Oppgåve

Likningar

Oppgåvene nedanfor kan løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan òg prøve å løyse likningane med CAS i GeoGebra. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Set inn rett tal i kvar av rutene.

a) $? + 4 = 6$

b) $? - 4 = 8$

c) $4 + ? - 2 = 1$

d) $3 - 7 + ? = 10$

e) $3 - ? = 12$

Løysing

a) $2 + 4 = 6$

b) $12 - 4 = 8$

c) $4 + - 1 - 2 = 1$

d) $3 - 7 + 14 = 10$

e) $3 - - 9 = 12$

Oppgåve 2

Set inn rett tal i kvar av rutene.

a) $2 \cdot ? + 2 = 8$

b) $3 \cdot ? - 3 = 6$

c) $7 \cdot ? - 3 = - 10$

d) $6 + 3 \cdot ? = 0$

e) $- 3 \cdot ? - 3 = 0$

Løysing

a) $2 \cdot 3 + 2 = 8$

b) $3 \cdot 3 - 3 = 6$

c) $7 \cdot - 1 - 3 = - 10$

d) $6 + 3 \cdot - 2 = 0$

e) $- 3 \cdot - 1 - 3 = 0$

Oppgåve 3

Løys likningane.

Sjekk om du har rekna rett ved å sjå om venstre side er lik høgre side når du set løysinga di inn i den opphavlege likninga.

a) $3 x - 1 = 5$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 x - 1 + 1 & = & 5 + 1 \\ 3 x & = & 6 \\ \frac{3 x}{3} & = & \frac{6}{3} \\ x & = & 2 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 3 \cdot 2 - 1 & = & 5 \\ 6 - 1 & = & 5 \\ 5 & = & 5 \end{array}$

b) $5 x + 2 = 3 x - 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x + 2 & = & 3 x - 2 \\ 5 x - 3 x & = & - 2 - 2 \\ 2 x & = & - 4 \\ x & = & - \frac{4}{2} \\ x & = & - 2 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot (- 2) + 2 & = & 3 \cdot (- 2) - 2 \\ - 10 + 2 & = & - 6 - 2 \\ - 8 & = & - 8 \end{array}$

c) $5 x + 5 = - x + 11$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x + 5 & = & - x + 11 \\ 5 x + x & = & 11 - 5 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & \frac{6}{6} \\ x & = & 1 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot 1 + 5 & = & - 1 + 11 \\ 5 + 5 & = & 10 \\ 10 & = & 10 \end{array}$

d) $- 3 x - 4 = x - 4$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - 3 x - 4 & = & x - 4 \\ - 3 x - x & = & - 4 + 4 \\ - 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{0}{- 4} \\ x & = & 0 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} - 3 \cdot 0 - 4 & = & 0 - 4 \\ - 4 & = & - 4 \end{array}$

e) $x - 2 = 4 + x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x - 2 & = & 4 + x \\ x - x & = & 4 + 2 \\ 0 x & = & 6 \end{array}$

Inga løysing

f) $2 (x - 2) = 4 x + 8$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2 (x - 2) & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 x & = & 8 + 4 \\ - 2 x & = & 12 \\ x & = & \frac{12}{- 2} \\ x & = & - 6 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 2 (- 6 - 2) & = & 4 \cdot (- 6) + 8 \\ 2 \cdot (- 8) & = & - 24 + 8 \\ - 16 & = & - 16 \end{array}$

g) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga over.

Løysingsforslag

Multipliser ut parentesen.
Legg til 4 på begge sider av likskapsteiknet.
Trekk frå $4 x$ på begge sider av likskapsteiknet.
Trekk saman ledda på venstre side og på høgre side.
Divider med $-2$ på begge sider av likskapsteiknet.
Rekn ut høgre side.

