Andregradslikningar med abc-formelen

Vi ser på den generelle andregradslikninga$a{x}^2+bx+c=0$. Vi skal utleie ein generell formel for å løyse slike likningar ved hjelp av fullstendige kvadrat. Repeter metoden på teorisida "Andregradslikningar utan formel" viss du treng det, før du går vidare. Dersom du er tøff, prøver du på eiga hand før du les utleiinga under!

Vi startar med å dele på a i alle ledda slik at vi får x åleine utan koeffisient, og flyttar konstantleddet over på høgre side:

$$ \begin{array}{rcl}a{x}^2+bx+c & =& \hspace{0.17em}0 |:a\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}& =& |-\frac{c}{a}\\ x^2+ \frac{b}{a}x & =& -\frac{c}{a} \end{array}$$

Vi må no finne ut kva vi skal addere for å lage eit fullstendig kvadrat på venstre side. Vi hugsar at dersom koeffisienten til $$ x^2$$ er lik 1, kan vi finne $$ p^2$$ ved å halvere og kvadrere koeffisienten til x:

$$ \begin{array}{rcl}p & =& \frac{b}{a}:2 = \frac{b}{2a}\\ p^2 & =& {\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\end{array}$$

Vi legg til $$ p^2$$ på begge sider av likskapsteiknet og skriv om venstre side ved hjelp av første kvadratsetning. Så kan vi løyse likninga for x på vanleg måte.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2 & =& -\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2 & =& -\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\ & & \\ {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2 & =& \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ & & \\ x+\frac{b}{2a} & =& \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ & & \\ x & =& -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & & \\ x & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$

Vi har no komme fram til ein formel som alltid kan brukast til å løyse andregradslikningar.

🤔 Tenk over: Kvifor har vi skrive $$ a\ne 0$$ og $$ b^2-4ac\ge 0$$ saman med formelen?

Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma$a{x}^2+bx+c=0$. Dette gjer vi for å kunne identifisere dei tre koeffisientane a, b og c lettare. Det er nemleg fort gjort å velje feil i byrjinga.

Det lønner seg òg å forkorte bort eventuelle felles faktorar i ledda slik at utrekningane i formelen blir enklast mogleg. Vi ser på nokre døme.

Når likninga har to løysingar

Vi vil løyse likninga $$ x^2=5-4x$$. Vi byrjar med å ordne likninga og identifisere a, b og c:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2 & =& 5-4x\\ x^2+4x-5 & =& 0\end{array}$$

Dette gir at $$ a=1, b=4$$ og $$ c=-5$$. Vi set tala inn i abc-formelen og finn løysingane. Legg merke til at det kan vere lurt å byrje med den generelle formelen, i alle fall fram til du er heilt sikker på at du kan han.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ x & =& \frac{-4+6}{2} \vee x = \frac{-4-6}{2}\\ x & =& \frac{2}{2}=1 \vee x =\hspace{0.17em}\frac{-10}{2}=-5\end{array}$$

Likninga har to løysingar. Det er altså to verdiar for $x$ som passar i den opphavlege likninga.

Når likninga berre har éi løysing

Vi løyser likninga $$ x^2+4x+4=0$$:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\\ x& =& \frac{-4\pm 0}{2}=-2\end{array}$$

Uttrykket under rotteiknet er null. Sidan vi ikkje legg til eller trekker frå noko over brøkstreken i siste linje i løysinga, får vi berre éi løysing. I dette tilfellet kunne vi òg ha kjent igjen uttrykket på venstre side som eit fullstendig kvadrat og hoppa over løysing med abc-formelen. Eit fullstendig kvadrat inneber at vi har to like faktorar, og dermed berre éi løysing.

Når likninga ikkje har nokon reelle løysingar

Det siste dømet vi skal sjå på, er likninga $$ x^2+4=2x$$. Vi startar igjen med å ordne likninga, før vi set inn i abc-formelen:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+4 & =& 2x\\ x^2-2x+4 & =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{4-16}}{2}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{-12}}{2}\end{array}$$

Vi får $-12$ under rotteiknet, og $\sqrt{-12}$ er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får derfor inga løysing, det vil seie at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker, gir deg løysingar med bokstaven i? Det vil seie at løysinga er såkalla imaginær. For oss betyr det likevel at likninga ikkje har noka løysing.