Andregradslikningar utan formel

Vi har at $$ c=0$$, så vi faktoriserer ved å trekke $$ 2x$$ utanfor ein parentes:

$$ \begin{array}{rcl}2x^2-2x& =& 0\\ 2x\left(x-1\right)& = & 0\\ & & \\ 2x& =& 0 \vee x-1=0\\ x& =& 0 \vee x=1\end{array}$$

Her manglar førstegradsleddet, så vi ordnar likninga med andregradsleddet på venstre side og konstantleddet på høgre side:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4& =& 0\\ x^2& = & 4\\ & & \\ x& =& \sqrt{4} \vee x=-\sqrt{4}\\ x& =& 2 \vee x=-2\end{array}$$

Vi har eit fullstendig kvadrat på venstre side:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-5\right)}^2& =& 16\\ x-5& =& \pm \sqrt{16}=\pm 4\\ & & \\ x-5=4& \vee & x-5=-4\\ x=9& \vee & x=1\end{array}$$

Vi faktoriserer venstre side ved å sjå at $$ -7=7·(-1)$$ og $$ 7-1=6$$:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+6x-7& =& 0\\ \left(x+7\right)\left(x-1\right)& =& 0\\ & & \\ x+7=0& \vee & x+1=0\\ x=-7& \vee & x=1\end{array}$ $$$

$$ \begin{array}{rcl}12x& =& 3x^2\\ 12x-3x^2& = & 0\\ 3x\left(4-x\right)& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0 \vee 4-x=0\\ x& =& 0 \vee -x=-4\\ x& =& 0 \vee x=4\end{array}$$

Vi ordnar likninga og deler på 2. Vi kjenner igjen første kvadratsetning.

$$ \begin{array}{rcl}2x^2+8x & =& -8\\ 2x^2+8x+8 & =& 0 |:2\\ x^2+4x+4 & =& 0\\ {\left(x+2\right)}^2 & =& 0\\ x+2 & =& 0\\ x & =& -2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}3x^2& = & 3 |:3\\ x^2& =& 1\\ x& =& \pm \sqrt{1}=\pm 1\\ & & \\ x=1& \vee & x=-1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}5x^2& =& 25x\\ 5x^2-25x& = & 0\\ 5x\left(x-5\right)& =& 0\\ & & \\ 5x& =& 0 \vee x-5=0\\ x& =& 0 \vee x=5\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2x^2+8 & =& 0\\ 2x^2 & =& -8 |:2\\ x^2 & =& -4\end{array}$$

Likninga har ingen reelle løysingar.

$$ \begin{array}{rcl} x^2-2x& = & 24\\ x^2-2·x+1^2& =& 24+1\\ x^2-2x+1& =& 25\\ {\left(x-1\right)}^2& =& 5^2\\ & & \\ x-1& =& 5 \vee x-1=-5\\ x& =& 6 \vee x=-4\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}-2x^2+4x+16& = & 0 \overline{):\left(-2\right)}\\ x^2-2x-8& =& 0\\ x^2-2·x+1^2& =& 8+1\\ {\left(x-1\right)}^2& =& 3^2\\ & & \\ x-1& =& 3 \vee x-1=-3\\ x& =& 4 \vee x=-2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}0,2x^2+0,8x& = & 2,4 \overline{):0,2}\\ x^2+4x+2^2& =& 12+4\\ {\left(x+2\right)}^2& =& 4^2\\ & & \\ x+2& =& 4 \vee x+2=-4\\ x& =& 2 \vee x =-6\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}0,1x^2+0,6x& = & -0,8 \overline{)·10}\\ x^2+6x+3^2& =& -8+9\\ {\left(x+3\right)}^2& =& 1^2\\ & & \\ x+3& =& 1 \vee x+1=-1\\ x& =& -2 \vee x=-4\end{array}$$

Vi ser at René har delt på x. Då risikerer ein å miste ei løysing på vegen, og det har skjedd her. Rett løysing:

$$ $ \begin{array}{rcl}2x^2 & =& 18x |:2\\ x^2 & =& 9x\\ x^2-9x & =& 0\\ x\left(x-9\right) & =& 0\\ & & \\ x -9 & =& 0 \vee x = 0\\ x & =& 9 \vee x = 0\end{array}$$$

Vi får to løysingar, $$ x=0 \vee x=9$$.