Oppgåve 4

Løys likningane.

a) $2, 5 x - 3 = x + 1, 5$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2, 5 x - 3 & = & x + 1, 5 \\ 2, 5 x - x & = & 1, 5 + 3 \\ 1, 5 x & = & 4, 5 \\ x & = & \frac{4, 5}{1, 5} \\ x & = & 3, 0 \end{array}$

b) $0, 32 x - 1, 42 = - 1, 18 x + 1, 58$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 0, 32 x - 1, 42 & = & - 1, 18 x + 1, 58 \\ 0, 32 x + 1, 18 x & = & 1, 58 + 1, 42 \\ 1, 50 x & = & 3, 00 \\ x & = & \frac{3, 00}{1, 50} \\ x & = & 2, 00 \end{array}$

c) $0, 5 (x - 3) = 0, 1 x + 0, 1$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 0, 5 (x - 3) & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 0, 1 x & = & 0, 1 + 1, 5 \\ 0, 4 x & = & 1, 6 \\ x & = & \frac{1, 6}{0, 4} \\ x & = & 4, 0 \end{array}$

d) $- 2 (3 - t) = - t + 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - 2 (3 - t) & = & - t + 2 \\ - 6 + 2 t & = & - t + 2 \\ 2 t + t & = & 2 + 6 \\ 3 t & = & 8 \\ t & = & \frac{8}{3} \end{array}$

e) $- (s - 2) - 2 (s + 1) = 1 - s$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - (s - 2) - 2 (s + 1) & = & 1 - s \\ - s + 2 - 2 s - 2 & = & 1 - s \\ - s - 2 s + s & = & 1 \\ - 2 s & = & 1 \\ s & = & \frac{1}{- 2} \\ s & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga over.

Løysingsforslag

Løys opp parentesane.
( $-2$ og 2 på venstre side av likskapsteiknet blir borte.)
Legg til s på begge sider av likskapsteiknet.
Trekk saman ledda på venstre side og på høgre side.
Divider med $-2$ på begge sider.
Flytt minusteiknet framfor brøken.

Oppgåve 5

Løys likningane.

a) $\frac{1}{2} x - 2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} x - 2 & = & \frac{1}{3} x - \frac{1}{6} \\ 6 \cdot \frac{1}{2} x - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{1}{3} x - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ x & = & 11 \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - 2 = \frac{x}{3} - \frac{1}{6}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - 2 & = & \frac{x}{3} - \frac{1}{6} \\ 6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ x & = & 11 \end{array}$

c) $\frac{1}{2} (2 x - 3) = - (x + \frac{3}{2})$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} (2 x - 3) & = & - (x + \frac{3}{2}) \\ x - \frac{3}{2} & = & - x - \frac{3}{2} \\ 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} & = & 2 \cdot (- x) - 2 \cdot \frac{3}{2} \\ 2 x - 3 & = & - 2 x - 3 \\ 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{0}{4} \\ x & = & 0 \end{array}$

d) $\frac{x - 2}{2} = \frac{2 - x}{3}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 2}{2} & = & \frac{2 - x}{3} \\ 6 \cdot \frac{(x - 2)}{2} & = & 6 \cdot \frac{(2 - x)}{3} \\ 3 \cdot (x - 2) & = & 2 \cdot (2 - x) \\ 3 x - 6 & = & 4 - 2 x \\ 5 x & = & 10 \\ x & = & 2 \end{array}$

e) $\frac{x - 1}{2} - 3 = \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 1}{2} - 3 & = & \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12} \\ 12 \cdot \frac{(x - 1)}{2} - 12 \cdot 3 & = & 12 \cdot \frac{(3 - 2 x)}{3} + 12 \cdot \frac{x}{12} \\ 6 \cdot (x - 1) - 36 & = & 4 \cdot (3 - 2 x) + x \\ 6 x - 6 - 36 & = & 12 - 8 x + x \\ 13 x & = & 54 \\ x & = & \frac{54}{13} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga over.

