Fag

Emne

Bokstavrekning og likningar

Fagstoff

Video

Formelrekning

Ein formel er ei slags oppskrift på korleis vi skal rekne ut noko. Vi har enkle formlar, som formelen for arealet av eit rektangel, og meir kompliserte formlar, som formelen for overflata til ei kjegle.

Døme på formel: arealet av eit rektangel

Eit rektangel med påskrifta A. Den lengste av sidene har nemninga g, den kortaste har nemninga h. Illustrasjon.

Ein fotballbane har form som eit rektangel. Vi lar den lengste sida vere grunnlinja og den kortaste sida vere høgda. Oppskrifta for å rekne ut arealet av eit rektangel er gitt ved formelen

$A = g \cdot h$

Ifølge oppskrifta, eller formelen, må du multiplisere/gonge lengda av grunnlinja, g, med lengda av høgda, h, for å rekne ut arealet.

Direkte utrekning med ein formel

Vi skal rekne ut arealet av ein fotballbane med sidelengdene 68 m og 105 m.

Ein fotballbane har form som eit rektangel, så vi kan bruke formelen over. Vi lar den lengste sida vere grunnlinja g, og den kortaste sida lar vi vere høgda h. Så set vi inn måltala i staden for bokstavane i formelen.

Vi får at

$A = g \cdot h = 105 m \cdot 68 m = 7 140 m^{2}$

Med måltal meiner vi verdien til ein storleik.

🤔 Tenk over: Kvifor blir måleininga for arealet $m^{2}$ ?

Forklaring

Både tala og måleiningane (m) skal multipliserast. Det gjer at måleininga for arealet blir $m \cdot m = m^{2}$ .

Når formelen gir ei likning

Av og til gir innsetjinga av tal i ein formel ei likning vi må løyse. Dette skjer til dømes dersom vi ønsker å finne høgda i eit rektangel der arealet og grunnlinja er gitt.

Vi ser på eit døme der arealet i eit rektangel er $100 m^{2}$ og grunnlinja er 25 m. Vi ønsker å finne ut kor stor høgda er.

I dette tilfellet kjenner vi "svaret" som formelen over gir: arealet. Her er det ein av dei andre storleikane (h) i formelen som er ukjend. Då set vi inn dei måltala som er kjende, i formelen, og vi får ei likning der h er den ukjende. Vi løyser likinga:

$\begin{array}{rcl} A & = & g \cdot h \\ 100 & = & 25 \cdot h \\ 25 h & = & 100 | : 25 \\ \frac{25 h}{25} & = & \frac{100}{25} \\ h & = & 4 \end{array}$

Vi får at høgda er 4 m.

Snu på ein formel

Formelen for arealet til eit rektangel gir oss oppskrifta for å finne arealet når grunnlinja og høgda er kjende. Vi såg ovanfor korleis vi kan finne høgda når arealet og grunnlinja er kjende ved å setje inn i formelen og løyse ei likning. Men vi kan òg behandle sjølve formelen som ei likning og finne ein formel for høgda h:

$\begin{array}{rcl} A & = & g \cdot h \\ g \cdot h & = & A | : g \\ \frac{g \cdot h}{g} & = & \frac{A}{g} \\ h & = & \frac{A}{g} \end{array}$

Dette kallar vi å snu på formelen.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Løys parentes A er lik g multiplisert med h komma, h parentes slutt. Svaret er h er lik A delt på g. Skjermutklipp. — Bruk av CAS til å snu på ein formel

Vi kan òg finne denne formelen ved hjelp av CAS og kommandoen "Løys(<Likning>, <variabel>)".

No kan vi løyse oppgåva i det førre dømet utan å måtte løyse ei likning:

$h = \frac{A}{g} = \frac{100 m^{2}}{25 m} = 4 m$

🤔 Tenk over: Kan du vise at måleininga for høgda h blir m når måleininga for arealet A er $m^{2}$ og måleininga for grunnlinja g er m?

Forklaring

Ifølge formelen skal vi dele arealet på grunnlinja. Då skal vi gjere det same med måleiningane òg.

$\frac{m^{2}}{m} = \frac{m \cdot m}{m} = m$

Arealet av eit kvadrat

🤔 Tenk over: Kva slags figur får du dersom grunnlinja og høgda i rektangelet er like lange?

Forklaring

Eit rektangel der grunnlinja og høgda er like lange, er eit kvadrat.

Eit kvadrat med sidekantar s og areal A. Formelen for arealet er A er lik s gonger s er lik s i andre. Illustrasjon.

Sidan grunnlinja og høgda er like lange, kallar vi begge s (for sidekant).

Formelen for arealet til eit kvadrat blir då

$A = g \cdot h = s \cdot s = s^{2}$

Kor lang er sida i eit kvadrat med areal lik $27 m^{2}$ ?

Vi bruker formelen for arealet:

$\begin{array}{rcl} A & = & s^{2} \\ 27 & = & s^{2} \\ s^{2} & = & 27 \\ s & = & \sqrt{27} = 5, 2 \end{array}$

Likninga har òg løysinga $s = - \sqrt{27}$ , men ei sidelengde i eit kvadrat kan ikkje vere negativ. Sidelengda i kvadratet er 5,2 m.

🤔 Tenk over: Er eit kvadrat alltid eit rektangel? Er eit rektangel alltid eit kvadrat?

Forklaring

Kravet til eit rektangel er at alle vinklane er rette (eller 90°). Det er oppfylt for alle kvadrat, så eit kvadrat er alltid eit rektangel.

Kravet til eit kvadrat, i tillegg til at alle vinklane er rette, er at alle sidene er like lange. Sidene i eit rektangel er ikkje nødvendigvis like lange, så eit rektangel er ikkje alltid eit kvadrat.

Video om formelrekning (lengde 4:49)

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0