Oppgåve

Likningssett med andregradslikningar

Her kan du øve på å løyse likningssett som inneheld éin eller fleire variablar av andre grad. Dersom det ikkje står noko anna, skal oppgåva løysast utan hjelpemiddel. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Løys likningssetta.

a) $[\begin{array}{rcl} x + y & = & 4 \\ x^{2} - y & = & 16 \end{array}]$

Løysing

Vi løyser først den øvste likninga for x:

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 4 \\ x & = & 4 - y \end{array}$

Vi set inn for x i den andre likninga:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - y & = & 16 \\ (x^{2} - y) - y & = & 16 \\ 16 - 8 y + y^{2} - y - 16 & = & 0 \\ y^{2} - 9 y & = & 0 \\ y (y - 9) & = & 0 \\ y & = & 0 \lor y - 9 = 0 \\ y & = & 0 \lor y = 9 \\ y & = & 0 gir x = 4 - 0 = 4 \\ y & = & 9 gir x = 4 - 9 = - 5 \end{array}$

Likningssettet har to løysingar:

$\begin{array}{rcl} x & = & 4 \land y = 0 \\ x & = & - 5 \land y = 9 \end{array}$

b) $[\begin{array}{rcl} x + y^{2} & = & 3 \\ x + y & = & 1 \end{array}]$

Løysing

Vi løyser først den andre likninga for x:

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 1 \\ x & = & 1 - y \end{array}$

Vi set inn i den første likninga:

$\begin{array}{rcl} x + y^{2} & = & 3 \\ 1 - y + y^{2} & = & 3 \\ y^{2} - y - 2 & = & 0 \\ y & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ y & = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ y & = & \frac{1 + 3}{2} \lor y = \frac{1 - 3}{2} \\ y & = & 2 \lor y = - 1 \\ y & = & 2 gir x = 1 - 2 = - 1 \\ y & = & - 1 gir x = 1 - (- 1) = 2 \end{array}$

Likningssettet har to løysingar:

$\begin{array}{rcl} x & = & - 1 \land y = 2 \\ x & = & 2 \land y = - 1 \end{array}$

$[\begin{array}{rcl} x^{2} + y^{2} & = & 4 \\ x + y & = & - 2 \end{array}]$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & - 2 \\ x & = & - 2 - y \\ x^{2} + y^{2} & = & 4 \\ {(- 2 - y)}^{2} + y^{2} & = & 4 \\ 4 + 4 y + y^{2} + y^{2} & = & 4 \\ 2 y^{2} + 4 y & = & 0 \\ 2 y (y + 2) & = & 0 \\ 2 y & = & 0 \lor y + 2 = 0 \\ y & = & 0 \lor y = - 2 \\ y & = & 0 gir x = - 2 - 0 = - 2 \\ y & = & - 2 gir x = - 2 - (- 2) = 0 \end{array}$

Likningssettet har to løysingar:

$\begin{array}{rcl} x & = & - 2 \land y = 0 \\ x & = & 0 \land y = - 2 \end{array}$

Oppgåve 2

a) To kvadrat har ein omkrins på til saman 56 cm. Det samla arealet av kvadrata er $100 {cm}^{2}$ . Set opp to likningar og finn sidene i kvadrata ved hjelp av CAS i GeoGebra.

Løysing

Vi kallar sidelengdene i dei to kvadrata for x og y. Vi set opp to likningar:

$[\begin{array}{rcl} 4 x + 4 y & = & 56 \\ x^{2} + y^{2} & = & 100 \end{array}]$

Vi løyser likningssettet ved hjelp av GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrive 4 x pluss 4 y er lik 56. På linje 2 er det skrive x i andre pluss y i andre er lik 100. På linje 3 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 1 komma, dollarteikn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er x er lik 6, y er lik 8 eller x er lik 8, y er lik 6. Skjermutklipp.

Det eine kvadratet har sidelengde $6 cm$ og det andre $8 cm$ . Dei to løysingane gir i praksis det same resultatet.

b) Summen av to tal er 169. Kvadrerer du tala og legg dei saman, blir resultatet 14 893. Set opp to likningar og finn dei to tala.

Løysing

Vi kallar dei to tala x og y. Vi set opp to likningar:

$[\begin{array}{rcl} x + y & = & 169 \\ x^{2} + y^{2} & = & 14 893 \end{array}]$

Vi løyser likningssettet i GeoGebra. Der kan vi løyse likningssettet ved å skrive kommandoen "Løys" i staden for å skrive inn likningane på kvar si linje, slik som i den førre oppgåva:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrive Løys parentes sløyfeparentes x pluss y er lik 169 komma, x i andre pluss y i andre er lik 14893 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 67, y er lik 102 eller x er lik 102, y er lik 67. Skjermutklipp.

