vi må ha $A B, B C, D E, A E$ og halvsirkelbogen $C D$ .

Vi ser at sidan firkanten $A B C D$ er eit rektangel, må vi ha

$E D = A B$

$A E = B D = B F + F D$

Vi bruker den rettvinkla trekanten $B F C$ og finn $B C$ ved hjelp av pytagorassetninga:

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & F C^{2} + B F^{2} \\ = & 2, 0^{2} + 2, 0^{2} \\ = & 8, 0 \\ B C & = & \sqrt{8, 0} \\ = & 2, 82 \approx 2, 8 \end{array}$

Til slutt må vi finne lengda av sirkelbogen mellom C og D. For å finne lengda til sirkelbogen, treng vi diameteren $C D$ :

$\begin{array}{rcl} C D^{2} & = & F C^{2} + D F^{2} \\ = & 2, 0^{2} + 1, 0^{2} \\ = & 5, 0 \\ C D & = & \sqrt{5, 0} \\ = & 2, 23 \approx 2, 2 \end{array}$

Lengda av halvsirkelbogen $C D$ blir då

$\begin{array}{rcl} C D & = & \frac{2, 2 \cdot π}{2} \\ = & 1, 1 \cdot π \\ = & 3, 45 \approx 3, 5 \end{array}$

No finn vi omkrinsen av heile figuren:

$\begin{array}{rcl} O_{A B C D E} & = & A B + B C + C D + D E + A E \\ = & 2, 0 cm + 2, 8 cm + 3, 5 cm + 2, 0 cm + 3, 0 cm \\ = & 13, 3 cm \end{array}$

Areal av plane figurar

Arealet av eit rektangel

Eit rektangel med grunnlinje lik 5 centimeter og høgde lik 3 centimeter. Rektangelet er delt inn i 15 små kvadrat med areal 1 centimeter i andre. Illustrasjon.

I eit rektangel som er $5$ cm langt og $3$ cm høgt, kan vi få plass til $3 \cdot 5 = 15$ kvadrat som kvar har eit areal på $1$ cm². Det betyr at arealet er på $15$ cm².

Vi kan altså finne arealet til eit rektangel ved å multiplisere grunnlinja med høgda. Vi kan òg seie at vi multipliserer lengda med breidda.

Vi får ein formel for arealet til eit rektangel:

$A = g \cdot h$

Hugs at sidene må ha den same måleininga når vi skal rekne ut arealet.

Arealet av andre figurar

Eit rektangel med ein trekant inni. Høgda er felles for firkanten og trekanten. Ho er teikna inn og kalla for h. Grunnlinja, som er felles for firkanten og trekanten, er kalla for g. Illustrasjon.

Vi kan òg lage formlar for arealet av andre figurar.

På figuren kan du samanlikne arealet til rektangelet med grunnlinja $g$ og høgda $h$ med arealet til trekanten med grunnlinja $g$ og høgda $h$ .

Kan du forklare at arealet til rektangelet er dobbelt så stort som arealet til trekanten?

Forklaring

På figuren er høgda i trekanten markert som linja $h$ . Denne linja deler det store rektangelet i to mindre rektangel. Dersom vi ser på eit av desse rektangla, deler ein sidekant i trekanten dette rektangelet i to like store delar. Denne halvdelen er del av trekanten, mens den andre ikkje er det. Det same gjeld for det andre rektangelet. Då må arealet til trekanten vere halvparten av arealet til rektangelet.

Sidan vi kan finne arealet til rektangelet ved å multiplisere grunnlinja med høgda, $A (rektangel) = g \cdot h$ , er arealet til trekanten

$A (trekant) = \frac{g \cdot h}{2}$

Kva med parallellogram, rombe og trapes?

Du kan no ta for deg eit parallellogram, ein rombe og eit trapes og sjå om du kan lage arealformlar for desse figurane på den same måten som for trekantar. Du kan samanlikne formlane dine med formlane i skjemaet nedanfor.

Arealformel for sirkel

Ein sirkel delt opp i åtte sirkelsektorar og åtte sirkelsektorar stabla ved sida av kvarandre. Radiusen er merkt av både i sirkelen og i ein av dei åtte sirkelsektorane. Under dei åtte sirkelsektorane står det pi r. Illustrasjon.

Det er ikkje så lett å gjere ein sirkel om til eit rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel ei brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren.

Vi deler sirkelen inn i like sektorar. Så stiller vi sektorane annankvar opp og ned, slik at sektorane tilnærma blir eit parallellogram med grunnlinje tilnærma lik $\frac{2 π r}{2} = π r$ og høgde lik $r$ . Arealet blir då tilnærma $A = π r \cdot r = π r^{2}$ .

Jo fleire sektorar vi deler sirkelen inn i, jo betre blir tilnærminga. Dersom vi deler sirkelen i veldig mange sektorar, får vi tilnærma eit rektangel.

Areal av samansette figurar

Når vi skal rekne arealet av ein samansett figur, må vi først dele opp figuren i formålstenlege delar. Vi ser på den same samansette figuren som vi fann omkrinsen til. Korleis vil du dele opp denne figuren for å finne arealet?

Forslag

Dette kan sikkert gjerast på fleire måtar, men eit godt forslag er å sjå på rektangelet $A B D E$ , trekanten $B C D$ og halvsirkelen som er avgrensa av $C D$ .

Vi finn dei tre areala og legg dei saman. Vi bruker måla vi fann lenger oppe:

$\begin{array}{rcl} A_{A B D E} & = & 3, 0 cm \cdot 2, 0 cm \\ = & 6, 0 {cm}^{2} \\ A_{B C D} & = & \frac{3, 0 cm \cdot 2, 0 cm}{2} \\ = & 3, 0 {cm}^{2} \\ A_{C D} & = & \frac{π \cdot {(1, 1 cm)}^{2}}{2} \\ = & 1, 90 {cm}^{2} \approx 1, 9 {cm}^{2} \\ A_{A B C D E} & = & 6, 0 {cm}^{2} + 3, 0 {cm}^{2} + 1, 9 {cm}^{2} \\ = & 10, 9 {cm}^{2} \end{array}$

Formlar for areal av utvalde figurar

Arealformlane til eit kvadrat, eit rektangel, ein trekant, eit parallellogram, ein rombe, eit trapes og ein sirkel. Illustrasjon.

Her har vi samla formlane i ein tabell:

Arealformlar
Namn	Arealformel
Kvadrat	$A = s^{2}$
Rektangel	$A = g \cdot h$
Trekant	$A = \frac{g \cdot h}{2}$
Parallellogram	$A = g \cdot h$
Rombe	$A = g \cdot h$
Trapes	$A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
Sirkel	$A = π \cdot r^{2}$

Relatert innhald

Måleiningar for lengde

Her skal vi sjå på korleis vi måler lengder og vinklar, og kva slags målereiskapar og nemning vi bruker.

Måleiningar for areal

Her ser vi på metriske måleiningar for areal.

Geometri