Ulikheter med eksponentialuttrykk og logaritmeuttrykk

$$ \begin{array}{rcl}{5}^x & >& 125\\ 5^x & >& 5^3\\ x & >& 3\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}4·6^x & <& 36·2^x\\ \frac{6^x}{2^x} & <& \frac{36}{4}\\ \lg \frac{6^x}{2^x} & <& \lg 9\\ \lg \frac{\cancel{2^x}·3^x}{\cancel{2^x}} & <& \lg 3^2\\ x\lg 3 & <& 2\lg 3 \lg 3 \mathrm{er} \mathrm{positiv}, \\ x & <& 2 \mathrm{derfor} \mathrm{snur} \mathrm{vi} \mathrm{ikke} \mathrm{ulikhetstegnet}.\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}300 000·(\frac{1}{3}{)}^x & <& 100 000\\ (\frac{1}{3}{)}^x & <& \frac{1\cancel{00 000}}{3\cancel{00 000}}\\ x\lg \frac{1}{3} & <& \lg \frac{1}{3}\end{array}$$

$$ \lg \frac{1}{3}$$ er negativ, derfor snur vi ulikhetstegnet.

$$ x > 1$$

$$ \begin{array}{rcl}3,5+\lg x & >& 6,5\\ \lg x & >& 3\\ {10}^{\lg x} & >& {10}^3\\ x & >& 1000\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}3\ln x^2+2 & >& 14\\ 3·2\ln \left|x\right| & >& 12\\ \ln \left|x\right| & >& 2\\ \left|x\right| & >& e^2\\ x & <& -e^2 \vee x > e^2\end{array}$$

$$ \lg x$$ er gyldig for $$ x>0$$.

Vi løser først likningen $$ (\lg x{)}^2+\lg x-2=0.$$

$$ \begin{array}{rcl}\lg x & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·(-2)}}{2·1}\\ \lg x & =& \frac{-1\pm 3}{2}\\ \lg x & =& 1 \vee \lg x = -2\\ x & =& {10}^1 \vee x = {10}^{-2}\\ x & =& 10 \vee x = 0,01\end{array}$$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket kan skifte fortegn. Vi undersøker fortegnet til uttrykket i intervallene $$ \langle 0 , 0.01\rangle , \langle 0.01 , 10\rangle \mathrm{og} \langle 10, \to \rangle .$$

For $$ x={10}^{-3 }$$ får vi:

$$\begin{gathered} (\lg {10}^{-3}{)}^2+\lg {10}^{-3}-2=(-3{)}^2+(-3)-2 \\ =9-3-2=4 \end{gathered}$$

Uttrykket er positivt.

For $$ x=1$$ får vi:

$$ {\mathrm{(lg1)}}^2+\lg 1-3=0^2+1·0-2=-2$$

Uttrykket er negativt.

For $$ x={10}^2$$ får vi:

$$ (\lg 10^2{)}^2+\lg {10}^2-2=(2{)}^2+2-2=4$$

Uttrykket er positivt.

Vi setter opp fortegnsskjema for uttrykket $$ (\lg x{)}^2+\lg x-2$$:

Vi har at $$ (\lg x{)}^2+\lg x-2<0 \mathrm{når} x\in ⟨0.01 , 10⟩.$$

$$ \ln (x+3)$$ er gyldig for $$ x>-3$$, og $$ \ln x$$ er gyldig for $$ x>0$$. Det betyr at vi kun har løsning når $$ x>0.$$

$$ \begin{array}{rcl}\ln (x+3)+\ln x & <& \ln 4\\ \ln \left(\right(x+3)·x) & <& \ln 4\\ e^{\ln \left(\right(x+3)·x)} & <& e^{\ln 4}\\ (x+3)·x & <& 4\\ x^2+3x & <& 4\\ x^2+3x-4 & <& 0\end{array}$$

Vi løser først likningen $$ x^2+3x-4=0.$$

$$ \begin{array}{rcl}x & =& \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·(-4)}}{2}\\ x & =& \frac{-3\pm 5}{2}\\ x & =& 1 \vee x=-4\end{array}$$

Vi har da $$ x^2+3x-4=(x-1)(x+4).$$

Vi setter opp et fortegnsskjema for uttrykket $$ (x-1)(x+4):$$

Vi har at $$ \ln (x+3)+\ln x<\ln 4 \mathrm{når} x\in ⟨0 , 1⟩.$$

$$ \lg (6-x) $$er gyldig for $$ x<6$$, og $$ \lg x$$ er gyldig for $$ x>0.$$

Det betyr at vi kun kan ha løsning når $$ 0<x<6.$$

$$ \begin{array}{rcl}\lg (6-x)+\lg x & \le & \lg 5\\ \lg \left(\right(6-x)·(x\left)\right) & \le & \lg 5\\ {10}^{\lg \left(\right(6-x)·x)} & \le & {10}^{\lg 5}\\ (6-x)·x & \le & 5\\ -x^2+6x-5 & \le & 0\end{array}$$

Vi løser først likningen:

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{-}{x}^2+6x-5 & =& 0.\\ x & =& \frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·(-1)·(-5)}}{2·(-1)}\\ x & =& \frac{-6\pm 4}{-2}\\ x & =& 1 \vee x=5\end{array}$$

Vi setter opp et fortegnsskjema for uttrykket $$ -(x-1)(x-5):$$

Vi har at $$ \lg (6-x)+\lg x\le \lg 5$$ når $$ x\in ⟨0 , 1]\cup [5, 6⟩.$$