Løysingsforslag

Finn fellesnemnaren, som er 12.
Multipliser alle ledda med 12.
Forkort bort nemnarane.
Multipliser ut parentesane.
Legg til 6 og 36 på begge sider av likskapsteiknet.
Legg til 8x og trekk frå x på begge sider av likskapsteiknet.
Trekk saman ledda på kvar side av likskapsteiknet.
Divider med 13 på begge sider av likskapsteiknet.

Merk at i løysingsforslaget til oppgåve e) viser vi ikkje alle trinna i algoritmen. Finn ut kva for trinn det er som ikkje blir viste.

g) Finst det ein generell algoritme for å løyse likningane på denne sida, altså likningar av første grad? Skriv han ned.

Oppgåve 6

Løys likningane.

a) $3 (\frac{x}{2} - \frac{4}{3}) = (\frac{3}{4} - \frac{x}{6}) 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 (\frac{x}{2} - \frac{4}{3}) & = & (\frac{3}{4} - \frac{x}{6}) 2 \\ \frac{3 x}{2} - \frac{12}{3} & = & \frac{6}{4} - \frac{2 x}{6} \\ 9 x - 24 & = & 9 - 2 x \\ 11 x & = & 33 \\ x & = & 3 \end{array}$

b) $3 (\frac{s}{4} - \frac{1}{10}) = (s - \frac{1}{5}) 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 (\frac{s}{4} - \frac{1}{10}) & = & (s - \frac{1}{5}) 2 \\ \frac{3 s}{4} - \frac{3}{10} & = & 2 s - \frac{2}{5} \\ 15 s - 6 & = & 40 s - 8 \\ - 25 s & = & - 2 \\ s & = & \frac{2}{25} \end{array}$

c) $\frac{3}{2} (t - 1) - 2 (\frac{1}{4} - t) = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (t - 1) - 2 (\frac{1}{4} - t) & = & 0 \\ \frac{3}{2} t - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 t & = & 0 \\ 2 \cdot \frac{3}{2} t - 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 2 t & = & 2 \cdot 0 \\ 3 t - 3 - 1 + 4 t & = & 0 \\ 7 t & = & 4 \\ t & = & \frac{4}{7} \end{array}$

d) $\frac{1}{3} y - 3 y + 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} y - 3 y + 3 & = & \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9} \\ 18 \cdot \frac{1}{3} y - 18 \cdot 3 y + 18 \cdot 3 & = & 18 \cdot \frac{1}{6} - 18 \cdot \frac{1}{9} y + 18 \cdot \frac{1}{9} \\ 6 y - 54 y + 54 & = & 3 - 2 y + 2 \\ - 46 y & = & - 49 \\ y & = & \frac{- 49}{- 46} \\ y & = & \frac{49}{46} \end{array}$

Oppgåve 7

Stian, Erik og Øyvind delte ein pizza. Stian åt ein tredel, Erik åt to femdelar, og Øyvind åt resten.

Set opp ei likning og finn ut kor stor del av pizzaen Øyvind åt.

Løysing

Vi set Øyvind sin del lik x, og vi kan setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} + \frac{2}{5} + x & = & 1 \\ \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} + \overset{3}{15} \cdot \frac{2}{5} + 15 \cdot x & = & 15 \cdot 1 \\ 5 + 6 + 15 x & = & 15 \\ 15 x & = & 15 - 11 \\ \frac{15 x}{15} & = & \frac{4}{15} \\ x & = & \frac{4}{15} \end{array}$

Vi kan òg løyse likninga med CAS i GeoGebra:

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, ei linje. Det står ein tredjedel pluss to femtedelar pluss x er lik 1. Svaret med Løys er x er lik 4 femtendelar. Skjermutklipp.

Øyvind åt $\frac{4}{15}$ av pizzaen.

Oppgåve 8

Kristin, Anette og Ellen har til saman 1 100 kroner. Ellen har dobbelt så mange pengar som Anette, og Kristin har 100 kroner mindre enn Ellen.

Set opp ei likning og finn ut kor mange pengar kvar av dei tre jentene har.