Det eine talet er 102 og det andre 67.

Oppgåve 3

Løys likningssetta.

a) Differansen mellom to tal er 3. Differansen mellom kvadrata til tala er 57. Kva to tal er dette?

Løysing

Vi kallar dei to tala x og y. Vi set opp to likningar:

$[\begin{array}{rcl} x - y & = & 3 \\ x^{2} - y^{2} & = & 57 \end{array}]$

$\begin{array}{rcl} x - y & = & 3 \\ x & = & 3 + y \\ x^{2} - y^{2} & = & 57 \\ {(3 + y)}^{2} - y^{2} & = & 57 \\ 9 + 6 y + y^{2} - y^{2} & = & 57 \\ 6 y & = & 57 - 9 \\ 6 y & = & 48 \\ y & = & 8 \\ x & = & 3 + 8 = 11 \end{array}$

Det eine talet er 8 og det andre 11.

b) Kvotienten mellom to tal er 3. Produktet av dei to tala er 27. Kva to tal er dette?

Løysing

Vi kallar dei to tala x og y. Vi set opp to likningar:

$\begin{array}{rcl} [\begin{matrix} \frac{x}{y} & = & 3 \\ x y & = & 27 \end{matrix}] \\ \frac{x}{y} & = & 3 \\ x & = & 3 y \\ x \cdot y & = & 27 \\ 3 y \cdot y & = & 27 \\ y^{2} & = & 9 \\ y & = & 3 \lor y = - 3 \\ x & = & 3 \cdot 3 = 9 \lor x = 3 \cdot (- 3) = - 9 \end{array}$

Dei to tala er anten $3$ og $9$ eller $- 3$ og $- 9$ .

Oppgåve 4

Løys likningssettet i CAS både ved hjelp av $x \approx_{}^{\overset{}{}}$ og $x =_{}^{\overset{}{}}$ , det vil seie verktøya "NLøys" og "Løys". Kommenter forskjellen på svara du får.

$[\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 9 \\ y + 4 x^{2} & = & 3 \end{matrix}]$

Løysing

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre pluss y i andre er lik 9. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive y pluss 4 x i andre er lik 3. Svaret er det same. På linje 3 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 1 komma, dollarteikn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er x er lik 0 og y er lik 3, x er lik rota av 23 delt på 4 og y er lik minus 11 firedelar og til slutt x er lik minus rota av 23 delt på 4 og y er lik minus 11 firedelar. Skjermutklipp.

Vi ser at "NLøys" berre finn éi av løysingane. Dette er fordi "NLøys" bruker numeriske metodar for å finne løysingane, og GeoGebra sluttar ofte å leite etter løysingar når ei løysing er funnen. Derfor lønner det seg alltid å bruke "Løys" (det vil seie $x =_{}^{\overset{}{}}$ ) når vi løyser likningar i GeoGebra.

Oppgåve 5

Løys likningssettet både med CAS og utan hjelpemiddel.

$[\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = & 5 \\ 3 y^{2} + 2 x^{2} & = & 14 \end{matrix}]$

Løysing

Utan hjelpemiddel:

Vi løyser først for den eine variabelen. Vi vel å løyse for $x^{2}$ i den øvste likninga (vi treng ikkje å løyse for x her, sidan vi kan setje rett inn for $x^{2}$ i den andre likninga):

$\begin{array}{rcl} x^{2} + y^{2} & = & 5 \\ x^{2} & = & 5 - y^{2} \end{array}$

Vi set inn i likning 2:

$\begin{array}{rcl} 3 y^{2} + 2 x^{2} & = & 14 \\ 3 y^{2} + 2 (5 - y^{2}) & = & 14 \\ 3 y^{2} + 10 - 2 y^{2} & = & 14 \\ y^{2} & = & 4 \\ y & = & \pm 2 \end{array}$

Vi finn x:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 5 - y^{2} \\ x^{2} & = & 5 - 4 = \pm 1 \end{array}$

Vi ser at her har vi fire sett med løysingar, for både $y = - 2$ og $y = 2$ kan gi løysingane $x = \pm 1$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} x & = & 1 \land y = 2 \\ \lor \\ x & = & 1 \land y = - 2 \\ \lor \\ x & = & - 1 \land y = 2 \\ \lor \\ x & = & - 1 \land y = - 2 \end{array}$

I CAS:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre pluss y i andre er lik 5. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive 2 x i andre pluss 3 y i andre er lik 14. Svaret er det same. På linje 3 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 1 komma, dollarteikn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er x er lik 1 og y er lik 2, x er lik minus 1 og y er lik 2, x er lik 1 og y er lik minus 2 og til slutt x er lik minus 1 og y er lik minus 2. Skjermutklipp.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Nedlastbare filer

Reglar for bruk av teksten "Likningssett med andregradslikningar"