Vi ser at i linje 3 legg René til grunn for løysinga si at minst éin av faktorane må vere 9 for at produktet skal bli 9. Men dette argumentet er feil sidan det er uendeleg mange måtar å få produktet 9 på. Dette argumentet gjeld berre dersom vi samanliknar med 0.

Rett løysing:

$$ $ \begin{array}{rcl}3x^2+6x & =& 9 |-9\\ 3x^2+6x-9 & =& 0 | :3\\ x^2+2x-3 & =& 0\\ \left(x+3\right)\left(x-1\right) & =& 0\\ & & \\ x & =& -3 \vee x = 1\end{array}$$$

Her har René teke kvadratrota av både $$ x^2$$ og 9. Men når ein tek kvadratrota, mistar ein eventuelle negative løysingar sidan kvadratrota av eit tal alltid er positiv.

Rett løysing:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2 & =& 9\\ x & =& \pm \sqrt{9}\\ x & =& \pm 3\end{array}$$

Her har René gjort ein feil mellom dei to øvste linjene. Hen har flytta 5 frå venstre til høgre side i likninga, men burde ha trekt frå 5 på begge sider slik at det vart $$ -5$$ på høgre side.

Rett løysing:

$$ $ \begin{array}{rcl}{x}^2-4x+5 & =& 0\\ x^2-4x+4 & =& -5+4\\ {\left(x-2\right)}^2 & =& -1\\ & & \end{array}$$$

Vi ser at likninga ikkje har nokon reelle løysingar.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2 & =& -3+4x\\ x^2 -4x +3 & =& 0\\ \left(x-3\right)\left(x-1\right) & =& 0\\ & & \\ x & =& 3 \vee x = 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+64 & =& 16x\\ x^2-16x+64 & =& 0\\ {\left(x-8\right)}^2 & =& 0\\ x & =& 8\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}4x^2+12x+9 & =& \hspace{0.17em}0\\ {\left(2x+3\right)}^2 & =& 0\\ 2x+3 & =& \hspace{0.17em}0\\ x & =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}4x & =& $ -\frac{1}{2}-8x^2$\\ 8x^2+4x+\frac{1}{2} & =& 0 |·2\\ 16x^2+8x+1 & =& 0\\ {\left(4x+1\right)}^2 & =& 0\\ 4x+1 & =& 0\\ 4x & =& -1\\ x & =& -\frac{1}{4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2-13$ & =& 0\\ x^2 & =& 13\\ x & =& \pm \sqrt{13}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2+15$ & =& 0\\ x^2 & =& -15\end{array}$$

Likninga har ingen reelle løysingar.

$$ \begin{array}{rcl}$ 9x^2+6x+1$ & =& 4\\ {\left(3x+1\right)}^2 & =& 4\\ 3x+1 & =& \pm 2\\ & & \\ 3x+1 & =& 2 \vee 3x+1 = -2\\ 3x & =& 1 \vee 3x =\hspace{0.17em}-3\\ x & =& \hspace{0.17em}\frac{1}{3} \vee x =\hspace{0.17em}-1\end{array}$$

Vi set inn 10 m for høgda h og får

$10=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).

Når ballen treffer bakken, er høgda over bakken 0 m.

Vi set inn 0 m for høgda h og får

$0=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi kan berre bruke den positive løysinga sidan den negative løysinga vil gi eit tidspunkt før ballen blir kasta, og dermed er utanfor det aktuelle området for variabelen t.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

Vi set inn 15 m for høgda h og får

$15=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi får inga løysing. Det må bety at ballen aldri når ei høgde på 15 m over bakken.

Vi set inn i formelen og får

$$ \begin{array}{rcl}250 & =& 2\pi r^2+2\pi r·5\\ & & \\ 250 & =& 2\pi r^2+10\pi r\end{array}$$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi kan berre bruke den positive løysinga sidan ein radius ikkje kan vere negativ.

Brusboksen har ein radius på 4,3 cm.