Løysing

Vi set Anette sitt beløp lik x. Ellen sitt blir då $2 x$ , og Kristin sitt beløp blir $2 x - 100$ . Då kan vi setje opp denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + (2 x - 100) & = & 1100 \\ 3 x + 2 x - 100 & = & 1100 \\ 5 x & = & 1100 + 100 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{1200}{5} \\ x & = & 240 \end{array}$

Anette har 240 kroner, Ellen har $2 \cdot 240 kroner = 480 kroner$ , og Kristin har $480 kroner - 100 kroner = 380 kroner$ .

Vi kan òg løyse likninga med CAS i GeoGebra, der vi i tillegg reknar ut kor mykje dei to andre har.

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 står det x pluss 2 x pluss parentes 2 x minus 100 parentes slutt er lik 1100. Svaret med Løs er x er lik 240. På linje 2 står det 240 gonger 2. Resultatet er 480. På linje 3 står det 480 minus 100. Resultatet er 380. Skjermutklipp.

Oppgåve 9

På ein aktivitetsdag ved skulen valde 60 % av elevane fotball. Ein tredel valde volleyball. Dei siste 12 elevane hadde fått fritak.

Set opp ei likning og finn ut kor mange elevar det er ved skulen.

Løysing

La x vere talet på elevar ved skulen. 60 % av elevane blir $\frac{60}{100} x = \frac{3}{5} x$ . Ein tredel av elevane blir $\frac{1}{3} x$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} x + \frac{1}{3} x + 12 & = & x \\ \overset{3}{15} \cdot \frac{3}{5} x + \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} x + 15 \cdot 12 & = & 15 \cdot x \\ 9 x + 5 x + 180 & = & 15 x \\ 180 & = & 15 x - 14 x \\ 180 & = & x \end{array}$

Vi kan òg løyse likninga med CAS i GeoGebra.

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, ei linje. Det står 3 femtedels x pluss 1 tredjedels x pluss 12 er lik x. Svaret med Løys er x er lik 180. Skjermutklipp.

Det er 180 elevar ved skulen.

Oppgåve 10

Per, Pål og Espen er til saman 66 år. Per er dobbelt så gammal som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei tre gutane er.

Løysing

Vi set Espens alder lik x. Påls alder blir då $x + 6$ , og Pers alder blir $2 x$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + (x + 6) + 2 x & = & 66 \\ 4 x & = & 60 \\ x & = & 15 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra der vi både løyser likninga og reknar ut alderen til dei to andre.

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 står det x pluss parentes x pluss 6 parentes slutt pluss 2 x er lik 66. Svaret med Løys er x er lik 15. På linje 2 står det 15 pluss 6. Resultatet er 21. På linje 3 står det 2 gonger 15. Resultatet er 30. Skjermutklipp.

Espen er 15 år, Pål er 21 år, og Per er 30 år.

Oppgåve 11

Ari, Anette og far er til saman 54 år. Anette er dobbelt så gammal som Ari, og far er tre gonger så gammal som Anette.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Ari, Anette og far er.

Løysing

La x vere alderen til Ari. Då er Anettes alder $2 x$ og far sin alder $6 x$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + 6 x & = & 54 \\ 9 x & = & 54 \\ x & = & 6 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra:

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 er det skrive inn x pluss 2 x pluss 6 x er lik 54. Svaret med Løys er x er lik 6. På linje 2 er det skrive inn 2 gonger 6. Resultatet er 12. På linje 3 er det skrive inn 6 gonger 6. Resultatet er 36. Skjermutklipp.

Ari er 6 år, Anette 12 år, og far er 36 år.

Oppgåve 12

Far er tre gonger så gammal som Per og bestefar er dobbelt så gammal som far. Til saman er dei 120 år.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Per, far og bestefar er.

