Potensar

Kva er ein potens?

Nokre tal kan faktoriserast på ein slik måte at alle faktorane er like. Vi har til dømes at $64 = 2·2·2·2·2·2$ . I matematikken har vi funne ein meir effektiv skrivemåte for å multiplisere mange like faktorar med kvarandre. Vi skriv

$64=2·2·2·2·2·2=2^6$

Talet $2$ kallar vi grunntalet, og talet $6$ kallar vi eksponenten. Eksponenten fortel kor mange gonger grunntalet skal vere faktor.

$2^6=\underset{6 \mathrm{gonger}}{\underbrace{2·2·2·2·2·2}}=64$

Å skrive $2^6$ er altså berre ein annan måte å skrive talet $64$ på.

Ved å skrive "def" over likskapsteiknet fortel vi at dette er noko som er bestemt, definert, at skal gjelde.

Reknereglar for potensar med same grunntal

Når vi skal rekne med potensar, har vi ein del viktige samanhengar som kan gjere utrekningane lettare for oss.

Multiplikasjon av potensar

Vi kan rekne på denne måten med potensar:

$3^4·3^5=\underset{4 \mathrm{gonger}}{\underbrace{3·3·3·3}}·\underset{5 \mathrm{gonger}}{\underbrace{3·3·3·3·3}}=3^9$

Vi ser at

$3^4·3^5=3^{4+5}=3^9$

Divisjon av potensar

Tilsvarande gjeld når vi dividerer potensar på kvarandre. Førebels går vi ut frå at eksponenten i teljaren er større enn eksponenten i nemnaren:

$\frac{3^6}{3^2}=\frac{3·3·3·3·\cancel{3}·\cancel{3}}{\cancel{3}·\cancel{3}}=3^4$

Vi ser at

$\frac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4$

Negative eksponentar

Korleis blir utrekninga dersom $n>m$, det vil seie at potensen i nemnaren har større eksponent enn potensen i teljaren? Vi byter om på potensane i det førre dømet slik at vi får $\frac{3^2}{3^6}$ og finn svaret på to måtar:

Vi løyser først med vanleg brøkrekning og får

$\frac{3^2}{3^6}=\frac{\cancel{3}·\cancel{3}}{3·3·3·3·\cancel{3}·\cancel{3}}=\frac{1}{3^4}$

Ved å bruke rekneregelen for divisjon av potensar får vi

$\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}$

Vi ønsker at rekneregelen for divisjon av potensar òg skal gjelde i slike tilfelle. Det betyr at $\frac{1}{3^4}$ og $3^{-4}$ må vere det same talet. Vi innfører ein viktig definisjon:

Eksponent = 0

Kva så dersom potensane i teljaren og nemnaren har like eksponentar? Vi ser på eit døme.

Ved vanleg brøkrekning får vi

$\frac{3^2}{3^2}=\frac{\cancel{3}·\cancel{3}}{\cancel{3}·\cancel{3}}=\frac{1}{1}=1$

Ved å bruke regelen for divisjon av potensar får vi

$\frac{3^2}{3^2}=3^{2-2}=3^0$

Vi ønsker òg her at reknereglane for potensar skal gjelde. Det betyr at $3^0$ må vere lik talet 1.

Fleire reknereglar for potensar

Studer følgande reknestykke der definisjonen på potensar er brukte fleire gonger saman med vanlege reknereglar:

$\begin{array}{rcl}{\left(2·3\right)}^4& = & \left(2·3\right)·\left(2·3\right)·\left(2·3\right)·\left(2·3\right)\\ & & \\ & =& 2·3·2·3·2·3·2·3\\ & & \\ & =& 2·2·2·2·3·3·3·3\\ & & \\ & =& 2^4·3^4\\ & & \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^4& =& \left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)\\ & & \\ & =& \frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}\\ & & \\ & =& \frac{2·2·2·2}{3·3·3·3}\\ & & \\ & =& \frac{2^4}{3^4}\\ & & \\ {\left(2^3\right)}^4& =& \left(2^3\right)·\left(2^3\right)·\left(2^3\right)·\left(2^3\right)\\ & & \\ & =& (2·2·2)·(2·2·2)·\left(2·2·2\right)·\left(2·2·2\right)\\ & & \\ & =& 2^{12}\\ & & \\ & =& 2^{3·4}\end{array}$

Oppsummering av definisjonar og reknereglar