Løysing

La x vere alderen til Per. Då er far sin alder $3 x$ og bestefar sin alder $6 x$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + 6 x & = & 120 \\ 10 x & = & 120 \\ x & = & 12 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 står det x pluss 3 x pluss 6 x er lik 120. Svaret med Løys er x er lik 12. På linje 2 står det 3 gonger 12. Resultatet er 36. På linje 3 står det 6 gonger 12. Resultatet er 72. Skjermutklipp.

Per er 12 år, far er 36 år, og bestefar er 72 år.

Oppgåve 13

Mormor var 22 år da mor vart fødd. I dag er ho dobbelt så gammal som mor. Set opp ei likning og finn ut kor gamle mor og mormor er.

Løysing

La x vere alderen til mor. Då er mormor sin alder $2 x$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 22 & = & 2 x \\ - x & = & - 22 \\ x & = & 22 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra:

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, to linjer. På linje 1 står det x pluss 22 er lik 2 x. Svaret med Løys er x er lik 22. På linje 2 står det 2 gonger 22. Resultatet er 44. Skjermutklipp.

Mor er 22 år, og mormor 44 år. Det hadde vi kanskje ikkje trunge likning for å finne ut!

Oppgåve 14

Far er tre gonger så gammal som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til saman er dei tre 92 år.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Camilla, far og onkel Kåre er.

Løysing

La x vere alderen til Camilla. Då er far sin alder $3 x$ og onkel Kåres $3 x - 6$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + (3 x - 6) & = & 92 \\ 4 x + 3 x - 6 & = & 92 \\ 7 x & = & 92 + 6 \\ \frac{7 x}{7} & = & \frac{98}{7} \\ x & = & 14 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra:

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 står det x pluss 3 x pluss parentes 3 x minus 6 parentes slutt er lik 92. Svaret med Løys er x er lik 14. På linje 2 står det 3 gonger 14. Resultatet er 42. På linje 3 står det 42 minus 6. Resultatet er 36. Skjermutklipp.

Camilla er 14 år, far er 42 år, og onkel Kåre er 36 år.

Oppgåve 15

Mor er 21 år eldre enn Maja. Bestefar er tre gonger så gammal som mor. Om to år er dei til saman 100 år.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Maja, mor og bestefar er.

Løysing

La x vere alderen til Maja. Då er mor sin alder $x + 21$ og bestefar sin alder $3 (x + 21)$ . I dag er dei til saman $100 år - 3 \cdot 2 år = 94 år$ . Då kan vi setje opp og løyse denne likninga:

$\begin{array}{rcl} x + (x + 21) + 3 (x + 21) & = & 94 \\ x + x + 21 + 3 x + 63 & = & 94 \\ 5 x & = & 94 - 84 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra kan det sjå slik ut:

Likningsløysing med CAS i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 står det x pluss parentes x pluss 21 parentes slutt pluss 3 parentes x pluss 21 parentes slutt er lik 94. Svaret med Løys er x er lik 2. På linje 2 står det 2 pluss 21. Resultatet er 23. På linje 3 står det 3 parentes 2 pluss 21 parentes slutt. Resultatet er 69. Skjermutklipp.

Maja er 2 år, mor er 23 år, og bestefar er 69 år.

Oppgåve 16

Løys likningane.

a) $x^{2} + 8 = 12$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 8 & = & 12 \\ x^{2} & = & 12 - 8 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm \sqrt{4} \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

b) $4 x^{2} + 6 = 70$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} + 6 & = & 70 \\ 4 x^{2} & = & 70 - 6 \\ 4 x^{2} & = & 64 \\ \frac{4 x^{2}}{4} & = & \frac{64}{4} \\ x^{2} & = & 16 \\ x & = & \pm \sqrt{16} \\ x & = & \pm 4 \end{array}$

c) $- x^{2} + 2 = 2 x^{2} - 25$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 2 & = & 2 x^{2} - 25 \\ 3 x^{2} & = & 27 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Likningar(DOCX)
Likningar(PDF)

Bokstavrekning og likningar